Материал: Методика решения уравнений типа свертки

Методика решения уравнений типа свертки

Содержание

уравнение свертка интегральный алгоритм

Введение

. Методика решения уравнений типа свертки

.1 Сравнительная характеристика рабочих программ по дисциплине "Уравнения типа свертки"

.2 Классификация интегральных уравнений типа свертки

.3 Методы решения интегральных уравнений типа свертки

.4 Цели и задачи дисциплины

. Обобщенные задачи

.1 Краевые задачи типа Карлемана для полосы

.2 Задача Карлемана с дробно рациональным коэффициентом

.3 Задача Карлемана с интегральным условием

.4 Интегральное уравнение типа плавного перехода для двух функций

. Сингулярные интегральные уравнения

.1 Обзор приближенных методов решения сингулярных интегральных уравнений

.2 Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью

Заключение

Список использованных источников

Приложение

Введение

Актуальность работы. На протяжении XIX и XX веков были исследованы многочисленные виды интегральных уравнений в свертках; причем получены как качественные результаты, так и приближенные методы их решения. Огромный вклад в разработку методов исследования уравнений в свертках внесли Н. Винер и Е. Хопф, Ф.Д. Гахов [15], Г. Деч, М.Г. Крейн [17], Н.И. Мусхелишвили [42], В.А. Фок, предложившие различные методы решения этих уравнений.

Дальнейшее развитие аналитических и численных методов решения уравнений в свертках связано с именами И.В. Бойкова [11], Г.И. Василенко, А.Ф, Верланя [14], Ф.Д. Гахова [16], И.Ц. Гохберга [17] − [19], В.В. Гласко, Б.Н. Енгибаряна [12], И.К. Лифанова [37], Б.И. Мусаева, В.С. Сизикова [14], А.Н. Тихонова [44] и др.

Параллельно с уравнениями в свертках на протяжении XX столетия развивались аналитические и численные методы решения сингулярных интегральных уравнений в свертках. Основные направления развития численных методов решения сингулярных интегральных уравнений отмечены в монографиях С.М. Белоцерковского [10] и И.К. Лифанова, И.В. Бойкова и др.

В последнее время активно развиваются новые направления, связанные с применением интегральных уравнений в свертках.

Объект исследования. Объектами исследования являются интегральные уравнения типа свертки.

Цель дипломной работы.

·        Разработать учебно-методический комплекс дисциплины "Уравнений типа свертки" для студентов 4 курса;

·        Получить углубленные знания в области краевых задач и приводящихся к ним интегральным уравнениям типа свертки;

·        Исследовать методы решения различных классов уравнений свертки и уметь применять полученные результаты к решению задач;

Задачи дипломной работы.

·        Предложить и обосновать итерационные методы решения уравнений в свертках, уравнений Винера−Хопфа, уравнений с парными ядрами, сингулярных интегральных уравнений, интегральных уравнений с одним и двумя ядрами.

·        Предложить алгоритмы при решении уравнений типа свертки.

·        Разбираться в классификации уравнений свертки и методах их решения.

·        Провести сравнительный анализ учебных программ других ВУЗах по данной дисциплине.

Методика исследования. В работе использованы: метод Винера-Хопфа, методы функционального анализа, численные методы, проекционные методы, преобразование Фурье, преобразование Лапласа, вельвет-преобразования, преобразования Меллина.

Научная новизна исследования.

реализованы методы решения задач уравнений типа свертки.

даны обобщение методов решения интегральных уравнений в свертках с ядрами различного вида, принадлежащими пространству ;

предложены методы решения уравнений Винера-Хопфа, парных уравнений, уравнений с двумя ядрами, уравнений с одним ядром, сингулярных интегральных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность работы. Теоретическая ценность работы заключается в разработке параллельных методов решения уравнений в свертке, дающих решение следующим классам невырожденных уравнений в свертках: односторонних уравнений (Винера-Хопфа), уравнений с двумя ядрами, уравнений с одним ядром, парные уравнения, сингулярные интегральные уравнения.

