Статья: Метод обчислення ваг альтернатив на основі результатів

Інститут проблем реєстрації інформації НАН України

Метод обчислення ваг альтернатив на основі результатів парних порівнянь, проведених групою експертів

В.В. Циганок

Київ, Україна

Анотації

Запропоновано метод, який дозволяє провести розрахунки усереднених ваг об'єктів, що підлягають оцінюванню (альтернатив), на основі експертної інформації, а саме, матриць парних порівнянь, отриманих від групи експертів. Враховано рівень компетентності кожного експерта в питанні, що розглядається. Представлено основні характеристичні параметри методу, отримані в результаті експериментального дослідження. Розглянуто ітеративний спосіб реалізації методу.

Ключові слова: парні порівняння, ідеально узгоджена матриця парних порівнянь, методи групового експертного оцінювання.

Основное содержание исследования

У системах, які основані на використанні знань, отриманих від експертів - системах підтримки прийняття рішень (СППР), експертних системах і т.п. - для отримання усереднених ваг об'єктів, які оцінювались групою експертів, використовуються методи групового експертного оцінювання зі зворотним зв'язком з експертами [1]. Однак існують ситуації, коли зворотній зв'язок з експертом неможливий або недоцільний, наприклад, у випадку неможливості повторно зібрати групу для внесення уточнень в експертні оцінки, або коли існують жорсткі обмеження в часі на проведення експертизи. В таких і подібних випадках існує можливість усереднити результати парних порівнянь експертів, що зазвичай представлені матрицями парних порівнянь (МПП), та розрахувати усереднені ваги об'єктів, які оцінювались експертами.

Пропонується метод, в основу якого покладено елементи комбінаторної обробки результатів парних порівнянь, що були застосовані в методі індивідуального експертного оцінювання зі зворотним зв'язком з експертом [2].

Суть запропонованого методу можна розкрити при розв'язанні задачі, що формулюється наступним чином.

Дано: A_i, i = (1, m) - матриці парних порівнянь альтернатив розмірністю nґn кожна, де m - кількість експертів, n - кількість альтернатив, с_j, j = (1, m) - ступені компетентності експертів відносно питання, пов'язаного з оцінкою даних альтернатив.

Визначити: Усереднені значення ваг альтернатив w_k, k = (1, n).

Метод визначення ваг альтернатив можна умовно розділити на наступні кроки.

1-й крок - це генерація на основі реальних матриць парних порівнянь, сформованих кожним із експертів, множини ідеально узгоджених матриць (ІУМПП). Причому ІУМПП формуються аналогічно тому, як запропоновано в комбінаторному методі парних порівнянь [2], а саме: визначаються інформаційно-значимі множини елементів МПП мінімальної потужності, на основі яких і формуються ІУМПП. Інформаційно-значима (інформаційно-вагома) множина елементів ІУМПП щ - це така множина мінімальної потужності, що складається з елементів матриці, яка несе інформацію про всю ІУМПП загалом. Причому, щ М Щ, де Щ - множина всіх елементів МПП і, як показано в [2], коли |Щ| = n², то |щ| = n - 1. Таким чином, для будь-якої ІУМПП по множині елементів щ можна відтворити множину всіх елементів Щ, визначивши значення відсутніх у щ елементів через ті, що належать цій множині.

2-й крок - кожній із ІУМПП ставиться у відповідність ваговий коефіцієнт, котрий відображує на скільки вагомим є вплив інформації, що міститься в даній ІУМПП на шукані ваги альтернатив. Кожний такий ваговий коефіцієнт враховує як ступені компетентності експертів, що брали участь у формуванні ІУМПП, так і рівень відмінності реальної МПП від ідеально узгодженої.

3-й крок - по кожній із сформованих ІУМПП, однозначно знаходяться проміжні значення ваг альтернатив (це можна зробити, наприклад, базуючись на будь-якому одному зі стовпчиків або рядків ІУМПП).

4-й крок - ці проміжні значення ваг, для кожної ІУМПП, будуть помножені на відповідні їм вагові коефіцієнти матриць.

5-й крок - для визначення усереднених значень ваг альтернатив знаходяться середні арифметичні значення отриманих добутків.

