Материал: Методика решения уравнений типа свертки

 (2.6)

Задача факторизации коэффициентов краевой задачи (2.6)

 (2.7)

Подставляя (2.7) в (6.6), получим

 (2.8)

Обозначая

 (2.9)

приходим к задаче

 (2.10)

где

Из (2.10) получаем

 (2.11)

Откуда

 (2.12)

где функции ,  находятся в результате решения задачи факторизации (2.7):

При выводе (2.12) использованы следующие формулы

 (2.13)

Решение задачи факторизации (2.7) в предположениях

сводится к задаче

или обозначая

приходим к задаче по скачку (2.1), а из (2.4) получаем

 (2.14)

2.2. Задача Карлемана с дробно рациональным коэффициентом

Рассмотрим задачу

 (2.15)

Обратное преобразование Фурье приводит к уравнению

,

 (2.16)

Решение однородного уравнения (2.16)

 (2.17)

Частное решение неоднородного

 (2.18)

Рассмотрим поведение решения (2.17)-(2.18) в зависимости от индекса коэффициента задачи Карлемана (2.15)

Решение однородного уравнения (2.17):

				Поведение решения
0	> 0	> 0	> 0	Экспоненциально растет при
0	< 0	< 0	> 0	Экспоненциально растет при
1	> 0	< 0	> 0	Имеем одно линейно независимое решение
-1	< 0	> 0	> 0	Экспоненциально растущее при

Записать формулы для решения  и  с использованием функций

для

Факторизовать коэффициент задачи Карлемана

Для

.

 

.3 Задача Карлемана с интегральным условием

Рассмотрим уравнение такого вида

, (2.19)

.

Введем обозначения

 (2.20)

Получаем задачу Карлемана

, . (2.21)

Решая задачу Карлемана находим , т.е. и

,

а из (2.19) находим

. (2.22)

2.4 Интегральное уравнение типа плавного перехода для двух функций

Рассмотрим интегральные уравнения типа свертки

 (2.23)

 (2.24)

 (2.25)

Для уравнения (2.25)

Или

Где

3. Сингулярные интегральные уравнения

Приведенные методы решения краевой задачи Римана оказываются полезными при исследовании сингулярных интегральных уравнений (с.и.у.) на замкнутом контуре

 (3.1)

При исследовании с.и.у. вида (3.1), как правило, выделяют характеристический оператор

и вполне непрерывный оператор

Вначале исследуем разрешимость характеристического уравнения

 (3.2)

Одним из методов решения характеристических уравнений является его сведение к краевой задаче Римана.

Введем кусочно-аналитическую функцию, заданную интегралом типа Коши, плотностью которого служит искомое решение характеристического уравнения

Используя формулы Сохоцкого − Премеля, имеем:

 (3.3)

Подставляя в уравнение (3.2) вместо  и  их значения по формуле (3.3), приходим к краевой задаче:

, (3.4)

Где

Так как решение уравнения (3.2) ищем в виде интеграла типа Коши , который на бесконечности равен нулю, то решение краевой задачи (3.4) ищем при дополнительном условии

 (3.5)

Индекс коэффициента  краевой задачи Римана (3.4) называется индексом сингулярного интегрального уравнения (3.2).

Нормальным случаем уравнения (3.2) называется случай, когда коэффициент  соответствующей краевой задачи Римана не общается на контуре  в нуль или бесконечность. Исключительным случаем сингулярного интегрального уравнения называется случай, когда соответствующий коэффициент  обращается в нуль или бесконечность на контуре . Нетрудно видеть, что в нормальном случае  на .

Теорема 3.1. Если , то однородное уравнение  имеет  линейно независимых решений. Если , то однородное уравнение имеет только тривиальное (нулевое) решение. Если , то неоднородное уравнение разрешимо при любой правой части  и его общее решение зависит от  произвольных постоянных. Если , то неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть  удовлетворяет  условия

Где

Рассмотрим теперь общее с.и.у.

