Материал: Метод гармонической линеаризации

Метод гармонической линеаризации

Контрольная работа

Метод гармонической линеаризации

Содержание

1. Гипотеза фильтра

. Исследование симметричных автоколебаний

. Оценка устойчивости автоколебаний

Литература

1. Гипотеза фильтра

Метод гармонической линеаризации для анализа систем автоматического управления предложен Л.С. Гольдфарбом в 1940 году. Он базируется на теоремах, доказанных Н.М. Крыловым и Н.Н. Боголюбовым. В его основе лежит аппроксимация колебательного движения системы первой гармоникой разложения в ряд Фурье периодической функции, описывающей это движение. Поэтому метод является приближенным. В некоторых случаях он позволяет исследовать устойчивость эталонного движения системы, а также качественный характер её свободного движения.

Этот метод может быть применён для исследования систем любого порядка, но структура системы должна быть приведена к последовательному соединению нелинейного и линейного блоков. Чаще всего этим методом исследуется устойчивость положения равновесия системы. При определенных условиях можно установить наличие или отсутствие периодических движений, а также определить параметры последних, если эти движения существуют в системе.

Переходя непосредственно к рассмотрению метода гармонической линеаризации, будем считать, что исследуемая нелинейная система приведена к виду, показанному на рис. 1.

Рис. 1

Так как исследуется устойчивость системы, то внешнее воздействие . Уравнения линейной части (ЛЧ):

  (1)

Далее будем считать, что линейная часть рассматриваемой системы стабилизируемая, т.е. её неполная часть асимптотически устойчива.

Обозначим через  передаточную функцию линейной части, соответствующую уравнениям (1), т.е.

. (2)

Нелинейный элемент может иметь любую характеристику , лишь бы она была интегрируемой (без разрывов второго рода).

В основе метода гармонической линеаризации лежит следующее предположение: если исследуемая система неустойчива, то в ней могут возникать незатухающие периодические колебания. Это предположение позволяет считать, что переменная

, (3)

где   - амплитуда и частота колебаний, действующих на входе нелинейного элемента.

Преобразование данной переменной , для примера, нелинейным элементом с зоной нечувствительности показано на рис. 2. Как видно, выходная переменная нелинейного элемента  также является периодической функцией, т.е. её можно разложить в ряд Фурье с тем же периодом . Тогда будем иметь

 (4)

Здесь    - коэффициенты ряда Фурье, .

Далее делается второе, основное предположение данного метода - так называемая «гипотеза фильтра». Гипотеза фильтра состоит в предположении, что линейная часть с передаточной функцией (2) нелинейной системы (см. рис. 1) является фильтром нижних частот (ФНЧ). Другими словами, предполагается, что линейная часть подавляет все высшие гармоники с частотами , начиная со второй, т.е. с , и пропускает только первую гармонику с частотой .

На рис. 3 показаны амплитудно-частотные характеристики  некоторых объектов управления. Причем объект с характеристикой, приведённой на рис. 3,а, не удовлетворяет гипотезе фильтра, а объект с характеристикой, приведённой на рис. 3,б, удовлетворяет гипотезе фильтра.

Так как в начале исследования частота колебаний  неизвестна, то проверить выполнимость гипотезы фильтра в начале расчёта нельзя. Поэтому приходится сначала провести все необходимые расчеты, а затем уже после определения частоты колебаний  проверить гипотезу фильтра.

Рис. 2

Если она окажется выполненной, то результаты расчетов будут соответствовать процессам, протекающим в исследуемой системе. Если же гипотеза фильтра не будет выполняться, то результаты расчетов не будут соответствовать процессам, протекающим в системе, т. е. метод гармонической линеаризации, изложенный ниже, применять для исследования данной системы нельзя.

а  б

Рис. 3

Гармоническая линеаризация. В дальнейшем будем считать, что гипотеза фильтра выполняется, то есть все высшие гармоники подавляются линейной частью системы, и поэтому они отсутствуют на выходе линейной части. В этом случае высшие гармоники можно отбросить и на выходе нелинейного элемента. В результате ряд (4) примет вид

. (5)

Коэффициенты ряда Фурье периодической функции  с периодом , как известно из курса высшей математики [16], определяются по формулам

 (6)

 (7)

. (8)

Представим равенство (5) в комплексной форме. С этой целью запишем очевидные равенства

. (9)

Отметим, что выражение вида  называется комплексом при любом . С учетом равенств (6) - (9) выражение (5) принимает следующий вид:

. (10)

Обычно нелинейные характеристики являются симметричными относительно начала координат, поэтому чаще всего . Если , то и на входе, и на выходе нелинейного элемента переменные, как видно из (3) и (10), являются мнимыми частями соответствующих комплексов. Именно такая ситуация имеет место в случае линейных динамических звеньев. Поэтому нелинейный элемент рассматриваемой системы можно заменить линейным звеном.

