Материал: Математичне моделювання реальних процесів звичайними диференціальними рівняннями

Тут  - зміщення коливної точки;  - амплітуда коливання ;  - циклічна частота;  - початкова фаза коливань в момент часу ;

 - фаза коливань в момент часу .

Найменший проміжок часу , після проходження якого повторюються значення всіх фізичних величин, що характеризують коливання, називається періодом коливання. За час   здійснюється одне повне коливання і фаза коливань отримує приріст , тобто

.

Звідси

.

Частотою коливань називається кількість повних коливань, що здійснюються за одиницю часу:

,

де  - кількість коливань, виконаних за час . Частота коливань - величина, яка обернена до періоду коливань:

.

Циклічна частота

.

Отже, циклічна частота дорівнює кількості повних коливань, що здійснюється за 2p с. Коливний процес характеризується швидкістю і прискоренням коливної точки:

,

де  - амплітуда швидкості, а  - амплітуда прискорення. Зміщення, швидкість і прискорення точки, що гармонічно коливається, є періодичними функціями часу з однаковими циклічною частотою  і періодом . Фаза швидкості відрізняється від фази зміщення на , а фаза прискорення відрізняється від фази зміщення на .

Прискорення завжди напрямлене до положення рівноваги: віддаляючись від положення рівноваги, коливна точка рухається сповільнено, наближаючись до нього - прискорено. Прискорення прямо пропорційне до зміщення, а його напрямок протилежний до напрямку зміщення [6, c.69].

Другий закон закон Ньютона дає змогу в загальному вигляді записати зв’язок між силою і прискоренням для прямолінійних гармонічних коливань матеріальної точки з масою :

Сила, що діє на коливну матеріальну точку прямо пропорційна до зміщення і завжди напрямлена до положення рівноваги. Тому її називають повертальною силою. Фаза сили  збігається з фазою прискорення.

Для прямолінійних коливань вздовж осі  прискорення

.

Тоді

,

І

, .

Це диференціальне рівняння вільних прямолінійних гармонічних коливань, збуджених пружними або квазіпружними силами.

Частковими розв’язками цього диференціального рівняння є функції:

І

Кінетична енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання, дорівнює:

..

Потенціальна енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання під дією квазіпружної сили, дорівнює:

Повна механічна енергія коливної точки:

.

Рівняння гармонічних коливань у контурі

Аналогія між механічними і електромагнітними коливаннями наштовхує на припущення, що електромагнітні коливання в контурі теж мають відбуватися за гармонічними законом.

Із закону збереження енергії випливає, що повна електромагнітна енергія контура, що дорівнює сумі енергії магнітного і електричного полів, з часом не змінюється, якщо опір контура .

.

Тому,

.

Отже,

Або

.

Фізичний зміст полягає у тому, що модулем швидкості зміни енергії однакові, а знак «мінус» вказує на те, що коли одна енергія збільшується, то друга - зменшується [20, c.45].

Беремо похідні за часом:

; .

Але

,

Тому

.

Оскільки

,

То

Або

.

Згадаємо, що рівняння такого виду описують гармонічні коливання фізичної величини (в даному випадку електричного заряду). Розв’язком даного рівняння є функція

,

Де

.

Оскільки

,

То

,

звідки формула Томсона

.

За гармонічним законом змінюється не тільки заряд на обкладках конденсатора, а й напруга і сила струму в контурі.

;

.

Коливання заряду (напруги) і струму в контурі зсунуті за фазою на , отже струм досягає максимального значення в ті моменти, коли заряд (напруга) на обкладках конденсатора дорівнює нулю і навпаки.

Висновки до розділу II

Закон радіоактивного розпаду - фізичний закон, що описує залежність інтенсивності радіоактивного розпаду від часу і кількості радіоактивних атомів в зразку.

Коливанням називається всякий рух або зміна стану тіла, що характеризується тим чи іншим ступенем повторюваності в часі значень фізичних величин, які визначають цей рух або стан тіла.

Найпростішим типом періодичних коливань є так звані гармонічні коливання - коливання, при яких значення фізичної величини змінюється з часом за законом косинуса (синуса).

ВИСНОВКИ

Математичне моделювання - метод дослідження процесів або явищ шляхом створення їхніх математичних моделей <http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C> і дослідження цих моделей.

Математичне моделювання тією чи іншою мірою застосовують всі природничі і суспільні науки, що використовують математичний апарат для одержання спрощеного опису реальності за допомогою математичних понять.

Математичне моделювання як кількісний інструментарій дослідника по суті своїй належить не тільки математиці - воно має самостійне значення, і свою історію. Примітно, що один і той же математичний апарат зустрічається в описі різних об'єктів в різних наукових дисциплінах. Тим самим математичне моделювання є міждисциплінарною категорією. Математичні методи, що зарекомендували себе в першу чергу у фізиці і інших природничонаукових дисциплінах, згодом з розвитком самої математики знайшли успішне вживання і в гуманітарних науках. Економіко-математичне моделювання і моделювання політичної сфери виявляють собою наочний приклад плідного вживання математичної ідеї в наукових дослідженнях

Модель досліджується для того, щоб можна було управляти досліджуваним об'єктом або системою, на підставі отриманої по моделі інформації. Управління системи пов'язане з поліпшенням його характеристик або її стабілізацією, тобто з можливістю прогнозування поводження систем.

Розрізняють детерміністичне і стохастичне моделювання. Якщо у відношенні величин, аналізованих детерміністичними моделями, передбачається їхня стабільність, а випадковими відхиленнями зневажають, відносячи їх тільки на рахунок помилок спостережень і вимірів, то в основі стохастичних моделей лежить випадковий характер величин, оцінюваний імовірними методами. Тут задача полягає у відшуканні тенденцій, що виявляються у випадкових відхиленнях.

