Материал: Методические указания к изучению курса «Высшая математика» по направлению «Управление в технических системах». Катрахова А.А., Купцов В.С

16. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты. М.: Высшая школа. 1994.

17. Семенов М.П., Катрахова А.А. Основы численных методов Учебное пособие. Воронеж. ВГТУ. 2005.

18. Федотенко Г.Ф., Катрахова А.А., Купцов В.С., Купцов А.В. Mетодические указания для выполнения типовых расчетов по курсу «Математика» для студентов cпециальностей 220201, 140604, 14601, 110302 дневного обучения. Линейные пространства. Воронеж. ВГТУ. 2009.

19. Федотенко Г.Ф., Катрахова А.А., Купцов В.С., Купцов А.В. Mетодические указания для выполнения типовых расчетов по курсу «Математика» для студентов cпециальностей 220201, 140604, 14601, 110302 дневного обучения. Аналитическая геометрия. Воронеж. ВГТУ. 2009.

20. Федотенко Г.Ф., Катрахова А.А., Купцов В.С., Купцов А.В. Mетодические указания для выполнения типовых расчетов по курсу «Математика» для студентов cпециальностей 220201, 140604, 14601, 110302 дневного обучения. Пределы.

Воронеж. ВГТУ. 2009.

21. Федотенко Г.Ф., Катрахова А.А., Купцов В.С., Купцов А.В.Mетодические указания для выполнения типовых расчетов по курсу «Математика» для студентов cпециальностей 220201, 140604, 14601, 110302 дневного обучения. Дифференцирование. Воронеж. ВГТУ. 2009.

22. Федотенко Г.Ф., Катрахова А.А., Купцов В.С., Купцов А.В. Mетодические указания для выполнения типовых расчетов по курсу «Математика» для студентов cпециальностей 220201, 140604, 14601, 110302 дневного обучения. Графики. Воронеж. ВГТУ. 2009.

23. Федотенко Г.Ф., Катрахова А.А., Купцов В.С., Купцов А.В. Mетодические указания для выполнения типовых расчетов по курсу «Математика» для студентов cпециальностей 220201, 140604, 14601, 110302 дневного обучения. Интегралы. Воронеж. ВГТУ. 2009.

24. Федотенко Г.Ф., Катрахова А.А., Купцов В.С., Купцов А.В. Mетодические указания для выполнения типовых расчетов по курсу «Математика» для студентов cпециальностей 220201, 140604, 14601, 110302 дневного обучения. Часть 7. Воронеж. ВГТУ. 2010.

23. Федотенко Г.Ф., Катрахова А.А., Купцов В.С., Купцов А.В. Mетодические указания по организации самостоятельной работы по курсу «Математика» для студентов специальностей 220201 «Управление и информатика в технических системах», 140604 «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов», 140601 «Электромеханика», 110302 «Электрификация и автоматизация сельского

хозяйства» очной формы обучения. Функции нескольких переменных. Воронеж. ВГТУ. 2011.

4. Методические рекомендации по организации изучения математики

Четкая организация изучения дисциплины «Математика» основанная на правильном сочетании аудиторных учебных занятий, продуктивной самостоятельной работе студентов и систематическом контроле, играет основополагающую роль в глубоком математическом образовании современного студента. Исходя из этих принципов, в первом семестре рекомендуются следующие контрольные мероприятия, обеспечивающие систематическую работу студентов и ее контроль в течение семестра и, в совокупности, охватывающие почти весь материал этой дисциплины:

Контрольные мероприятия:

1. Контрольная работа №1 «Определители и матрицы. Системы линейных уравнений» (7-я неделя).

2. Типовой расчет №1 «Аналитическая геометрия» (9-я неделя).

3. Коллоквиум по темам «Векторная алгебра и аналитическая геометрия» (10-я неделя).

4. Контрольная работа №2 «Пределы. Дифференцирование. Графики» (13-я неделя).

5. Типовой расчет №2 «Неопределенный и определенный интеграл» (16-я неделя).