 (3.6)

В настоящее время неизвестны методы решения полных сингулярных интегральных уравнений вида (3.6) в замкнутой форме. Результатом этого исследования являются теоремы Нетера.

Теорема I. Число решений сингулярного интегрального уравнения (3.6) конечно.

Теорема II. Необходимым и достаточным условием разрешимости с.и.у. (3.6) является выполнение равенства

,

где , − полная система линейно независимых решений союзного однородного уравнения , где

Теорема III. Разность числа  линейно независимых решений особого уравнения  и числа  линейно независимых решений союзного уравнения  зависит лишь от характеристической части оператора  и равна ее индексу, т.е. .

 

.1 Обзор приближенных методов решения сингулярных интегральных уравнений

Первой работой по приближенным методам решения с.и.у. была статья М.А. Лаврентьева, в которой были исследованы два приближенных метода решения с.и.у. первого рода

 (3.7)

Уравнениями вида (3.7) описывается обтекание крыла конечного размаха воздушным потоком.

В работах Н.Винера и Е.Хопфа был предложен принципиально новый метод решения некоторых классов уравнений в свертках.

Выделенный ими класс уравнений в свертках называется сейчас уравнениями Винера-Хопфа.

Вслед за уравнением (3.7) были исследованы приближенные методы решения уравнений видов

 (3.8)

 (3.9)

Здесь  единичная окружность с центром в начале координат, а коэффициенты и правые части уравнений принадлежит классу функций Гельдера.

В цикле работ И.В. Бойкова были исследованы приближенные методы решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений, систем сингулярных интегральных уравнений и систем с.и.-д.у. Были рассмотрены с.и.-д.у.

 (3.10)

При граничных условиях

 (3.11)

и при данных Коши.

 

3.2 Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью

Пример 3.1. Нелинейные уравнения с ядром Гильберта:

 (3.12)

 (3.13)

Имеют единственное решение в гильбертовом пространстве .

В 1977 году Г.М. Магомедов рассмотрел нелинейные сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши вида

 (3.14)

В пространствах Лебега .

В 1979 году вышла работа А.И. Гусейнова и Х.Ш.Мухтарова, в которой было доказано, что уравнение вида

 (3.15)

Имеет решение в пространстве Лебега  со степенным весом

В 1980 году, приводится в монографии лишь один результат, касающийся уравнения (3.13), так как попытка использования формулы Пуанкаре-Бертрана для сведения уравнения вида (3.12) к уравнению вида (3.13) не привела к желаемым результатам.

В 1979-1981 годах были опубликованы статьи автора, в которых рассмотрены уравнения более общего вида (3.16), (3.18) и (3.20):

 (3.16)

в пространстве , с тем же весом , где

 и  (3.17)

 (3.18)

в пространстве  с тем же весом, но при условии, что

 и  при  и  при ; (3.19)

, (3.20)

в пространстве , при условии (3.17).

Рассмотрены нелинейные сингулярные интегральные уравнения на действительной оси  в комплексных пространствах  с общим весом , т.е.  есть любая неотрицательная почти всюду отличная от нуля на  измеримая функция. В случае оси  возникают дополнительные трудности связанные, по сути дела, с тем, что пространства  не являются вложенными друг в друга. В связи с этим представляют интерес следующие две леммы.

Лемма 3.1. Пусть  и . Тогда сингулярный оператор

действует из  в , непрерывен и положителен, причем

 .

Лемма 3.2. Пусть , вес , и функция  Тогда сингулярный оператор

Действует из  в , ограничен и положителен, причем:

Обозначим через  множество всех комплексных числе. Введем в рассмотрение нелинейный оператор суперпозиции , порожденный комплекснозначной функцией , удовлетворяющей условиям Каратеодори:

1)      существуют  такие, что для почти всех  и любого

2)      для почти всех  и всех  выполняется неравенство: ;

)        существуют  и  такие, что для почти всех  и любого ;

)        существуют  и  такие, что для почти всех  и любого

)        для почти всех  и всех выполняется неравенство:

)        существуют  такие что для почти всех  и всех

Следующие теоремы относятся к различным классам нелинейных сингулярных интегральных уравнений исследование каждого из которых требует своего особого подхода.