Комплексный коэффициент передачи любого линейного звена, по определению, равен отношению выходного комплекса звена к входному. Следовательно, в данном случае комплексный коэффициент передачи линейного звена, эквивалентного нелинейному элементу, определяется выражением

или

, (11)

, ,

где  определяются выражениями (7) и (8).

Величины  и  называются вещественным и мнимым коэффициентами гармонической линеаризации, а  - коэффициентом гармонической линеаризации.

Важнейшей особенностью коэффициентов гармонической линеаризации является то, что они зависят не от частоты , как в линейном случае, а от амплитуды  колебаний.

Рассмотренная процедура замены нелинейного элемента линейным звеном с комплексным коэффициентом передачи (11) называется гармонической линеаризацией. Основное достоинство этой процедуры в том, что коэффициенты гармонической линеаризации   для заданной нелинейности  можно вычислять в общем виде.

Для типовых нелинейностей коэффициенты гармонической линеаризации вычислены, табулированы и их можно найти в соответствующей литературе, например, в [25. С. 140, 141].

Приведем для примера выражения для коэффициентов гармони-

ческой линеаризации некоторых нелинейностей [25].

В частности, для нелинейности, приведенной на рис. 4, имеем

, (12)

т. е. коэффициент гармонической линеаризации является вещественной функцией от амплитуды . Её график приведен на рис. 5.

Рис. 4         Рис. 5

В случае нелинейности с гистерезисом (рис. 6) коэффициент гармонической линеаризации определяется выражением (13) и является комплексной величиной. Графики вещественного  и мнимого  коэффициентов гармонической линеаризации этой нелинейности показаны на рис. 7.

. (13)

Рис. 6                            Рис. 7

Для нелинейности типа идеальное реле (рис. 8), где зона нечувствительности , коэффициент гармонической линеаризации принимает вид

.

График этой функции приведен на рис. 9.

Коэффициенты гармонической линеаризации используются при исследовании нелинейных систем различных типов методом гармонической линеаризации.

2. Исследование симметричных автоколебаний

Рассмотрим гармонически линеаризованную нелинейную систему, схема которой приведена на рис. 10. Выясним, при каких условиях в этой системе возможны автоколебания.

гармонический линеаризация линейный автоколебание

Рис. 10

С этой целью условно разомкнем контур системы, как показано на рис. 10, и обозначим переменные в точках разрыва  и . Предположим, существуют их изображения по Фурье  и . Тогда в соответствии со схемой на рис. 10 можно записать равенство

.       (14)

Если переменная  описывает незатухающее движение, то имеет место равенство , которое фактически является условием существования периодических незатухающих колебаний в рассматриваемой системе. С другой стороны, если указанное равенство выполняется, то из (14) следует выражение

.

Сокращая здесь на , придем к выражению

. (15)

Это равенство является частотным условием существования автоколебаний. Впервые оно было получено Л.С. Гольдфарбом. Равенство (15) можно переписать следующим образом:

. (16)

Полученное условие (16) практически полностью соответствует условию существования автоколебаний в системе (рис. 1.10) по критерию Найквиста.

Это условие можно представить в виде двух равенств:

, (17)

. (18)

Равенство (17) называется условием баланса амплитуд, а (18) условием баланса фаз.

Если условия (16) или (17), (18) выполняются по отношению к некоторой нелинейной системе, то в этой системе возможны периодические движения, которые называются автоколебаниями, т.е. собственными периодическими движениями системы. Другими словами, такая система является генератором не затухающих периодических колебаний.

Если в системе существуют автоколебания, то возникает задача определения их параметров (амплитуды и частоты). Для решения этой задачи условие (16) записывается следующим образом:

. (19)

В соответствии с этим равенством для установления факта отсутствия автоколебаний или их возможного существования достаточно на комплексной плоскости построить годограф Найквиста  и годограф .

Если эти годографы не пересекаются (рис. 11, случай системы с ), то автоколебаний в системе не возникнет, и можно заключить, что положение равновесия рассматриваемой нелинейной системы устойчиво. В этом случае исследование нелинейной системы методом гармонической линеаризации завершается.

Рис. 11

Если же годографы  и  пересекаются, то автоколебания возможны. При этом их параметры определяются значениями амплитуды  и частоты , которые соответствуют точкам пересечения этих годографов.