Материал: Методические указания к изучению курса «Высшая математика» по направлению «Управление в технических системах». Катрахова А.А., Купцов В.С

в) , г)

Форма отчетности: краткий реферат с решением задач, который представляется по ходу изучения программы курса математике и решение задач на ЭВМ в курсе лабораторных работ по математике.

ТЕМА №2

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.

РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ.

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ.

УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ.

Литература: [3]; [8], [14], [15], [19].

Основные понятия

Каждая прямая на плоскости хОу определяется линейным алгебраическим уравнением с двумя неизвестными. И обратно: каждое линейное алгебраическое уравнение с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости.

Перечислим виды уравнений прямой на плоскости.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y=kx+b. (6)

Здесь k – угловой коэффициент прямой; k=tgα, где α – угол, который образует прямая с положительным направлением оси Ox ; b – ордината точки пересечения прямой с осью Oy.

2. Общее уравнение прямой:

Ax+By+C=0. (7)

Здесь А, В и С – постоянные коэффициенты, причем А и В не обращаются одновременно в нуль, т.е. А² +В² ≠ 0.

Частные случаи этого уравнения:

а) Ах + Ву = 0 (С = 0) – прямая проходит через начало координат;

б) Ах + С = 0 (В = 0) – прямая параллельна оси Оу;

в) Ву + С = 0 (А = 0) – прямая параллельна оси Ох;

г) Ах = 0 (В = С = 0) – прямая совпадает с осью Оу;

д) Ву = 0 (А = С = 0) – прямая совпадает с осью Ох.

3) Уравнение прямой в отрезках:

(8)

Здесь a и b – длины отрезков (с учётом знаков), отсекаемых прямой на осях Ox и Oy соответственно (рис. 1).

Рис. 1

4) Уравнение прямой, проходящей через данную точку M₀ (x₀ , y₀ ) в данном направлении:

(9)

Здесь (α –угол , образуемый прямой с положительным направлением оси Ох).

5) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂), где у₁≠у₂ и х₁≠х₂:

(10)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

(11)

Если х₁=х₂, то уравнение прямой имеет вид х=х₁; а если у₁=у₂, то у=у₁.

6) Нормальное уравнение прямой:

(12)

Здесь р-длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую; α-угол, который образует этот перпендикуляр с положительным направлением оси Ох (рис.2).

y

p

α

x

O

Рис.2

Общее уравнение прямой (7) можно преобразовать в нормальное (12) путём умножения на нормирующий множитель где знак перед дробью выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Под углом между двумя прямыми на плоскости понимается наименьший из двух смежных углов, образованных этими прямыми.

Если прямые L₁ и L₂ заданы уравнения с угловыми коэффициентами и , то угол между ними вычисляется по формуле

(13)

Условие параллельности прямых L₁ и L₂ имеет вид

к₁=к_2, (14)

а условие их перпендикулярности:

или к₁·к₂=-1). (15)

Если прямые заданы общими уравнениями А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂у+С₂=0, то величина угла между ними вычисляется по формуле

(16)

Условие параллельности имеет вид

(или А₁В₂-А₂В₁=0), (17)

А условие их перпендикулярности

А₁А₂+В₁В₂=0. (18)

Для нахождения общих точек прямых L₁ и L₂ необходимо решить систему уравнений

или (19)

При этом:

Если то имеется единственная точка пересечения прямых;

Если , то прямые параллельны, т.е. не имеют общих точек;

Если , то прямые совпадают, т.е. имеют бесконечное множество общих точек.

Расстоянием от точки М₀(х₀,у₀) до прямой Ах+Ву+С=0 называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Это расстояние определяется по формуле

(20)

Если прямая задана нормальным уравнением (12), то

(21)

Примеры решения задач

Пример 1. Уравнение прямой 4x-3y+12=0 представить в различных видах: с угловым коэффициентом, в отрезках, в виде нормального уравнения.

