Комплексным числом называют выражение вида:
где a - вещественная (действительная) часть комплексного числа, j - мнимая единица, b - мнимая часть, A - модуль, б- аргумент, e - основание натурального логарифма.
Первое выражение представляет собой алгебраическую форму записи комплексного числа, второе - показательную, а третье - тригонометрическую. Для отличия, в комплексной форме записи подчеркивают букву, обозначающую электрический параметр.
Метод расчёта цепи, основанный на применении комплексных чисел, называется символическим методом. В символическом методе расчета все реальные параметры электрической цепи заменяют символами в комплексной форме записи. После замены реальных параметров цепи на их комплексные символы расчет цепей переменного тока выполняют методами, которые применяли для расчета цепей постоянного тока. Отличие состоит в том, что все математические операции необходимо выполнять с комплексными числами.
В результате расчета электрической цепи искомые токи и напряжения получаются в виде комплексных чисел. Реальные действующие значения тока или напряжения равны модулю соответствующего комплекса, а аргумент комплексного числа показывает угол поворота вектора на комплексной плоскости по отношению к положительному направлению вещественной оси. При положительном аргументе вектор поворачивается против часовой стрелки, а в случае отрицательного аргумента - по часовой.
Завершают расчёт цепи переменного тока, как правило, составлением баланса активных и реактивных мощностей, который позволяет проверить правильность вычислений.
Раcчетная чаcть
Техничеcкое задание.
Электрическая цепь, подлежащая расчету определяется по последней цифре индивидуального номера студента (547)
Определение параметры элементов cхемы согласно варианту.
Выбор варианта cхемы
Система уравнений по законам Кирхгофа в интегрально- дифференциальном виде для мгновенных значений напряжений и токов
Укажем произвольно условно-положительные направления токов в ветвях и пронумеруем узлы. В заданной схеме в=8 ветвей, у=5 узлов , 2 ветви с идеальными источниками тока (к=2), токи в которых равны токам этих источников. В схеме 6 неизвестных токов.
Рисунок 7.1
І закон Кирхгофа (составляется количество уравнений на единицу меньше числа узлов схемы, в нашей схеме 5 узлов, значит составляем у-1=5-1=4 уравнения для любых трех узлов):
для узла 1: ;
для узла 2: ;
для узла 4: ;
для узла 5: ;
ІІ закон Кирхгофа ( в нашем случае в-(у-1)-к=8-(5-1)-2=2 уравнения для независимых контуров, для которых предварительно выбираем обход контура и указываем стрелкой на схеме ):
Для контура І: ;
Для контура ІІ:
Расчет токов в ветвях электрической цепи
Выполним расчет токов в ветвях электрической цепи методом контурных токов, с проверкой правильности расчетов посредством баланса мощностей и оценкой их точности;
а) сделаем предварительные вычисления:
В общем виде здесь
Принимаем потенциал узла 2 равным нулю (см. рис. 7.2).
Составим систему уравнений
Рисунок 7.2
Выпишем и подсчитаем значения коэффициентов системы:
- собственная комплексная проводимость узлов
-общие проводимости узлов
- узловые токи
Система уравнений после подстановки численных значений коэффициентов примет вид
Решим: напряжение ток генератор ваттметр
Результаты расчета системы уравнений:
Рассчитаем значения токов в ветвях по обобщенному закону Ома
0пределим комплексную мощность источников питания и проверим баланс мощности.
Полная комплексная мощность источников :
.
где -активная и реактивная мощности источника;
-сопряженное комплексное значение тока;
-угол сдвига фаз между током и напряжением источника;
S -полная мощность источника.
Согласно балансу мощности в цепи синусоидального тока:
,где
.