Фізичні закони часто описують певні співвідношення між велечинами, що характерезують процес швідкістю та прискоренням зміни цих величтн. Математично такі закони записують як співвідношення між функціями та їх похідними. Якщо функція, яка описує фізичний процес невідома, то отримуємо рівняння, яке називають диференціальним. Отже, вивчення деяких фізичних процесів може бути замінено дослідженням розв’язків диференціальних рівнянь.

Закон радіоактивного розпаду - фізичний закон, що описує залежність інтенсивності радіоактивного розпаду від часу і кількості радіоактивних атомів в зразку.

Найпростішим типом періодичних коливань є так звані гармонічні коливання - коливання, при яких значення фізичної величини змінюється з часом за законом косинуса (синуса).

СПИСОК ВИКОРАСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1.      Бартоломей Г. Г., Байбаков В. Д., Алхутов М. С., Бать Г. А. Основи теорії і методи розрахунку ядерних енергетичних реакторів / Г.Г. Бартоломей, В. Д. Байбаков, М. С. Алхутов, Г. А . Бать - М.: Вища школа, 1982. - 500 с.

2.      Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Н. Г., Прикладная математика: С примерами из механики: Учебное пособие / И. И. Блехман, А. Д. Мышкис, Н. Г. Пановко. - М. УРСС, 2006. - 376 с.

4.      Губарєв В. В. Концептуальні основи інформатики./ В. В. Губарєв - К., 2001. - 320 с.

.        Івченко Б. П., Мартищенко Л. А. Інформаційна мікроекономіка Частина 1: Методи аналізу й прогнозування. / Б. П. Івченко, Л. А. Мартищенко,1997. - 450 с.

6.      Камерон І. Ядерні реактори / І. Камерон - К.: Вища школа, 1987. - 320 с.

7.      Клімов А. Н. Ядерна фізика і ядерні реактори / А. Н. Клімов - К.: Вища школа, 1985. - 352 с.

8.      Коротаев А. В. <http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%94%D0%B2_%D0%90%D0%BD%D0%B4%D1%80%D1%96%D0%B9_%D0%92%D1%96%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B9%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87>, Малков А. С., Халтурина Д. А. Законы истории. Математическое моделирование исторических макропроцессов / А. В. Коротаев <http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%94%D0%B2_%D0%90%D0%BD%D0%B4%D1%80%D1%96%D0%B9_%D0%92%D1%96%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B9%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87>, А. С. Малков, Д. А. Халтурина - М.,2005. - 406 с.

9.      Кремень В. Г. Освіта і наука в Україні - інноваційні аспекти. Стратегія. Реалізація. Результати./ В. Г. Кремень - К.: Грамота, 2005. - 448 с.

10.    Кудрявцев П. С. Відкриття радіоактивних преврещеній. Ідея атомної енергії / П. С. Кудрявцев Курс історії фізики - М.: Просвещение, 1982. - 460 с.

11.    Мала гірнича енциклопедія <http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%B3%D1%96%D1%80%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B0_%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D0%B4%D1%96%D1%8F>. в 3-х т.2 / За ред. В. С.Білецького <http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%96%D0%BB%D0%B5%D1%86%D1%8C%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%92%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D1%80_%D0%A1%D1%82%D0%B5%D1%84%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87>. - Донецьк: «Донбас», 2004. - 600 с.

.        Малков С. Ю., Математическое моделирование исторической динамики: подходы и модели / С. Ю. Малков. - М.: РГСУ, 2004. - с. 76-188.

.        Моделирование социально-политической и экономической динамики / Ред. М. Г. Дмитриев. - М.: РГСУ, 2004. - 190 с.

.        Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей./.А. Д. Мышкис - М.: КомКнига, 2007. - 195 с.

15.    Нічуговська Л. І. Науково-методичні основи математичної освіти студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів / Л. І. Нічуговська - Полтава, 2004. - 464 с.

16.    Раков С. Формування математичних компетентностей випускника школи як місія математичної освіти. / С. Раков - Математика в школі. 2007. - 369 с.

.        Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Методы. Примеры / А. А. Самарський, А. П. Михайлов - М.: Физматлит, 2001. - 260 с.

18.    Содді Ф. Історія атомної енергії / Ф. Соддів - М.:Атомиздат, 1979. - 288 с.

19.    Турчак К. Чисельні методи / К. Турчак - К., 2002. - 300 с.

20.    Фурашев В. Н., Ландэ Д. В., Брайчевский С. М. Моделирование информационно-электоральных процессов <http://chaos.in.ua/book/modelirovanie-informatsionno-elektoralnykh-protsessov> / В. Н Фурашев, Д. В. Ландэ, С.М. Брайчевский - К.: НИЦПИ АпрН Украины, 2007. - 182 с.

21.    Хуторской А. Ключевые компетенции как компонент личностно-ориентированного образования. / А. Хуторской - Народное оброзование. 2003. - 200 с.

22.    Черчмен У., Акоф Р., Арноф Я. Введення в дослідження операцій. / У. Черчмен, Р. Акоф, Я. Арноф - К., 2006. - 702 с.

23.    Шелобаєв С. И. Математичні методи й моделі в економіці, фінансах і бізнесі. / С. И. Шелобаєв - К., 2000. - 325 с.

24.    Шкиль Н. И., Слепкань З. И., Дубинчук Е. С. Алгебра и начала анализа : Проб. учеб. Для 10-11 кл. серед. шк. / Н. И. Шкиль, З. И. Слепкань, Е. С. Дубинчук. - К.: Вежа, 1995. - 624 с.