Практическая ценность заключается в полном решении уравнений в свертках. Полученные результаты представляют теоретический интерес и вносят существенный вклад в развитие интегральных уравнений.

Структура и объем дипломной работы. Диплом состоит из введения, трех разделов, приложения, заключения и списка использованных источников. Список использованных источников включает 57 наименований. Общий объем работы 65 страниц текста.

1. Методика решения уравнений типа свертки

.1 Сравнительная характеристика рабочих программ по дисциплине "Уравнения типа свертки"

В Южном федеральном университете предлагается рабочая программа "Теория операторов Нетёра" Дыбина В.Б. [25]. Общая трудоемкость составляет 108 часов. Из них 32 часа лекций, 36 часов на экзамен и 40 часов самостоятельной работы. Преподается "Теория операторов Нетёра" для магистров в девятом семестре. По этой специальности рассматриваются такие темы: Нормализация операторов, представимых в виде произведения нетерова и неограниченно обратимого операторов; Примеры нормализации операторов Теплица, операторов типа свертки и сингулярных интегральных операторов. На изучение дается 2 лекции (4 часа).

Дыбин В.Б. [24] разработал рабочую программу "Сингулярные интегральные уравнения" для магистров, очного обучения. Изучение дисциплины составляет 72 часа. Из них 32 часов лекций и 40 часов самостоятельной работы. Встречаются разделы по дисциплине "Уравнения типа свертки": Изометрия континуального оператора типа свертки на прямой и сингулярного интегрального оператора на прямой; Изометрия дискретного оператора типа свертки и сингулярного оператора на окружности; Редукция к дискретным уравнения типа свертки; Редукция к континуальным уравнениям типа свертки.

Учебно-методический комплекс "Дискретные свертки" в Южном федеральном университете был разработан Дыбиным В.Б. [23]. Предложена программа спецкурса и система индивидуальных заданий.

Следующая рабочая программа по дисциплине "Теория Нетера" изучается в Кубанском государственном университете. Барсукова В.Ю. [7] разработала программу для магистров и изучение курса составляет 72 академических часа. Из них предусмотрены 16 часов практических занятий, а также 56 часов самостоятельной работы. Проходят такие темы: Основные определения оператора Нетера; Регуляризация операторов; Свойства операторов Нетера.

Рабочая учебная программа по дисциплине "Преобразование Фурье и уравнения типа свертки" конкретно изучает данную тему уравнений свертки. Данная дисциплина, написанная Барсуковой В.Ю. [6], читается на 6 курсе, 9 семестр. Встречаются темы: Интегральный оператор типа свертки; Линейные интегральные уравнения типа свертки на оси; Уравнение типа свертки с экспоненциально-степенным ядром. Время на изучение 36 часов.

Программа дисциплины "Обобщенные краевые задачи" составили Киясов С.Н. и Обносов Ю.В. [29] для бакалавров 4 курса Казанского федерального университета. Общая трудоемкость дисциплины составляет 216 часов, 8 разделов. Похожие темы встречаются как, Операторы сингулярного интегрирования; Сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши; Сингулярное интегральное уравнение со сдвигом Карлемана; Характеристические уравнения типа свертки; Полные уравнения типа свертки и т.д. Применены вопросы к зачету и экзамену.

Аблаева С.Г. [1] является автором программы дисциплины "Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения" в Казанском федеральном университете. Читается спецкурс на 3 курсе, 5 семестр. Время на изучение 252 часов (21 раздел). Одни из тем являются: Сингулярные интегральные уравнения, содержащие комплексно сопряженные неизвестные; Сингулярные интегральные уравнения с ядром Гильберта; Сингулярные интегральные уравнения в случае кусочно-гладкой линии интегрирования. Предоставлены примерные вопросы к зачету и экзамену и учебно-методические обеспечение самостоятельной работы студентов.

Рабочая учебная программа "Уравнения типа свертки" составлена В.А. Лукьяненко для Таврического национального университета. Данная дисциплина читается для студентов 4 курса и выделяет всего 72 часа. Темы разделов: Преобразования Фурье и краевая задача Римана; ИУТС; ИУТС в классах функций показательного роста; Приближенное решение уравнений типа свертки; Приложения к задачам математического физики. Предоставлены индивидуальные работы для студентов и контрольные вопросы.

