.
В пункте 3.3 численно иллюстрируется зависимость характеристик системы с дисциплиной BCS от порога . В пункте 3.4 рассматривается распределение числа запросов в системе с дисциплиной BCL.
Лемма 3.2 [2, с. 151] задает структуру ИГ ЦМ , , блоки которого выражаются через матрицы , , , , описанные выше и матрицы ,,,
Теорема 3.5 [2, с. 152] Стационарное распределение вероятностей , ЦМ , , существует тогда и только тогда, когда выполняется неравенство (3). Векторы , вычисляются следующим образом:
, ,
,
где , ,
, ,
,
,
матрица является минимальным неотрицательным решением уравнения вида (4), а вектор является единственным решением системы линейных алгебраических уравнений
, .
В пункте 3.5 рассматривается распределение времени ожидания и времени пребывания, вероятность успешного обслуживания произвольного запроса в системе с дисциплиной BCL.
Теорема 3.7 [2, с. 156] ПЛС распределения времени пребывания запроса в рассматриваемой системе имеет вид
.
В пункте 3.6 численно иллюстрируется зависимость характеристик системы с дисциплиной BCL от порога . В пункте 3.7 проводится численное сравнение дисциплин BCS и BCL.
В четвертой главе рассматривается ненадежная система с дисциплиной BC в предположении, что приборы могут выходить из строя, что ведет к потере обслуживаемого запроса и необходимости ремонта этого прибора.
В пункте 4.1 рассматривается математическая модель и распределение числа запросов в системе с дисциплиной ВС. В систему поступает MAP-поток поломок приборов. Этот поток задается по аналогии с MAP-потоком запросов. Он управляется процессом , c пространством состояний , и задается матрицами и . Предполагаем, что сломанный прибор немедленно начинает ремонтироваться. Время ремонта имеет распределение фазового типа, заданное ЦМ с непрерывным временем , с пространством состояний , и задается неприводимым представлением .
Пусть , - число запросов в системе; , - число ремонтируемых приборов; , - состояние управляющего процесса MAP-потока поступления запросов; , - состояние управляющего процесса MAP-потока поступления поломок; - состояние процесса, правляющего обслуживанием в j-том приборе, ; , - состояние процесса, управляющего ремонтом l-го прибора, , в момент времени , .
Рассматриваем ЦМ .
Лемма 4.1 [3, с. 135, 4, с. 85, 5, с. 38] ИГ ЦМ , , имеет вид
. (5)
Матрица имеет нулевые блоки за исключением блоков на блочной диагонали и блочной наддиагонали. Эти блоки имеют вид
равно вектору , если , и скаляру 1 в противном случае.
Матрица имеет ненулевые блоки только на блочной диагонали и блочной поддиагонали. Эти блоки задаются следующим образом:
где .
Матрица , , имеет только один ненулевой блок,
Матрица , , имеет ненулевые блоки
где равно вектору , если , или скаляру 1 в случае .
Матрица задается ненулевыми диагональными блоками
Теорема 4.1 [3, с. 136, 4, с. 86] Стационарное распределение вероятностей, ЦМ , существует тогда и только тогда, когда выполняется неравенство
, (6)
где вектор является решением системы линейных алгебраических уравнений
(7)
Векторы , вычисляются следующим образом:
, ,
где
,
матрица является минимальным неотрицательным решением уравнения типа (4), а вектор является единственным решением системы линейных алгебраических уравнений
, .
В пункте 4.2 рассматривается распределение времени ожидания запроса в системе с BC дисциплиной.
Теорема 4.2 [3, с. 136] ПЛС распределения виртуального времени ожидания запроса в рассматриваемой системе имеет вид
,
где векторы находятся из рекурсии
, если ,
, если
с начальными условиями .
В пункте 4.3 рассматривается ненадежная система с классической дисциплиной обслуживания.
Лемма 4.2 [4, с. 89] ИГ ЦМ имеет трёхдиагональную блочную структуру: диагональными блоками генератора являются матрицы , поддиагональными блоками генератора являются матрицы , наддиагональными блоками генератора являются матрицы , которые имеют ненулевые блоки заданные формулами Другие обозначения такие же, как в генераторе (5).
В пункте 4.4 проводится численное сравнение дисциплины BC и классической дисциплины.
В пятой главе исследуется система, в которой при поступлении запроса на свободный прибор требуется предварительно провести разогрев этого прибора.
В пункте 5.1 рассматривается математическая модель и распределение числа запросов в системе с дисциплиной BC.
Если поступивший запрос застает один или больше приборов свободными, он занимает все эти приборы и начинается разогрев этих приборов. Приборы разогреваются независимо друг от друга. Предполагаем, что время разогрева прибора имеет распределение фазового типа, заданное ЦМ с непрерывным временем с пространством состояний и задается неприводимым представлением .
После окончания разогрева начинается обслуживание запроса. Предполагаем, что время обслуживания имеет распределение фазового типа, заданное ЦМ с непрерывным временем , с пространством состояний и задается неприводимым представлением .
Пусть , - число запросов в системе; , - число разогревающихся приборов; , - состояние управляющего процесса MAP-потока поступления запросов; , - состояние процесса, управляющего обслуживанием в j-том приборе, ; , - состояние процесса, управляющего разогревом l-го прибора, , в момент времени , .
Рассматриваем ЦМ .
