Статья: Метод адаптивной регуляризации статистических данных в геофизике и выделение дополнительной информации из шумовых компонент сигналов

Рис. 1. МАРД массива n по статистически независимому массиву m.

Установки МАРД: =1, K_c = K_s = 5, счет D_m по несглаженному массиву m. Обозначения на рисунке: 1 - сигнал, заданный на моделирование, 2 - рандомизированный сигнал n, 3 - сигнал с, результат МАРД.

Рис. 2. Среднестатистическое по 50-ти циклам моделирования значение коэффициента .

Установки МАРД: =1, K_c = K_s = 5. Обозначения на рисунке: 1 - счет D_m по несглаженному массиву m,

2 - счет D_m по сглаженному массиву m, 3 - границы сигнала n.

На рис. 1 приведен пример регуляризации рандомизированного модельного сигнала (статистика Пуассона) в виде прямоугольного импульса. МАРД производит сглаживание статистических флюктуаций фона и сигнала за пределами зоны К_с от скачка, отдавая предпочтение сглаженным прогнозным значениям М_i, и не изменяет значения фона и сигнала в пределах этой зоны в связи с резким возрастанием текущих значений D_m в выражении (2). Изменение коэффициента в зоне скачков приведено на рис. 2 (среднестатистическое по 50-ти циклам рандомизации) и наглядно показывает принцип адаптации МАРД к динамике изменения значений обрабатываемых сигналов.

Статистическая оценка работы МАРД по прямоугольным импульсам проводилась по 50-ти циклам рандомизации исходных массивов n и m. В качестве примера на рисунках 3-4 приведены результаты обработки статистики массивов n и c. Кроме статистики циклов рандомизации проводилась суммарная обработка всех циклов по общей статистике фоновых значений и значений на вершине импульсов. Результаты обработки для тех же установок фильтров приведены в таблице 2.

Рис. 3. Статистика модельного сигнала n по 50-ти циклам Рис. 4. Статистика выходного сигнала с по 50 циклам рандомизации. Обознач.: 1 - средние значения отсчетов N_i, рандомизации. Установки МАРД: =1, K_c=K_s =5, счет 2 - дисперсия D_n отсчетов N_i, 3 - вариация отсчетов N_i в %. D_m. по несглаженному массиву m. 1- средние значения отсчетов С_i, 2 - дисперсия D_с, 3 - вариация С_i в %.

 Таблица 2.

Результаты моделирования подтверждают преимущество МАРД перед прямыми методами низкочастотного сглаживания данных. В числовой форме это наглядно проявляется в снижении дисперсии отсчетов выходного массива c при практическом сохранении средних значений массива n и для фоновых отсчетов, и для амплитудных значений сигнала. При простом сглаживании "развал" фронтов сигнала (подавление высокочастотных составляющих спектра сигнала), как и должно быть при использовании низкочастотных фильтров, вызывает снижение по отношению к исходному массиву средних значений в максимумах и повышение фоновых значений сигнала, которое тем больше, чем больше окно весовой функции, и особенно отчетливо проявляется в интервале окна фильтра по обе стороны от резких изменений сигнала.

При отсутствии дополнительных массивов m формирование прогнозных значений М_i производится по ближайшим окрестностям текущих значений N_i в скользящем окне K_s. При строго корректном подходе текущая точка N_i не должна включаться в число счета прогнозных значений M_i, но, как показало моделирование, это практически не влияет на результаты регуляризации.

Фундаментальной особенностью МАРД является возможность последовательной многократной фильтрации данных, при которой осуществляется преимущественное повышение степени регуляризации данных с сохранением формы основного сигнала. Для выполнения последнего размер окна К_с счета значений x_i и D_m устанавливается минимальным (3-5 точек), а степень подавления шумов регулируется количеством последовательных операций фильтрации (до 3-5 циклов). Пример регуляризации модельного массива n в три цикла приведен на рис. 5. Для сравнения пунктиром на рисунке приведено сглаживание массива 5-ти точечным фильтром Лапласа-Гаусса, который имеет коэффициент подавления шумов, эквивалентный 3-х цикловому МАРД (см. рис.7).

Рис. 5. 3-х цикловый МАРД одиночного импульсного сигнала.

Установки МАРД: =1, K_c = K_s = 3, счет D_m по массиву n. Обозначения: 1 - входной массив n,

2 - выходной массив с, 3 - массив n, сглаженный весовой функцией Лапласа-Гаусса с окном 5 отсчетов.

Рис. 6. Статистика средних значений по 25-ти циклам рандомизации.

Установки МАРД: =1, K_c = K_s = 3, циклов - 3, счет D_m по массиву n. Обозначения: 1 - входной массив n,

2 - выходной массив с, 3 - массив n, сглаженный весовой функцией Лапласа-Гаусса с окном 5 отсчетов.

Рис. 7. Статистика дисперсий по 25-ти циклам рандомизации.

Установки МАРД: =1, K_c = K_s = 3, счет D_m по массиву n. Обозначения дисперсии значений: 1 - входного массива n,

2 - выходного массива с, один цикл МАРД, 3 - выходного массива с, три цикла МАРД,

4 - массива n, сглаженного весовой функцией Лапласа-Гаусса с окном 5 отсчетов.

На рисунках 6 и 7 приведены результаты статистической обработки 3-х циклового МАРД для 25 циклов моделирования в сравнении с 1-м циклом МАРД и с 5-ти точечным фильтром Лапласа-Гаусса. Количество циклов МАРД может ограничиваться в автоматическом режиме, например, по среднеквадратическому значению корректирующих отсчетов С_i = N_i - С_i в каждом цикле по сравнению с предыдущим циклом, которое сначала резко уменьшается за счет сглаживания флюктуаций, а затем, в зависимости от динамики сигнальной функции, стабилизируется или даже начинает увеличиваться за счет искажения самого сигнала.