Теорема 3.2. Пусть  почти всюду отличная от нуля на  функция. Если  а  удовлетворяет условиям 1-3, то уравнение

Имеет решение  при любых  таких, что  кроме того, если в условии 3 , то . Решение единственно, если выполнено условие 5 или .

Теорема 3.3. Пусть  Если  удовлетворяет условиям 1,3 и 5, то уравнение

Имеет единственное решение . Если в условиях 1 и 3 , то .

Теорема 3.4. Пусть Если  удовлетворяет условиям 4-6, то  уравнение

Имеет единственное решение  при любом . Кроме того, если , то

Заключение

В результате выполнения дипломной работы выполнены поставленные цели:

·        Разработан учебно-методический комплекс дисциплины "Уравнений типа свертки" для студентов 4 курса;

·        Получены углубленные знания в области краевых задач и приводящихся к ним интегральным уравнениям типа свертки;

·        Исследованы методы решения различных классов уравнений свертки и применены полученные результаты к решению задач;

·        Проведены сравнения между ВУЗами по дисциплинам "Уравнения типа свертки".

В дипломной работе изложена методика решения уравнений типа свертки. Полученные результаты исследования интегральных уравнений типа свертки приводится с помощью сведения к краевым задачам теории аналитических функций, задаче Римана и Карлемана. Приведены теоремы Нетера.

Предложены методы решения уравнений Винера-Хопфа, парных уравнений, уравнений с одним и двумя ядрами, уравнений плавного перехода и сингулярных уравнений на вещественной оси.

Список использованных источников

1.      Аблаева С.Г. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения типа свертки / С.Г. Аблаева - Казань, 2014. - 15 с. - (рабочая учебная программа).

2.      Александров В.А. Обобщенные функции / В.А. Александров − Новосибирск, 2005. − 46 с. − (учебное пособие).

.        Аксентьева Е.П. Эффективное решение задачи Карлемана для некоторых групп расходящегося типа / Е.П. Аксентьева, Ф.Н. Гарифьянов − Казань, 2003. − 10 с. − Сибирский математический журнал − Том 46, №4.

.        Арабаджян Л.Г. О разрешимости одного класса интегральных уравнений ассоциируемых с уравнением Винера - Хопфа / Л.Г. Арабаджян, С.А. Хачатрян − Армения: С. 23−26.

.        Асхабов С.Н. Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью: дис. доктора физ.-мат. наук: 01.01.02 / Асхабов Султан Нажмудинович − Белгород, 2010. − 31 с.

.        Барсукова В.Ю. Преобразование Фурье и уравнения типа свертки / В.Ю. Барсукова − Краснодар, 2011. − 7 с. − (рабочая учебная программа). [Электронный ресурс]:://db.edu.kubannet.ru/infoneeds/file_export.do?fid=216418

7.      Барсукова В.Ю. Теория Нетера / В.Ю. Барсукова − Краснодар, 2011. − 7 с. - (рабочая учебная программа).

8.      Батырев А.А. Методы сингулярных интегральных уравнений в математических моделях линейных систем: автореф. дис. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук: спец. 01.05.02 "Математическое моделирование и вычислительные методы" / Батырев Алексей Аристидович. − Харьков, 2010. −19 с.

.        Безродных С.И. Сингулярная задача Римана − Гильберта и ее приложение: автореф. дис. на соискание учеб. степени канд. физ.-мат. наук: спец. 01.01.03 "Математическая физика" / Безродных Сергей Игоревич. − Москва, 2006. −22 с.

.        Белоцерковский С.М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике / С.М. Белоцерковский, И.К. Лифанов − М.: Наука, 1985. − 256 с.

.        Бойков И.В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений / И.В. Бойков − Пенза, 2004. − 297 с.