Лемма 5.1 [9, с. 58, 10, с. 52] ИГ ЦМ , , имеет вид
, (8)
где ненулевые блоки матрицы имеют вид
ненулевые блоки матрицы задаются следующим образом:
,
ненулевые блоки матрицы задаются следующим образом:
,
ненулевые блоки матрицы имеют вид
,
ненулевые блоки матрицы задаются следующим образом:
.
Теорема 5.1 [9, с. 59] Стационарное распределение вероятностей , ЦМ , существует тогда и только тогда, когда выполняется неравенство (3).Векторы , вычисляются следующим образом:
, ,
где ,
,,
матрица является минимальным неотрицательным решением уравнения типа (4), а вектор является единственным решением системы линейных алгебраических уравнений
,.
В пункте 5.2 рассматривается распределение времени пребывания в системе с дисциплиной BC.
Теорема 5.2 [10, с. 52] ПЛС распределения времени пребывания запроса в рассматриваемой системе имеет вид
,
где матрицы вычисляются из рекурсии
,
с начальными условиями
.
В пункте 5.3 рассматривается система с разогревом приборов и классической дисциплиной обслуживания. Обозначим ИГ ЦМ , .
Лемма 5.3 [8, с. 22, 10, с. 53] Генератор имеет трёхдиагональную блочную структуру: диагональными блоками генератора являются матрицы , поддиагональными блоками генератора являются матрицы , наддиагональными блоками генератора являются матрицы , где ненулевые блоки матрицы задаются следующим образом:Другие обозначения такие же, как в генераторе (8).
Теорема 5.4 [10, с. 53] ПЛС распределения времени пребывания запроса в рассматриваемой системе имеет вид
.
В пункте 5.4 проводится численное сравнение дисциплины BC и классической дисциплины.
Заключение
В диссертации получены новые теоретические результаты в области ТМО, которые в совокупности решают важную задачу нахождения вероятностно-временных характеристик многолинейных СМО с дисциплиной широковещательного доступа.
Основные научные результаты диссертации
1. Для многолинейных СМО типа MAP/PH/N с ошибками в обслуживании, поломками приборов, разогревом приборов и широковещательными и классическими дисциплинами обслуживания, и системы с ошибками в обслуживании и гибридными стратегиями управления (использующими широковещательное обслуживание только при большом и при малом числе занятых приборов в момент поступления запроса) получено условие эргодичности [1-12]; разработаны алгоритмы нахождения стационарного распределения вероятностей числа запросов [1-12]; разработаны алгоритмы нахождения основных вероятностных и надежностных характеристик [1, 2, 4-7]; разработаны алгоритмы нахождения распределения времени ожидания [1-3] и пребывания запросов [1, 2, 6, 7, 10].
2. Для многолинейных СМО типа MAP/PH/N с гибридными стратегиями обслуживания проведен численный анализ зависимости характеристик систем от порога управления, который, в частности, показал, что вероятность успешного обслуживания запроса может достигать максимума при дисциплине BCL, использующей широковещательное обслуживание только при числе свободных приборов, большем чем некоторое пороговое значение [1, 2].
3. Проведено сравнение времени пребывания запроса и вероятности успешного обслуживания запросов для систем с классической и широковещательной дисциплинами обслуживания и показано, что широковещательная дисциплина обслуживания может иметь существенное преимущество перед классической дисциплиной как по значению вероятности успешного обслуживания, так и по среднему времени доставки запроса [4, 6, 10].
4. Исследовано влияние корреляции длин соседних интервалов между моментами поступления запросов и вариации времени обслуживания запросов на вероятностно-временные характеристики системы. Численно показано, что для потоков с одной и той же интенсивностью, но разной корреляцией, и процессов обслуживания с одинаковым значением среднего времени обслуживания, но разной дисперсией, характеристики систем могут отличаться очень существенно [1, 2, 4, 6, 7].
Рекомендации по практическому использованию результатов
Результаты, полученные в диссертации, положены в основу ряда программных модулей, включенных в пакет прикладных программ «SIRIUS-М», предназначенный для расчета и оптимизации характеристик информационно-вычислительных сетей с ожиданием, ошибками, поломами приборов и широковещательным обслуживанием при наличии коррелированных входных потоков и коррелированного процесса обслуживания, разрабатываемый в НИЛ прикладного вероятностного анализа БГУ.
Результаты использованы в учебном процессе в Белорусском государственном университете и Высшем государственном колледже связи.
Диссертационная работа содержит новые научно обоснованные теоретические и экспериментальные результаты, совокупность которых имеет важное значение для развития теории системного анализа и математического моделирования и проектирования систем передачи и обработки информации, в первую очередь, телекоммуникационных систем и сетей с учетом реального характера информационных потоков.
Список публикаций по теме диссертации
1. Дудин, А.Н. Многолинейная система MAP/PH/N с управляемым широковещательным обслуживанием ненадежными приборами / А.Н. Дудин, Б. Сунь // Автоматика и вычислительная техника. - 2009. - №5. - C. 32-44.
2. Дудин, А.Н. Ненадежная многолинейная система с управляемым широковещательным обслуживанием / А.Н. Дудин, Б. Сунь // Автоматика и телемеханика. - 2009. - №12. - C. 147-160.
3. Сунь, Б. Ненадежная многолинейная система MAP/PH/N с широковещательным обслуживанием / Б. Сунь // Вестник Белорусского государственного университета. Серия 1, Физика, Математика, Информатика. - 2010. - №1. - С. 133-137.