Материал: Матмод. Вопросы к экзамену

задано

3.13 Определение разностной задачи.

Разностная схема при конкретном значении h называется разностной задачей

задано

3.14 Для каких функций задача сводится к решению дифференциального уравнения в частных производных.

Для функций многих переменных f(x, y)

3.15 Общий вид линейного дифференциального уравнения II порядка для функций с двумя независимыми переменными.

3.16 Общий вид однородного линейного дифференциального уравнения II порядка для функций с двумя независимыми переменными.

*

3.17 Что означают начальные условия в задачах математической физики.

Начальные условия представляют собой картину изучаемого процесса в фиксированный момент времени.

3.18 Что означают граничные условия в задачах математической физики.

Граничные условия представляют собой описание режима протекания процесса на границе области

3.19 Записать граничные условия I порядка

t = f1(x,y,z,τ)

t = const

Граничные условия 1-го рода определяют температуры на границах реактора для любого

момента времени:

T (t, x 0) 1(t),

T (t, x l)  2 (t).

3.20 Записать граничные условия II порядка

q =

Граничные условия 2-го рода задают изменение температуры на границах реактора для любого момента времени:

(t, x 0) = 1(t)

(t, x l) 2 (t)

3.21 Описать дискретзацию области решения краевой задачи

Определение. Пусть в области с непрерывной границей Г в декартовой системе координат поставлена краевая задача, то есть ищется решение дифференциального уравнения

, , (1)

с краевыми (граничными, начальными) условиями

, Г, (2)

где и – линейные дифференциальные операторы; и – заданные функции.

Введем прямоугольную сетку с узлами

и сеточные функции

.

Область Г приближенно заменим дискретным множеством точек – сеточной областью , а производные, входящие в (1)–(2), – разностными отношениями. В результате получим систему линейных алгебраических уравнений:

, (3)

где и – разностные операторы.

Семейство уравнений (3), зависящее от параметра , называется разностной схемой.

Разностную схему при конкретном значении будем называть разностной задачей

3.22 Привести шаблоны для разностных аналогов частных производных первого порядка

3.23 Привести шаблоны для разностных аналогов частнх производных второгоо порядка

3.24

3.25

3.26 Дать определение слоя

Совокупность узлов I и j , одна из переменных имеет постоянные значение

3.27

3.28 Записать разностное уравнение для уравнения Пуассона в краевой задаче

,

3.29 Записать разностную схему краевой задачи для уравнения Пуассона

Лекция 4

4.1 Цель решения современных инженерных задач.

точное решение таких задач играет большую роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов

К современным инженерным задачам относятся, например:

1. Создание новой конструкции.

2. Разработка нового технологического процесса или новой технологии (компьютера).

3. Разработка оптимального процесса.

4.2 На основании чего принимается решение в современных инженерных задачах.

В основе этих задач лежит процесс принятия решения. Решение принимается на основе данных, экспериментальных или вычислительных.

4.3 Особенности современных инженерных задач.

1. Инженерные задачи имеют выраженную практическую направленность, из чего следует доведение результатов до конкретных графиков, чисел, таблиц и т.д.

2. Большой объём вычислительной работы, сопровождающей решения и необходимость использовать современные вычислительные средства.

3. Для этих задач характерно использование достаточно сложных математических моделей и серьёзного математического аппарата.

4. Наличие и относительная доступность массового пользователя современного программного обеспечения.

4.4 Каким наиболее часто используемым методом решаются современные инженерные задачи.

Основной метод решения современных инженерных задач - это вычислительный эксперимент.

4.5 Основные этапы вычислительного эксперимента.

1. Инженерная постановка задачи.

↓

2. Математическая модель задачи (ключевой этап решения задачи).

↓

3. Дискретная модель.

↓

4. Выбор численного метода и его реализации.

↓

5. Обработка результатов.

4.6 Дать определение математической модели.

Математическая модель – приближённое описание внешнего мира, выраженного с помощью математических символов.

4.7 Дать определение математического моделирования.

Процесс построения и изучения математических моделей называется математическим моделированием.

4.8 Сформулировать этапы процесса математического моделирования.

Процесс математического моделирования можно, условно, разделить на 4 этапа:

1. Формулирование законов, связывающих основные объекты модели на языке той или иной науки. Запись в математических терминах, сформулированных качественных представлений о связях между объектами моделей.

2. Исследования математической задачи, к которой приводится математическая модель (метод решения, алгоритм, программа, расчёт).

3. Анализ результатов (Выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики; согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими средствами моделей в пределах точности наблюдений).

4. Последующий анализ модели, в связи с накоплением данных об изучаемом объекте. Модернизация модели.

4.9 Дать определение вычислительной модели.

Вычислительная модель - типовая абстрактная или конкретная задача, соответствующая проблеме численного решения некоторого класса математических или прикладных задач.

4.10

4.11 Описать структуру вычислительной погрешности.

Пусть а – точное значение некоторой величины (неизвестное).

- приближённое значение искомой величины (известное).

4.12 Что называется ошибкой (или погрешностью) приближённого числа.

Ошибкой (погрешностью) приближённого числа называется разность между точным и приближённым значениями. а- .

4.13 Количественные меры ошибки.

Количественными мерами ошибки являются абсолютная и относительная погрешности.

4.14 . Определение Абсолютной погрешности.

 Если а - точное значение некоторой величины, а а* - известное приближение к нему, то абсолютной погрешностью приближения  а* называют обычно некоторую величину  , про которую известно, что она удовлетворяет неравенству:

4.15 Определение Относительной погрешности.

Относительной погрешностью называют некоторую величину  , про которую известно, что она удовлетворяет неравенству:

Относительную погрешность часто выражают в процентах. Она дает более точное представление о величине ошибки, содержащейся в некоторой величине.

4.16

4.17

4.18

4.19 Какую задачу называют хорошо обусловленной.

Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к малым изменениям входных данных. Задачу называют хорошо обусловленной, если при малых изменениях входных данных отвечают малые погрешности решения и результат также изменяется незначительно.

4.20 . Какую задачу называют плохо обусловленной.

Задача называется плохо обусловленной, если малые изменения входных данных могут привести к большим изменениям решения.