Материал: Метод гармонической линеаризации

Чаще всего точек пересечения годографов, как видно на рис. 11, несколько. В случае системы с  и  это точки, соответствующие ,  и , . Поэтому для определения амплитуды  и частоты  автоколебаний, которые действительно устанавливаются в системе, необходимо оценить устойчивость всех возможных автоколебаний.

3. Оценка устойчивости автоколебаний

Для решения этой задачи целесообразно воспользоваться критерием Найквиста. Как известно, по этому критерию, если система находится на границе устойчивости, то годограф Найквиста системы проходит через точку  комплексной плоскости, т.е. выполняется условие , где - комплексный коэффициент передачи системы в разомкнутом состоянии.

Именно эта ситуация имеет место и в нелинейной системе, когда её характеристики соответствуют годографам  и  (см. рис. 11). При этом в точках пересечения этих годографов выполняется условие , причем левая часть этого равенства, очевидно, представляет собой коэффициент передачи рассматриваемой системы в разомкнутом состоянии.

Примем для определенности, что с увеличением  соответствующая этому значению амплитуды точка годографа  перемещается в направлении от  к , как показано на рис. 11 и на рис. 12,а стрелкой.

Предположим также, что в рассматриваемой системе установились колебания с частотой  и амплитудой . Так как системы всегда подвержены различным воздействиям, то амплитуда колебаний  может стать, скажем, меньшей чем . Тогда точка на годографе , соответствующая этим новым колебаниям с амплитудой , будет располагаться вне годографа  (см. рис. 12,а), т.е. не будет охватываться им. В соответствии с критерием Найквиста, это новое состояние нелинейной системы соответствует устойчивой линейной системе, в которой всякие колебания затухают. Следовательно, с течением времени амплитуда колебаний  будет уменьшаться, т.е. движение системы будет все более отклоняться от автоколебаний с параметрами , .

Аналогично, если амплитуда  под действием возмущений примет значение , большее, чем , то соответствующая ей точка на годографе  будет охватываться годографом Найквиста . В этом случае, в соответствии с тем же критерием Найквиста, нелинейная система будет эквивалентна линейной неустойчивой системе, в которой амплитуда колебаний нарастает с течением времени. Следовательно, и в этом случае движение системы будет все более отклоняться от автоколебаний с параметрами  и . Поэтому эти колебания неустойчивы и существовать продолжительное время в нелинейной системе не могут.

В то же время, повторяя приведенные рассуждения, можно убедиться, что автоколебания с параметрами ,  в рассматриваемой системе асимптотически устойчивы, так как возникающие отклонения амплитуды колебаний от  будут уменьшаться до нулевых значений. Поэтому в рассматриваемой нелинейной системе с  и  установятся автоколебания с параметрами  и .

Аналогичная ситуация имеет место в системе второго порядка, фазовый портрет которой имеет два цикла, вложенных друг в друга, как показано на рис. 12,б.

а        б

Рис. 12

При этом внутренний цикл является неустойчивым, а внешний - устойчивым. Поэтому, если начальные условия таковы, что изображающая точка при  лежит внутри внутреннего цикла, то последующее движение будет затухающим и автоколебаний не возникает. Говорят, система не возбуждается.

Если же начальные условия (начальный толчок) таковы, что изображающая точка при  окажется вне внутреннего цикла, но внутри внешнего, то в дальнейшем амплитуда колебаний нарастает и движение системы постепенно приближается к периодическому, которое соответствует внешнему устойчивому циклу. В результате в системе устанавливаются автоколебания.

Для исследования устойчивости автоколебаний гармонически линеаризованных систем можно также применять вытекающий из изложенного следующий критерий.

Критерий устойчивости автоколебаний. Если при увеличении амплитуды колебаний годограф нелинейного элемента пересекает годограф линейной части извне вовнутрь, то точке пересечения соответствуют неустойчивые автоколебания, если же - изнутри вовне, то - устойчивые автоколебания. ■

Для завершения исследования свойств нелинейной системы методом гармонической линеаризации необходимо, если выполняется условие (19), проверить выполнимость гипотезы фильтра. Для этого необходимо вычислить и сравнить значения  и , где - частота устойчивых автоколебаний.

