Здесь мы имеем дело не с чистым резонансом от свободных электронов, а с гибридным резонансом, связанным как электронами проводимости, так и электронами. В принципе, он может быть описан как обычный резонанс, но с введением зависимости от частоты [29].
Отметим, что для видимого и ИК диапазонов иногда применяют и скорректированную модель электронов Друдде, позволяющую, в определенной мере, правильно описывать экспериментальные данные по диэлектрической проницаемости в рассматриваемой ограниченной по длинам волн области. Так в работе [22] , где и - подбираемые параметры. Подобная зависимость, основанная на данных по оптическим константам для серебра [30], в конкретном виде: где с-1 и с-1, приведена в [31]. В нашем случае, исходя из (3) и (5), приходим к следующим выражениям для собственных частот аксиальных и азимутальных мод вытянутого сфероида:
, (7)
(8)
Соответствующие выражения для сплюснутого сфероида получаются с помощью указанной выше замены. Заметим, что дальнейшему упрощению в записи (7) и (8), подобному предпринятому в [27] для азимутальной моды, мешает присутствие в выражениях величин и .
В случае реальных образцов, содержащих большое количество сферических металлических частиц, взаимодействие между наводимыми на них внешним полем диполями приведет к сдвигу резонансной частоты и дополнительному уширению спектральной линии. Конкретные выражения для диэлектрической проницаемости такой среды с учетом диполь-дипольного взаимодействия были получены в работе [32] и уточнены в [33] для гранулярных пленок серебра с использованием выполненного в [34] определения действительной части диэлектрической проницаемости массивного металла с учетом межзонных переходов. Полученные результаты были применены к задаче об усилении люминесценции ионов европия для случая распределения наночастиц в объеме [6].
Наша острийная металлическая наноструктура представляет собой поверхность, на которой располагаются полусфероиды одинаковой формы. Поле , создаваемое на некотором диполе другими диполями за счет диполь-дипольного взаимодействия, описывается обычным выражением:
(9)
где - радиус-вектор на поверхности, соединяющий диполи и .
Мы провели расчеты собственных частот колебаний такой системы острий с учетом диполь-дипольного взаимодействия. Суммирование в выражении (9) было проведено в предположении, что острия расположены в узлах квадратной решетки с периодом, равным среднему расстоянию между порами в трековой мембране, используемой для получения острийной структуры (n- поверхностная плотность пор) [35]. В результате для частот аксиальной и азимутальной мод колебаний были получены, соответственно, следующие выражения:
(10)
(11)
где - удельный объем полусфероидов на поверхности.
Несомненный интерес представляет здесь различное направление сдвига собственных частот. Полосы поглощения (отражения) света, связанные с возбуждением аксиальных и азимутальных колебаний электронной плотности в сфероидах в результате диполь-дипольного взаимодействия должны сдвигаться, соответственно, в коротковолновую и длинноволновую области спектров. С точки зрения расчета это объясняется тем, что для аксиальных собственных колебаний в силу расположения полусфероидов на плоскости первый член в выражении (9) выпадает.
Полученный вывод можно сопоставить с имеющимися экспериментальными результатами. Так в работе [22] были измерены при нормальном падении света коэффициенты пропускания и отражения пленок аморфного кварца с включениями сферических наночастиц серебра. Наблюдалось, что для ансамбля частиц максимум полосы поглощения сдвигается от значения для частоты одной частицы в длинноволновую область, что рассматривалось как результат диполь-дипольного взаимодействия. В этом случае возбуждаются лишь колебания электронной системы в направлении параллельном поверхности пленки. Эту ситуацию описывает и выражение (11), в котором необходимо положить отношение a/b=1. Аналогичное сопоставление можно провести и с результатами работы [31], где также измерения велись при нормальном падении света.
