Здесь Можно показать, что конечные разности порядка к выражаются через значения функции в к+1 точке по формуле

Приведём без доказательства важное утверждение, указывающее на тесную связь между производными гладких функций и их конечными разностями.

Теорема 3. Пусть функция f дифференцируема к раз на отрезке [x_i, x_i+k]. Тогда справедливо равенство

(38)

В котором - некоторая точка из интервала [x_i, x_i+k].

Замечание. При к=1 формула (38) совпадает с формулой конечных приращений Лагранжа .

Следствие. Для многочлена конечная разность порядка n является постоянной величиной, равной . Разности порядка к>n тождественно равны нулю.

Пусть функция f задана на таблице значений аргумента произвольными ( не обязательно постоянным) шагом, причём точки таблицы занумерованы в произвольном ( не обязательно возрастающем) порядке. Величины

Принято называть раздельными разностями первого порядка функции f. Раздельные разности второго порядка определяются формулой

Аналогично определяется разности третьего и более высоких порядков. Общее определение разделённой разности порядка таково:

Разделение разности обладают рядом замечательных свойств. Перечислим без доказательства некоторые из них.

1.Раздельная разность является симметричной функцией своих аргументов (т.е. её значение не меняется при любой их перестановке).

2. пусть функция f имеет на отрезке [a,b], содержащем точки производную порядка к. тогда справедливо равенство

(39)

Где - некоторая точка, расположенная на интервале (a,b).

3. В случае, когда таблица значений аргумента имеет постоянный шаг h, разделённая и конечная разности связаны равенством

(40)

Используя разделённые разности, интерполяционный многочлен можно записать в следующем виде:

(41)

здесь Записанный в таком виде интерполяционный многочлен называют интерполяционным многочленом Ньютона с раздельными разностями.

Замечание 1. Отметим очевидную (с учётом равенства (10)) аналогию между формулой Ньютона (41) и формулой Тейлора.

Замечание 2. Формулу (6) для погрешности интерполяции в точке х, не являющейся узловой, можно уточнить следующим образом:

(42)

В практическом плане формула (41) обладает рядом преимуществ перед формулой Лагранжа. Пусть, например, необходимо увеличить степень интерполяционного многочлена на единицу, добавив в таблицу ещё один узел . При использовании формулы Лагранжа это приводит не только к увеличению числа слагаемых, но и к необходимости вычислять каждое из них заново. В то же время для вычисления по формуле Ньютона достаточно добавить к лишь одно очередное слагаемое, так как

(43)

Заметим, что в случае, когда величина мала, а функция f достаточно гладкая, справедливо приближённое равенство

из которого с учётом равенств (42) и (43) следует, что

Таким образом, величину можно использовать для практической оценки погрешности интерполяции.

Пусть интерполируемая функция задана таблицей своих значений y_i (i=0,n) с постоянным шагом . В этом случае, используя формулу (40) связи между разделёнными и конечными разностями и вводя безразмерную переменную многочлен Ньютона (41) можно записать в следующем виде:

(44)

Многочлен (44) называется интерполяционным многочленом Ньютона с конечными разностями для интерполяции вперёд. Эта формула применяется когда значение х находится ближе к началу отрезка интерполирования.

Заметим. Что в формуле (44) используются только конечные разности, расположенные в верхней косой строке таблицы конечных разностей, записав многочлен в виде интерполяционного многочлена Ньютона с конечными разностями для интерполяции назад:

(45)

Здесь - безразмерная переменная. Формула (16) применяется, когда значение х находится ближе к концу отрезка интерполирования.

Примеры решения задач

Пример 1. Пусть задана таблица значений функции :

х	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4
у	0,000000	0,095310	0,182322	0,262364	0,3336472

Для приближённого вычисления значения ln(1.23) воспользуемся линейной и квадратичной интерполяцией.

Возьмём х₀=1,2 и х₁=1,3. Вычисление по формуле (43) даёт значение ln(1,23)=0,206335.

Для применения квадратичной интерполяции возьмём х₀=1,1, х₁=1,2, х₂=1,3 – три ближайших к точке х=1,23 узла. Вычисляя по формуле (44), имеем ln(1,23)=0,207066.

Пример 2. Оценим погрешность приближений к ln(1,23), полученных в примере 1 с помощью интерполяции многочленами первой и второй степени. В этих случаях неравенство (46) имеет вид

(46),(47)

Заметим, что для f(x)=ln(x) имеем и . Поэтому здесь

Тогда в силу неравенств (46) и (47) получаем следующие оценки погрешности:

Форма отчётности: устный опрос. Составление программ на ЭВМ в курсе лабораторных работ по математике.

Заключение

Данные методические указания помогут студентам изучить курс математики, а также предоставят студентам широкие возможности для активного самостоятельного изучения практической и теоретической части курса математики.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………….….1

1. Разделы дисциплины и виды занятий (тематический план).1

2. Содержание разделов дисциплины в первом семестре…….. 6

3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины……….….10

4. Методические рекомендации по организации изучения математики……………………………………………………...…..13

5. Рекомендуемый перечень тем практических занятий……...14

6. Темы, выносимые на самостоятельное изучение….….....…17

Заключение………………………………………………………46

Методические указания

к изучению курса «Высшая математика» (план – график, первый курс, первый семестр) по направлению 220400.62 «Управление в технических системах», профиль «Управление и информатика в технических системах», очной формы обучения

Составители: Катрахова Алла Анатольевна,

Купцов Валерий Семенович,

Васильев Евгений Михайлович

В авторской редакции

Подписано к изданию 14.03. 2012.

Уч.-изд. л. 2,7

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп.,14