Для більш докладного опису методу розглянемо конкретний приклад. Припустимо, маємо чотири альтернативи, котрі представлені для оцінки групі з трьох експертів. Кожний з експертів має свій рівень компетентності в питанні, що розглядається, та сформував свою реальну матрицю парних порівнянь розмірністю 4ґ4, наприклад, використовуючи адитивні парні порівняння (при таких порівняннях експертові ставиться запитання: "На скільки одиниць одна альтернатива переважає іншу?"). У верхній частині табл.1 представлено реальні МПП, сформовані кожним із групи експертів. Далі детально розглянемо інформацію, представлену в цій таблиці.

1-й крок. Коротко зупинимося на формуванні множини ІУМПП (більш докладно це розглянуто в [2]). У лівій колонці табл.1 зображено вигляд графів, які використовуються для графічного представлення інформаційно-вагомих множин елементів МПП. Кожне ребро в графі поставлено у відповідність одному окремому інформаційно-вагомому елементові, на базі яких формується ІУМПП. Так, наприклад, якщо в графі є ребро між вершинами 1 і 3, то до множини належить інформаційно-вагомий елемент a₁₃. Тобто існує відповідність між графом і множиною елементів МПП. У [2] показано, що зв'язність графа є необхідною і достатньою умовою інформаційної вагомості множини елементів МПП, поставлених у відповідність цьому графові. Потужність цієї множини, а заодно, і кількість ребер у графі, рівна (n - 1). Отже, якщо граф має вигляд, як зображено на рисунку в п.1 табл.1, то відповідна ІУМПП формується наступним чином: елементи матриці a₁₂, a₁₃ та a₁₄, яким відповідають ребра графа, беруться з від-повідної реальної МПП, а решта елементів цієї матриці розрахо-вуються, виходячи зі співвідношень, що існують між елементами ІУМПП (для адитивних порівнянь, наприклад, a_ij = a_kj - a_ki).

У даному випадку: a₂₃ = a₁₃ - a₁₂; a₂₄ = a₁₄ - a₁₂; a₃₄ = a₁₄ - a₁₃. Також, без втрати загального вигляду парних порівнянь, вважаємо, що " i, j (a_ii = 0; a_ij = = - a_ji). Сформовані таким чином матриці зображені в рядках табл.1, кожен з яких відповідає інформаційно-вагомій множині елементів, представленій у вигляді графа (перша колонка).

матриця парне порівняння усереднена вага

Таблиця 1

Так, наприклад, у рядку 1 тіла табл.1 представлені ІУМПП, сформовані на основі інформаційно-вагомої множини елементів, зображеної у вигляді графа, що в лівій колонці цього рядка. Перша колонка в рядку - це ІУМПП, побудована на базі елементів a₁₂, a₁₃ та a₁₄ реальної матриці, сформованої 1-м експертом, а решту елементів цієї матриці обчислено, як згадувалось раніше (a₂₃ = a₁₃ - a₁₂; a₂₄ = a₁₄ - - a₁₂; a₃₄ = a₁₄ - a₁₃; "i, j [a_ii = 0; a_ij = - a_ji]). Далі в рядку зображені матриці, сформовані на базі тих самих елементів (a₁₂, a₁₃ та a₁₄) реальних матриць, які надали, відповідно, 2-й і 3-й експерти.

2-й крок. Згідно з методом, кожній ІУМПП ставиться у відповідність коефіцієнт, котрий відображує ступінь відмінностей цієї ІУМПП від кожної з реальних матриць, представлених експертами, що приймають участь в експертизі. Для визначення цих вагових коефіцієнтів можна запропонувати функцію f, яка б окрім усього іншого, враховувала рівень компетентності експертів, які мають відношення до конкретної сформованої ІУМПП:

R_inj = f (c_i, c_j, D_inj),

де R_inj - ваговий коефіцієнт (рейтинг) ІУМПП, сформованої на основі реальної матриці, заданої i-м експертом, на базі n-ї інформаційно-вагомої множини елементів, при порівнянні цієї ІУМПП з реальною матрицею, заданою j-м експертом; c_i, c_j - ступені компетентності відповідних експертів; D_inj - величина, що характеризує ступінь відмінності ІУМПП, сформованої на базі n-ї інформаційно-вагомої множини елементів і на основі реальної МПП, заданої i-м експертом, від реальної матриці, заданої j-м експертом.