Значительно больший интерес составит сравнение следствий из полученных нами выражений с результатами экспериментальной работы [36], в которой исследовалось отражение света именно острийными структурами, созданными с применением трековых мембран. Использовались серии образцов (серии далее обозначим номерами в скобках) с остриями со следующими полуосями и в нанометрах: 60 и 19 (1); 130 и 41 (2); 290 и 91 (3); 380 и 120 (4) и поверхностной плотностью острий во всех случаях равной см-2. Это соответствовало коэффициентам ? заполнения остриями поверхности (, s- площадь оснований всех острий на площади S), равным 1 (1), 5 (2), 24 (3) и 40% (4). Спектры отражения измерялись для p- и s- поляризованного света при углах падения (отражения) ? =15, 45 и 75.
Как следует из анализа данных [36], в спектрах отражения для s-поляризации при всех углах падения света проявляется полоса, обусловленная возбуждаемыми азимутальными колебаниями электронной плотности в остриях, максимум которой при малых ? расположен в области 350 нм. При увеличении коэффициента заполнения наблюдалось место смещение полосы в длинноволновую область. Учитывая, что линии во всех спектрах отражения достаточно широки, определим минимумы в спектрах отражения для рассматриваемых образцов при следующих длинах волн: 350 (1), 364 (2), 415 (3) и 600 нм (4).
Для случая p-поляризации при небольших отклонениях угла падения света от перпендикуляра к поверхности проявляется отражение, связанное с возбуждением как аксиальных, так и азимутальных плазмонных колебаний. Полосы в спектрах отражения, вызванные аксиальными колебаниями, значительно шире полос, связанных с азимутальными колебаниями, и, как и следовало ожидать, яснее проявляются при больших углах падения света. Так увеличение угла до 75 при ? = 5% позволило полностью подавить азимутальные колебания. При небольшом коэффициенте ? = 1%, когда отражение велико (около 70%), эта полоса для угла 75достаточно широка и имеет минимум, определенный в работе [36] как лежащий при 600 нм. С увеличением коэффициента заполнения полоса, связанная с аксиальными колебаниями электронной плотности в остриях сдвигается в область более коротких волн, максимумы которых по приведенным спектрам можно оценить лежащими при 600 (1), 520 (2), 460 нм (3) и 350 (4) нм.
В работе [36] такой разнонаправленный сдвиг полос в спектрах отражения был связан предположительно с возбуждением в острийных структурах резонансов более высоких порядков при высоких коэффициентах заполнения поверхности остриями. Покажем, что подобное поведение полос отражения достаточно хорошо объясняется проявлением диполь-дипольного взаимодействия между наводимыми в остриях диполями.
Для всех образцов a/b>1 (случай вытянутых полусфероидов) , 1.05, величины удельных объемов q ? 210-3 (1), 310-2 (2), 0.14 (3) и 0.24 (4). Величина =1 (вакуум). Из выражений (7) и (8) можно определить конкретные численные значения и . Затем, из экспериментальных данных по частотной зависимости действительной части диэлектрической проницаемости серебра [18] можно найти соответствующие значения и . В результате, используя выражения (10) и (11) , получаем следующие собственные значения длин резонансных волн для соответствующих образцов: 494 (1), 480 (2), 330 (3) и 111 (4) нм; 344 (1), 347 (2), 435 (3) и 1030 (4) нм.
Рассчитанное нами значение 344 нм для лsmq(1) достаточно близко к полученной из эксперимента величине- 350 нм (1). Выражение (7) правильно описывает и сдвиг полос с увеличением плотности острий в длинноволновую область.
При наибольшем коэффициенте заполнения, равном 40%, отражение сильно падает (до 5 % в максимуме поглощения), линия сильно уширяется и сдвигается далее в длинноволновую область спектра к 600 нм. Наша оценка дает 1030 (4) нм. Как отмечено в работе [34], для такого значения ? вероятность парных перекрытий оснований острий достигает 80%.
Можно сделать вывод, что и выражение (8) правильно качественно описывает наблюденную в эксперименте картину. Большое расхождение длин волн для максимального значения ? =40% в значительной мере можно приписать тем же причинам, что и для азимутальных колебаний.
При рассмотрении мы использовали модельное описание острий как полусфероидов, предполагалось регулярное распределение острий по поверхности и была использована скорректированная модель Друде. Тем не менее, учитывая, что экспериментально наблюденные полосы отражения достаточно широки, особенно для p-поляризованного света, а также то, что обычно используется неполяризованный свет, представляется вполне возможным использовать полученные выражения (7)-(11) для подбора необходимых геометрических размеров острий и их поверхностной плотности для получения усиления люминесценции для конкретного РЗИ.