Рис. 8. Модули спектров, сглаженные по шумам. Установки МАРД: =1, K_c = K_s = 3, счет D_m по массиву n.

Обозначения спектров на рисунке: 1 - входного массива n, 2 - выходного массива с, один цикл МАРД,

3 - выходного массива с, три цикла МАРД.

Частотное представление работы МАРД хорошо видно на рис. 8, где приведены модули спектров рандомизированного сигнала в виде меандра (значения в минимуме - 20, в максимуме - 100, 25 периодов по 40 отсчетов, всего 1000 отсчетов) и результатов его обработки МАРД (окно К_с= 3, окно К_s= 3). Модуль спектра основного полезного сигнала (в данном случае чистого меандра) представляет собой последовательность отдельных частотных гармоник по всему диапазону спектра. В спектре рандомизированного меандра эти частотные гармоники суммируются со спектром шума, статистически равномерно распределенным по всему частотному диапазону (спектр шума для наглядности сглажен). МАРД осуществляет подавление шумовых составляющих сигнала, практически не затрагивая частотных гармоник меандра и не изменяя их по амплитуде. Последнее можно видеть на рис. 9, где представлен отрезок спектра сигналов в высокочастотной части главного диапазона в области одной гармоники меандра (частотные составляющие шума не сглажены). При 3-х цикловом МАРД высокочастотные составляющие шумов подавляются практически на порядок.

Рис. 9. Модули спектров. Установки МАРД: =1, K_c = K_s = 3, счет D_m по массиву n.

Обозначения спектров: 1 - массива n, 2 - массива с, один цикл МАРД, 3 - массива с, три цикла МАРД,

4 - массива нерандомизированного меандра.

Возможность последовательного многократного применения МАРД без изменения формы основного полезного сигнала позволяет производить частотную селекцию шумов простой операцией вычисления разности между значениями отсчетов С_i = N_i - C_i на каждом цикле обработки данных. Если при первом цикле обработки из массива m выбрасываются преимущественно высокочастотные шумы, то при втором цикле частотный спектр выбрасываемых шумов сдвигается в область более низких частот и т.д.

Рис. 10. Сглаженные модули спектра выделенных МАРД шумов.

Обозначения спектров: 1 - на первом цикле МАРД, 2 - суммарные на 2-3 циклах, 3 - суммарные на 4-5 циклах.

Пример этой операции приведен на рис. 10 для пуассоновского распределения шумов постоянного поля (спектр шумов сглажен для наглядности). Соотношение частотных составляющих селектируемых шумов зависит от характера их распределения и может изменяться суммированием по циклам и изменением значений _n на циклах обработки. Тем самым решается задача частотного разделения данных, причем не только на основной сигнал и шумовые составляющие, но и разделение шумовых составляющих на различные частотные интервалы.

На рисунках 11-12 показаны примеры применения МАРД при обработке данных акустического каротажа (АК) и кавернометрии (DS) участка скважины с разделением основного сигнала и шумовых составляющих исходной информации, хотя для кавернометрии такое разделение можно считать чисто условным и ему более соответствует понятие выделения по шумовой составляющей открытой трещиноватости. Шаг дискретизации диаграмм 0.2 метра. Диаграммы обрабатывались индивидуально, без дополнительных информационных массивов, с заданием априорного шумового значения _n. Величина _n определялась по следующей методике:

вычислялось значение вариации отсчетов ² диаграммы в целом;

диаграмма сглаживалась весовой функцией Лапласа-Гаусса с окном 11 отсчетов (2.2 метра), при этом предполагалось, что данное весовое окно практически сгладит импульсные шумовые флюктуации;

вычислялось значение _ns² сглаженной диаграммы;

по формуле _n^{2 2} - _ns² определялось значение _n.

По результатам вычислений значение _n для диаграммы АК было принято равным 0.05, для диаграммы DS - 0.1.

По сглаженным кривым модуля импульсных шумов можно достаточно уверенно говорить о высокой степени их корреляции в обоих методах. Коэффициент взаимной корреляции выделенных шумов АК и DS составил 0.82 с учетом сдвига на длину зонда АК. Визуальная картина сравнения модулей шумов приведена на рис. 13. Эти факты могут свидетельствовать о действительном и независимом влиянии трещин на принципиально различные методы каротажных измерений и, следовательно, иллюстрирует возможности оценки дискретной структуры массива осадочных горных пород по стандартным комплексам каротажных измерений, без использования дорогостоящих специальных методов идентификации трещин. Кроме того, метод можно использовать для коррекции основной сигнальной функции каждого вида каротажа за счет неискажающего исключения функции отклика дискретной составляющей осадочной толщи.

Рис. 11. Диаграмма АК и результат МАРД. Рис. 12. Диаграмма DS и результат МАРД .

Установки МАРД: 5 циклов, K_c=K_s=3, физическое окно 0.6 м.

Обозначения на рисунках: 1 - исходные массивы АК и DS, 2 - выделение основного сигнала, 3 - модуль выделенных шумов, 4 - сглаженный модуль выделенных шумов.

Рис. 13. Диаграммы модуля шумов, выделенных МАРД-3/3 (5 циклов, физическое окно 0.6 метра) и результаты их обработки весовой функцией Лапласа-Гаусса (показаны жирными кривыми).