.2 Классификация интегральных уравнений типа свертки

В учебно-методическом пособии разбираются интегральные уравнения типа свертки для классических случаев класса , класса функций показательного роста и обобщенных функций.

В монографии Ф.Д. Гахова и Ю.И. Черского [16] рассматривается интегральные уравнения типа свертки с одним и двумя ядрами, парные уравнения, одностороннее уравнения, сингулярные интегральные уравнения, которые принадлежат классу .

Уравнение с одним ядром имеет такой вид:

Приводится уравнение с двумя ядрами, принадлежащий классу :

Парное интегральное уравнение рассмотрено в учебном пособии

и одностороннее уравнение определено на положительной полуоси

.

Все уравнения вида рассмотрены и приведены для самостоятельного решения в учебно-методическом комплексе.

Определение 1.1. Классом  называется искомая функция  одновременно, удовлетворяющая условию Гельдера и принадлежит пространству . Чтобы решить интегральные уравнения типа свертки в классах функций показательного роста, нужно ссылаться на методичку, в которой даны основные определения.

Определение 1.2. Говорят, что функция  принадлежит классу , если .

Определение 1.3. Говорят, что функция

принадлежит классу , если .

из соотношений

следует, что если , то также  для любого , и если , то  для .

Из "Обобщенных функций" Александрова В.А. [2] наводятся следующие определения, доказательства и примеры, относящиеся к свертке обобщенных функций.

1.3 Методы решения интегральных уравнений типа свертки

В учебно-методическом пособии предложены методы решения уравнений Винера-Хопфа, парных уравнений, уравнений с двумя ядрами, уравнений с одним ядром, уравнений плавного перехода и сингулярных интегральных уравнений на вещественной оси.

Методикой исследования является метод Винера-Хопфа, метод функционального анализа, численные методы, преобразование Фурье, преобразование Лапласа и другие.

Научной новизной в дипломной работе является приведенные обобщенные примеры во втором разделе: Краевые задачи Карлемана для полосы; Задача Карлемана с дробно-рациональным коэффициентом, с интегральным условием; Интегральные уравнения типа плавного перехода для двух функций.

.4 Цели и задачи дисциплины

Целями освоения дисциплины "Уравнения типа свертки" являются:

·        Получить знания в области краевых задач, приводящихся к ним интегральных уравнений типа свертки;

·        Развить способность применения общих методов анализа, теорий функций и теории операторов к конкретным прикладным задачам;

·        Обладать теоретическими знаниями и иметь четкое представлениях о методах исследования и решения краевых задач со сдвигом и интегральных уравнений типа свертки;

·        Научиться применять полученные знания к решению конкретных задач.

В результате освоения дисциплины формируется следующие компетенции:

В результате освоения дисциплины студент:

.        Должен знать: знать основные понятия теории краевые задачи, сингулярные интегральные уравнения со сдвигом и уравнения типа свертки, определения и свойства, формулировки утверждений, методы их доказательства, их приложений.

.        Должен уметь: уметь решать краевые задачи, сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки.

.        Должен владеть: владеть математическим аппаратом, методами решения задач и доказательства.

2. Обобщенные задачи

.1 Краевые задачи типа Карлемана для полосы

Во втором пункте разобраны обобщенные примеры, которые не вошли в учебно-методический комплекс и являются новыми результатами.

Дана краевая задача типа Карлемана.

Задача по скачку. Требуется найти две функции

 - аналитичную в полосе ,

 - аналитичную в полосе

по краевому условию:

 (2.1)

Применим к условиям (2.1) обратное преобразование Фурье

Получим

 (2.2)

Определитель системы (2.2)

равен нулю только при

 (2.3)

Используя формулы для преобразования Фурье-функции (в классе обобщенных функций)

получим интегральное представление для искомых функций (аналог формул Сохоцкого).

 (2.4)

Задача Карлемана для двух функций :

 (2.5)

Предполагая, что коэффициенты не равны нулю, положим