Материал: Методы решения задач проектирования технологических процессов обработки давлением. Шагунов А.В., Корольков В.И

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

4 s2 ,

Попытаемся получить параметрическое решение, выразив напряжение в виде функции некоторого параметра t . Для этого введем обозначения:

	x		y

2		2
2		2

Тогда условие пластичности можно свести к виду:

x2 3y2 s2

Действительно, подстановка x,y дает:

2 3 2

4 2	4 2	2			6			4 2
								s

Каноническое уравнение эллипса:

x2 y2 1 a2 b2

Параметрическое уравнение эллипса: x a cost, y bsin t

Таким образом, в нашем случае:

a s ,

Тогда, основываясь на параметрической записи,

получим:

cost,

sint

Почленно

складывая и вычитая эти два уравнения,

получим параметрические выражения для радиального и тангенциального напряжений:

	1			1
s cost		sint	s cost		sint

	3			3
	3			3

используя формулу для косинуса суммы (разности) двух углов cos cos cos sin sin

окончательно получим:

2 s

	cos t
3		6

2 s

	cos t
3		6

Для определения параметра t подставим полученные выражения для напряжений в уравнение равновесия:


2 s		d			2 s
			cos t
			cos t
	3 d			6	3

Откуда:


1
	cos t		cos t		0
	cos t		cos t		0
		6		6

sin

cos

sin t

cos t


d cos t
		6

cos t		cos t

	6		6

используем следующие тригонометрические формулы:

sin cos cos sin ,

cos 2sin sin
cos 2sin sin
				2	2
	тогда:

		sint cos		cost sin			3	sint	1
										cost
										cost
	6		6		6		2		2
							sint
		cos t		2sint sin			sint
	6		6			6

продолжая преобразования:

	dt		3	sint	1	cost
d							3	1

		2			2
		2			2				ctg t dt
									ctg t dt
				sint			2	2
				sint			2	2

интегрируя, получим

ln sint

2ln

t ln sint 2C

ln B2

2 sint

2 B2 e3t

sint

Произвольную постоянную В найдем, подставляя

граничные условия в условие состояния пластичности:

R, 0 s :

тогда должны выполняться два условия:

	2 s										0 t									t						2
			cos t																						,


	3						6								6			2					3			3
	3						6								6			2					3			3
	2 s
			cos t				6			s t						6			6		t				3	,0

	3
	3
	Обоим условиям удовлетворяет t
	Обоим условиям удовлетворяет t																							3
откуда
				2B2
			2															3
			2							3		или B2						3		R2e 3
		R						e		3
		R				3		e										2
окончательно

						3R2
			2			3R2						3 t	3
			2						e				3
					2sint				e					.
																			R		f t
	Построим график функции																				f t		в интервале >1
	Построим график функции																						в интервале >1
	Этим условиям соответствует интервал t
	Этим условиям соответствует интервал t																											3
																	R	2.963								t	5
	График имеет максимум																	2.963								t
	График имеет максимум																					при				6
	Иными словами, для того, чтобы вся труба находилась в
пластическом состоянии,														ни при каких t отношение внешнего

и внутреннего диаметра трубы не может быть больше 2.963.

Это свидетельствует о том, что часть трубы при R / r 2.963 будет деформироваться упруго.

Для определения давления, необходимого для перевода всей трубы в пластическое состояние требуется подставить

3 t

r в формулу

3 sint e

и найти t . Затем

2 s

cos t

подставить

его

формулу

График

изменения давления в долях от s

при различных отношениях

радиусов внешней и внутренней поверхностей трубы приведен

ниже.

Обратите внимание, что при любом t

тангенциальное

напряжение больше радиального .

С достаточной точностью решение может быть

аппроксимировано формулой:

p 1.06 s ln R

-1

-2

-5 /6

-2 /3

- /2

- /3

Лекция 2. Инженерный метод решения задач проектирования технологических процессов

Метод интегрирования уравнений равновесия совместно с условием пластичности дает возможность получить решения только для узкого круга задач, большинстве своем далеких от реальных технологических процессов. Поэтому предпринимались попытки упростить задачу, найти такие приближенные методы решения, которые, с одной стороны, не находились бы в большом противоречии с физикой конкретного технологического процесса, а с другой стороны облегчали бы вычисления и, желательно, приводили бы к аналитическим выражениям.

В последнее время достигнуты большие практические результаты в использовании численных методов для решения технологических задач теории обработки давлением в общем виде, прежде всего на основе использования метода конечных элементов. Этот метод мы также будем рассматривать в курсе, однако значение приближенных методов остается достаточно важным. Приближенные методы, во-первых, дают возможность достаточно быстро определить такие важнейшие

Смотрите также:

Компьютерная графика
Перспективы развития электронного бизнеса в Республике Узбекистан
Роль Президента Российской Федерации в системе органов государственного управления
Становление акушерства и гинекологии как самостоятельных клинических дисциплин. Вклад А.Я. Крассовского, В.Ф. Снегирёва, Д.О. Отта в отечественную акушерско-гинекологическую практику