Питання знаходження найбільш адекватної функції для знаходження D_inj залишимо для подальших досліджень. А поки що, оскільки коефіцієнт R_inj має відображувати ступінь вагомості впливу відповідної ІУМПП на усереднений результат, то величину D_inj можна запропонувати обчислювати, наприклад, для випадку адитивних парних порівнянь, як зворотну величину від суми модулів різниць між однойменними елементами відповідних матриць. Оскільки функція має бути однозначно визначеною в усіх можливих точках, то можна взяти логарифм від суми, наприклад:

D_inj = 1/ln ( + 1).

Згідно зі здоровим глуздом, рейтинг ІУМПП має зростати зі зменшенням відмінностей цієї матриці від реальних матриць, заданих експертами. Значимість відмінностей має бути прямо пропорційною компетентності експерта, що задав відповідну матрицю.

Виходячи з цього, функцію обчислення коефіцієнта R_inj природно вибрати мультиплікативного типу, яка забезпечує зростання рейтингу при зменшенні суми модулів різниць між однойменними елементами матриць або/та при збільшенні ступенів компетентності відповідних задіяних експертів:

R_inj = c_i c_j D_inj = c_i c_j / ln ( + 1).

Повертаючись до прикладу, який відображено в табл.1, ваговий коефіцієнт (рейтинг) для зображеної, наприклад, другою зліва у 3-му рядку ІУМПП обчислюється наступним чином. Нехай, у цьому прикладі ступені компетентності експертів у питанні, що стосується оцінювання даних альтернатив, будуть задані нормованими величинами: c₁ = 0,2; c₂ = 0,5; c₃ = 0,3. Тоді R₁₃₂ = c₁c₂D₁₃₂ = = 0,2ґ0,5/ln ( + 1) = 0,2ґ0,5/ln (4) = 0,138629. Аналогічним чином визначаються і решта рейтингів для ІУМПП.

3-й крок. Відповідно до запропонованого методу, на наступному етапі, по кожній з ІУМПП визначаються ваги альтернатив. Це можна зробити однозначно, взявши, наприклад, елементи будь-якого з рядків ІУМПП, або будь-якого зі стовпчиків. Наприклад, будемо брати перший рядок ІУМПП, сформованої на основі реальної матриці, заданої i-м експертом, на базі n-ї інформаційно-вагомої множини елементів, при порівнянні її з реальною матрицею, заданою j-м експертом. Тоді ваги альтернатив по цій матриці будуть визначені як різниця між максимальним значенням у рядку - і кожним елементом даного рядка - відносно безпосередньо оціненого значення ваги альтернативи, що відповідає максимальному елементу рядка - :

= + - .

4-й і останній крок. Усереднені значення ваг альтернатив знаходяться як сума добутків ваг альтернатив, визначених по ІУМПП і нормованих значень рейтингів цих матриць:

w_m = ( Ч R_inj /R_ksl) = ( ( + - ) Ч R_inj /R_ksl).

Для прикладу із табл.1 при проведенні безпосереднього оцінювання однієї з альтернатив (таке оцінювання необхідне тільки при адитивних парних порівняннях), наприклад, w₁ = 1,0, - обчислені ненормовані ваги будуть такими: w₂ = 5,652012; w₃ = 2,979152; w₄ = 2,550111.

Експериментальне дослідження параметрів методу

Для застосування викладеного вище методу в конкретних ситуаціях потрібно оцінити його параметри, які б характеризували цей метод у порівнянні з великою кількістю методів обробки експертної інформації. Параметрами є оцінки методу за різними критеріями, такими як похибка оцінювання, узгодженість результатів, час одержання оцінок тощо. Оцінки методів за названими критеріями можуть бути визначені тільки шляхом експерименту, який забезпечує статистичну спроможність оцінок. Методика експерименту для оцінки параметрів методів описана в [3], тому можемо скористатися нею для проведення дослідження і визначення:

1) коефіцієнта узгодженості множини експертних оцінок відносних ваг альтернатив;

2) математичного очікування відносної похибки визначення відносної ваги альтернативи;

3) математичного очікування тривалості процесу одержання експертних оцінок відносних ваг альтернатив. Результати експериментального дослідження зведені в табл.2.

Таблиця 2