Если >>, то в системе будут существовать автоколебания с полученными в результате расчетов параметрами. В противном случае никаких выводов о свойствах системы на основе проведенных в соответствии с методом гармонической линеаризации расчетов сделать нельзя.

Пример 1. Проверить возможность существования автоколебаний в системе, структурная схема которой приведена на рис. 13.

Передаточные функции линейных звеньев и параметры нелинейного элемента определяются следующими выражениями:

Если колебания возможны, то определить их параметры. Оценить устойчивость возможных автоколебаний; проверить, выполняется ли гипотеза фильтра, и сделать выводы о свойствах движений данной системы.

Рис. 13

Решение. В соответствии со схемой на рис. 13 и формулой (12) можно записать

, . (20)

Так как - вещественная положительная функция, то пересечения годографов  и  возможно лишь на отрицательной вещественной полуоси, которую годограф  пересекает при , как показано на рис. 14. На этом рисунке годограф  (20) для наглядности условно показан в виде двух прямых, параллельных полуоси  и соединенных дугой. На самом деле обе эти ветви годографа совпадают с полуосью , а точки  и  совпадают с точкой .

В связи с указанным свойством годографов рассматриваемой системы сначала найдем частоту . На этой частоте мнимая часть комплексного коэффициента  равна нулю, поэтому, полагая в знаменателе первого выражения (20) разность , найдём отсюда .

Рис. 14

Взаимное расположение годографов  и , фигурирующих в условии (19), показано на рис. 14. Из условия их пересечения при  и выражений (20) имеем уравнение

.

Графическое решение этого уравнения показано на рис. 15. Как видно, это уравнение имеет два корня:  и . Следовательно, в системе возможны автоколебания либо с амплитудой и частотой , , либо с , .

Анализ их устойчивости с помощью приведенного выше критерия приводит к выводу, что автоколебания с меньшей амплитудой не устойчивы, а с большей - устойчивы. Поэтому заключаем, что в данной системе могут установиться автоколебания с частотой  и амплитудой . Условием возникновения автоколебаний являются достаточно большие начальные условия.

Однако эти заключения будут справедливы, если выполняется гипотеза фильтра.

Для проверки гипотезы фильтра найдём коэффициент передачи линейной части на частоте автоколебаний  и  и сравним результаты. Имеем , а . Разница в четыре раза, следовательно, гипотеза фильтра выполняется, но недостаточно полно. Можно заключить, что автоколебания возникнут, но их амплитуда будет несколько отличаться от расчетной. ■

Рис. 15

Пример 2. Найти ошибку, обусловленную автоколебаниями, возникающими в системе, рассмотренной в примере 1.

Решение. Для определения указанной ошибки примем во внимание, что определённые в соответствии с методом гармонической линеаризации параметры  и  это амплитуда и частота переменной на входе нелинейного элемента.

С другой стороны, в соответствии со схемой, приведенной на рис. 13, указанная переменная является выходной переменной линейного звена с передаточной функцией

,

ко входу которого приложено отклонение рассматриваемой системы. Амплитуда этого отклонения и является, очевидно, искомой ошибкой.

Следовательно, можно записать равенство

Отсюда, с учетом найденных значений , , находим

.

Как видно, несмотря на то, что зона нечувствительности нелинейного элемента всего лишь 0,01, ошибка, обусловленная автоколебаниями, возникающими в рассматриваемой системе, довольно значительна. В данном случае она более чем в 60 раз превышает зону нечувствительности нелинейного элемента.

В заключение этой главы отметим, что метод гармонической линеаризации может применяться для анализа нелинейных систем не только второго, но и более высоких порядков. Его можно использовать, в частности, для исследования свойств несимметричных автоколебаний, т.е. автоколебаний с постоянной составляющей.

Литература

Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования, издание третье, исправленное. Москва, издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 2005

Зайцев Г. Ф. Теория автоматического управления и регулирования.- 2-е изд., перераб. и доп. Киев, Издательство Выща школа Головное издательство, 2004

Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. - 288 с. - ISBN 5-9221-0379-2.

Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014. - 64 с. - ISBN 5-9221-0534-5.

Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления/ Под редакцией В. А. Бесекерского. - M.: Наука, 2013.