Решение. Для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом разрешим данное уравнение относительно у , получим - это уравнение прямой с угловым коэффициентом , b = 4 – ордината точки пересечения прямой с осью Oy. Для получения уравнения прямой в отрезках перепишем его в виде и разделим обе части уравнения на -12, в результате получим - уравнение прямой в отрезках, где a = -3,b = 4 – координаты пересечения прямой с осью Ox и Oy соответственно. Приведём исходное уравнение к нормальному виду (12). Для этого умножим обе части данного уравнения на нормирующий множитель (µ<0, так как С=12>0). В итоге получим нормальное уравнение , где cos , sin , - расстояние от точки О(0, 0) до прямой.

Пример 2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(0 , 2) и В(-3, 7).

Решение. Используем уравнение (10). Полагая в нем

х₁ =0, х₂ =-3, у₁ =2, у₂ =7, получим , т.е. -3у+6=5х или 5х + 3у – 6 = 0.

Пример 3. Найти угол между прямыми и .

Решение. Воспользуемся формулой (16), подставив в нее А₁ = 2, В₁ = -3, А₂ = 5, В₂ = -1, получим , .

Пример 4. Через точку пересечения прямых 3х-2у+5=0 и х+2у-9=0 проведена прямая, параллельная прямой 2х+у+6=0. Составить ее уравнение.

Решение. Найдем сначала точку М пересечения данных прямых. Для этого решим систему уравнений:

Получаем М(1,4) – точка пересечения этих прямых. Угловой коэффициент прямой 2х+у+6=0 k₁ = -2, следовательно угловой коэффициент прямой, параллельно данной k₂ =k₁ = -2. Запишем уравнение искомой прямой. По формуле (9) получаем у-4=-2(х-1), т.е. 2х+у-6=0.

Пример 5. Найти расстояние между параллельными прямыми 3х+4у-20=0 и 6х+8у+5=0.

Решение. Возьмём на первой прямой произвольную точку А. Пусть, например, х=0, тогда у=5, т.е. А(0,5). По формуле (20) найдем расстояние от точки до второй прямой, получим:

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

1) Доказать, что условие принадлежности трех точек М₁ (х₁ , у₁ ), М₂ (х₂ , у₂ ) и М₃ (х₃ , у₃ ) одной прямой можно записать в виде:

2) Решить задачи [5], №№ 215, 227, 234, 266, 312, 322.

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.

Тема №3 приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Параллельный перенос и поворот осей

Литература: [3]; [7], [8], [14], [15].

Основные понятия

Алгебраической кривой второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид

Ах²+2Вху+Су²+2Dx+2Ey+F=0. (22)

Где коэффициенты А, В, С не равны одновременно нулю ( в противном случае Г- прямая, т.е. алгебраическая кривая первого порядка).

В общем случае может оказаться, что уравнение (22) определяет так называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку, прямую, пару прямых).

Если же кривая Г невырожденная, то для неё найдётся такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой имеет один из следующих видов (каноническое уравнение):

1) х²+у²=R², где R>0;

2) где a, b>0;

3) или где a, b>0;

4) или , где р>0.

При этом кривая Г называется соответственно окружностью, эллипсом, гиперболой и параболой.

Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.

Точка S (x₀,y₀) является центром линии, определяемой уравнением (22), в том и только в том случае, когда её коэффициенты удовлетворяют уравнениям:

(23)

Обозначим через δ определитель этой системы:

Уравнение второй степени называется эллиптическим, если δ>0; гиперболическим, если δ<0; и параболическим, если δ=0. Уравнение центральной линии может быть только эллиптическим или гиперболическим. Если δ≠0, то система (23) является совместной и определённой, т.е. имеет решение и притом единственное. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам:

Перенося начало координат в центр S (x₀,y₀) линии и преобразуя уравнение (22) по формулам:

Получим:

(24)

Дальнейшее упрощение уравнения (23) достигается при помощи преобразования координат