5. Рекомендуемый перечень тем практических занятий

6. Темы, выносимые на самостоятельное изучение тема №1 метод гаусса исследования и решения систем линейных уравнений

Литература: [3]; [4], [14]; [15], [18].

Основные понятия

Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными х₁, х₂, … , х_n:

(1)

Где числа a_ij (i=1,2, …, m; j=1, 2, …, n) называются коэффициентами системы , а числа b₁, b₂ ,…, b_m – свободными членами.

Матрица

(2)

Называется расширенной матрицей системы (1).

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу матрицы расширенной матрицы системы.

Если r(A)=r(A)=n, то система имеет единственное решение. Если r(A)=r(A)<n, то система имеет бесконечное множество решений.

Рангом r(A) матрицы А называется небольшой размер (порядок) её минора, отличного от нуля.

Ранг матрицы не изменяется при следующих преобразованиях называемых элементарными:

1. Перестановке двух любых строк (столбцов) матрицы;

2. Умножении строки (столбца) матрицы на любое число, отличное от нуля;

3. Сложении двух любых строк (столбцов) матрицы, умноженных на любые, отличные от нуля, числа;

4. Вычёркивании строк (столбцов) матрицы, состоящих из нулей.

Матрицы, полученные одна из другой при помощи конечного числа элементарных преобразований, называются эквивалентными, что обозначается так А ~А^/.

При помощи определённых выше элементарных преобразований, выполняемых только над строками расширенной матрицы А, эту матрицу приводят к ступенчатому (треугольному) виду (прямой ход метода Гаусса):

(3)

При этом r(A)=r(A^|)=k, если существует а^/_ki≠0 ( i=k,,…, n), и r(A)=r(A^|). По полученной матрице А^/ составляют систему уравнений с новыми коэффициентами. Утверждения о том, что полученная система совместна и определена, верны и для системы (1). Решение полученной системы уравнений начинают с последнего уравнения (обратный ход метода Гаусса).

Метод Жордана-Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы системы (1) может быть приведена к диагональному виду:

(4)

Матрица (4) является расширенной матрицей системы

(5)

Которая с точностью до обозначения неизвестных эквивалентна исходной системе (1).

Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система (1) несовместны. Если же то система совместна и формулы (5) дают по существу явное выражение для базисных неизвестных х₁,…,х_к через свободные неизвестные х_к+1,…,х_n.

Примеры задач

Пример 1. Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение системы линейных уравнений

Решение. Меняем местами первое и второе уравнения и записываем расширенную матрицу системы. Затем под1 в первом столбце делаем нули. Для этого первую строку умножаем на -6 и прибавляем ко второй строке (складываются соответствующие элементы), первую строку умножаем на 7 и прибавляем к третьей строке, первую строку умножаем на 3 и прибавляем к четвёртой строке:

Делаем нули под -15 во втором столбце. Для этого прибавляем вторую строку к третьей и четвёртой. Так как третья и четвёртая строки состоят из нулей, то вычёркиваем их:

Таким образом, расширенная матрица системы приведена к треугольному (ступенчатому виду) виду. Производим обратный ход метода Гаусса. Записываем систему уравнений с новыми коэффициентами, эквивалентную исходной:

Будем считать базисными переменными х₁ и х₂, а свободными х₃ и х₄. Из второго уравнения :

Подставляем в первое уравнение и выражаем х₁:

Обозначим свободные переменные х₃=с₁ и х₄=с₂, получаем общее решение системы в виде

Пример 2. Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение системы линейных уравнений

Решение. Записываем расширенную матрицу системы. Затем умножаем первую строку на -1 и прибавляем ко второй, умножаем первую строку на 2 и прибавляем к третьей:

Умножаем вторую строку на -2 и прибавляем к третьей:

Таким образом, расширенная матрица системы приведена к треугольному (ступенчатому) виду. Производим обратный ход метода Гаусса. Записываем систему уравнений с новыми коэффициентами, эквивалентную исходной:

Замечаем, что третье уравнение системы не имеет решений, поэтому система несовместна (не имеет решений).

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение систем:

а) , б)