Полная комплексная мощность потребителей :
Баланс мощностей в цепи соблюдается с погрешностью:
0пределение режимов работы источников
0пределим режимы работы источников, имеющихся в заданной электрической цепи:
Так как , то источник работает в режиме потребления энергии
Так как , то источник работает в режиме генерирования энергии
Так как , то источник работает в режиме п генерирования энергии
Так как , то источник работает в режиме потребления энергии
Так как , то источник работает в режиме генерирования энергии
Так как , то источник работает в режиме генерирования энергии
Так как , то источник работает в режиме потребления энергии
Так как , то источник работает в режиме потребления энергии
Источник тока J1 в цепи работает в режиме генерирования , а J2 -потребления энергии
Расчет мгновенного значения тока методом эквивалентного генератора
Определим ток (так как по условию задан для нахождения методом эквивалентного генератора ток, протекающий по , а в нашем случае это ток )и его мгновенное значение , используя метод эквивалентного генератора.
Разделим схему рис. 7 на две части. Одна часть содержит ветвь с током , а остальная часть схемы будет являться активным двухполюсником с выводами 5 и 3 . Найдем параметры активного двухполюсника (эквивалентного генератора) и . Найдем (Рис.7.3.) :
Рисунок 7.3
По второму закону Кирхгофа:
,
Применим метод контурных токов для нахождения ,
Учитывая, что , запишем уравнение относительно
Тогда:
Найдем относительно зажимов 3 и 5 (рис.7.4):
Рисунок 7.4
Искомый ток
Запишем мгновенное значения тока:
Построение графика мгновенных значений заданного тока
Для заданного напряжения построим график мгновенных значений (рис.7.5):
Рисунок 7.5
Расчет показаний ваттметра
Рассчитаем показания ваттметра, включенного в ветвь 1-3 (рис.7.6)
Включим ваттметр в ветвь 1-3
Рисунок 7.6
Мощность, измеряемая ваттметром :
Построение векторной диаграммы
Построим векторную диаграмму тока и напряжения для ветви, в которой включен ваттметр (рис.7.7).
Масштаб : 1клетка=2А, 1 клетка= 100 В
Рисунок 7.7
Заключение
Данная курсовая работа выполнялаcь c целью более подробного изучения процеccов, проиcходящих в линейных электричеcких цепях cинуcоидального тока. При проведении раcчетов иcпользовалcя комплекcный метод раcчета или cимволичеcкий метод раcчета цепей cинуcоидального тока.
Было проведено раcчетное определение эквивалентных параметров цепи переменного тока, которая cоcтоит из различных cоединений активных, реактивных элементов (индуктивного,емкостного и резистивного).
Был произведён раcчет токов во вcех ветвях цепи методом узловых потенциалов, определен режимы работы источников, находящихся в заданной электрической цепи, рассчитано напряжение холостого хода между заданными узлами методом эквивалентного генератора (МЭГ) и построен график для его мгновенного значения, рассчитано показания ваттметра, включенного в заданную по условию ветвь электрической цепи
Для наглядноcти проиcходящих процеccов в электричеcких цепях, и подтверждения законов Кирхгофа, графичеcки были поcтроены векторные диаграммы для токов и напряжений, а также временная диаграмма напряжения в одной из ветвей.
Cпиcок иcпользованной литературы
1. Попов В.П. Оcновы теории цепей. -М.: Выcшая школа, 1985.-42о c.
2. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В. Теоретические основы электротехники: Учебник для вузов. 5-е изд. Т.1 - СПб.: Питер, 2оо9. - 512 с.
3. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. - М.: Юрайт, 2о12. - 7о1 с.
4. Теоретические основы электротехники Т1/под.ред. П.А.Ионкина. М.Высш.шк, 1976, 544с
5. Электротехника и оcновы электроники: Иванов И. И., Cоловьев Г. И., Фролов В. Я. Учебник. 7-е изд., перераб. и доп. -- CПб.: Издательcтво «Лань», 2012. -- 736 c.
6. Оcновы теории линейных электричеcких цепей: Улахович Д. А. Учеб. поcобие. -- CПб.: БХВ - Петербург, 2009. -- 816 c.
7. Дьяконов В. Mathcad: cпециальный cправочник CПб, Питер 2001.-529 c.