.        Варданян Р.С. О решении одного класса интегральных уравнений типа свертки / Р.С. Варданян, Н.Б. Енгибарян − Ереван: журнал, 1989. − С. 1291 − 1300.

.        Вахрамеева А.В. Уравнение свертки в гильбертовых пространствах последовательностей с весом: автореф. дис. на соискание учебной степени канд. ф.-м. н.: спец. 01.01.01 "Математический анализ" / Вахрамеева Анна Владимировна − Уфа, 2007. − 20 с.

.        Верлань А.Ф. Интегральные уравнения. Методы. Алгоритмы. Программы. / А.Ф. Верлань, В.С. Сизиков - Киев: справочное пособие, 1986. - 544 с.

.        Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов − М.: Наука, 1977. − 640 с.

.        Гахов Ф.Д. Уравнения типа свертки / Ф.Д. Гахов, Ю.И. Черский − М.: Наука, 1978. − 298 с.

.        Гохберг И.Ц. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн - М.: Наука, 1967. - 508 с.

.        Гохберг И.Ц. Сингулярные интегральные операторы с кусочно-непрерывными коэффициентами и их символами / И.Ц. Гохберг, Н.Я. Крупник − К.: Кишиневский гос. университет, 1970. − С. 940 − 964.

.        Гохберг И.Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И.Ц. Гохберг, И.А. Фельдман − М.: Наука, 1971. −353 с.

.        Диткин В.А. Интегральные преобразования и операционное исчисление / В.А. Диткин, А.П. Прудников − М.: гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961. - 524 с.

.        Дубровина О.В. Интегральные операторы по конечному промежутку, вейвлет-преобразования и их приложения: автореф. дис. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук: спец. 01.01.01 "Математический анализ" / Дубровина Ольга Викторовна. − Гродно, 2007. − 20 с.

.        Дудучава Р.В. Интегральные уравнения свертки с разрывными предсимволами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложения к задачам механики / Р.В. Дудучава − Тбилиси: Мецниереба, 1979. − 135 с. − (Труды Тбилисского математического института).

.        Дыбин В.Б. Дискретные свертки / В.Б. Дыбин − Ростов-на-Дону, 2012. − 7 с. (учебно-методический комплекс). [Электронный ресурс]: #"815512.files/image217.gif"> spaces. / Vakhtang Kokilashvili // Bulletin of the Georgian national academy of sciences, vol 4, no 1, 2010. − P. 5-7.

55.    Karapetiants N.K., Singular integral equations on the real line with homogeneous kernels and the inversion shift / N.K. Karapetiants, S.G. Samko // Journal of national geometry, 2001.− 17 p.

56.    Karapetiants N.K., On multi-dimensional integral equations of convolution type with shift / N.K. Karapetiants, S.G. Samko // Integr. Eguat. Oper. Theory, 2001, − P. 305−328.

57.    Gomaa El-Sayed, Nonlinear functional integral equations of convolution type / W. Gomaa El-Sayed // Portugaliae Mathematica, 1997. − P. 450−456.

Приложение 1

Экранные формы интернет-ресурса УМКД

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Рабочая программа разработана в соответствии с ФГОС ВПО по направлению подготовки 010100.68 Математика, утвержденным приказом Минобрнауки России от 14.01.2010 №40, и примерной ООП.

Рецензент(-ы): К.А. Кирий, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики КубГТУ.

Составитель(-ли): канд. физ.-мат. наук, доцент В.Ю. Барсукова.

Рабочая программа рассмотрена и утверждена на заседании кафедры дифференциальных и интегральных уравнений "20" сентября 2011 г. протокол №2

Заведующий кафедрой Цалюк З.Б., доктор физ.-мат.наук, профессор

Рабочая программа одобрена на заседании учебно-методической комиссии факультета математики и компьютерных наук "06" декабря 2011 г. протокол №3.

Председатель УМК ФМ и КН канд.физ.-мат.н., доцент Титов Г.Н.