Проведенный расчет в рамках модели полусфероидов качественно правильно описывает ситуацию (сдвиги линий в спектрах отражения и пр.). Однако для создания необходимых острийных наноструктур, имеющих плазмонные частоты в нужных для пракических целей частотных точках, необходимы полные расчеты с учетом реальной структуры и формы нанострий, включая радиус окончания, статистический разброс размеров и т.п. Это можно выполнить с использованием современных программ электродинамического моделирования, получивших широкое применение в расчетах СВЧ приборов.
Численное моделирование наноструктур произвольной формы
Для моделирования падения оптических световых волн на металлические поверхности со сложной структурой нами использован метод расчета во временной области (метод конечных разностей во временной области FDTD)
В решении данной конкретной тестовой задачи было отдано предпочтение программе CST MWS [39], поскольку она позволяет выполнить анализ падения плоской волны на бесконечную структуру, используя порты Флоке. Скорость решения и точность позволяет решать сложные научные задачи.
В этом случае можно рассчитать характеристики отражения и прохождения мощности через частотно-селективную поверхность, форму которой можно придать в виде штырей, впадин других резонансных структур. В этом случае для создания высокодобротной резонансной структуры, которая активно меняет частотный спектр оптической волны, падающей на нее, можно применять существенные наработки в области СВЧ и антенной техники, которые созданы к настоящему времени [41].
Рис. 5. а)Структура из полусфер, в) структура из цилиндрических резонаторов, с) структура из эллиптических неоднородностей.
Рассмотрим структуру из острий с шаровым окончанием (рис. 5), на которую под разными углами падает плоская волна.
Для того, чтобы уменьшить объем пространства, в котором будет рассчитываться электромагнитное поле, выделим, как и раньше, повторяемые пространства, которые охватим периодическими граничными условиями. Так, если задано, что плотность 8*108 см-2 то можно выбрать площадку размером 320 nm на 320 nm, установить на нем отражающий объект.
Связь отдельных элементов подобна тому, как это происходит в антенных решетках, когда возбуждаемая вдоль оси Z волна может получить отклонение фронта распространения, благодаря сдвигу фаз ближнего поля, согласно разнице между ведущей и ведомой границе [41].
Закругления сверху конусов (рис. 5) имеют радиус 6.5 nm. При падении волны под определенным углом и, часть энергии падает на конусы, которые выполняют роль диполей. Токи текут по плоской части структуры (рис. 5), а часть токов течет по конусам. Излучение этих токов приводит к изменению дифракции падающего поля.
Если задано, что острия посеяны с плотностью rs=8*108 см-2, то для получения плотности s=5% один отражающий конус с нижним диаметром 80 nm нужно установить на площадку размером 320 nm на 320 nm. Высота равна 130 nm.
Между остриями, которые выполняют роль вторичных излучателей (монопольных антенн), существует связь. Эта связь описывает диполь-дипольное взаимодействие, которое существует в реальной модели.
Рис.6. Коэффициенты отражения плоской волны p-поляризации от структуры при 5% плотности острийных окончаний,
1 - угол падения 15є, 2-угол падения 45є, 3 - угол падения 75є .
На рис.6 приводятся рассчитанные характеристики острийной структуры для продольной волны (р-поляризации, когда вектор Е лежит в плоскости, перпендикулярной плоскости XY). При изменении поляризации моды канала Флоке, получаем частотные характеристики коэффициента отражения для волны s-поляризации.
Учитывая, что программа CST MWS [39] выполняет полный электродинамический расчет, т.е. учитывает, в том числе, диполь-дипольное взаимодействие, отражения и интерференцию между остриями, рассчитанные характеристики имеют более сложный характер и большое количество резонансов.
На рис. 6 показаны частотная зависимость коэффициента отражения от поверхности при падении волны с р-поляризацией. Отраженный сигнал имеет обе составляющие, и составляющую с p-поляризацией, и составляющую с s-поляризацией.