Материал: Математичне моделювання реальних процесів звичайними диференціальними рівняннями

Рівняння, яке містить невідому функцію й її похідні, називається диференціальним рівнянням. Порядок найвищої похідної, що входить у задане диференціальне рівняння, називається його порядком.

Наприклад, рівняння

являється диференціальним рівнянням другого порядку.

Якщо в рівняння входять незалежна змінна, невідома функція і її перша похідна, то таке рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо, крім цього, в рівняння входить похідна другого порядку від шуканої функції, то рівняння називається диференціальним рівнянням другого порядку тощо [22, c.402].

Диференціальним рівнянням n-го порядку називають рівність:

де  - незалежна зміна;  - невідома функція;  - похідні невідомої функції.

Будь-яку функцію, що задовольняє диференціальному рівнянню, називають розв’язком, або інтегралом цього рівняння, а знаходження розв’язку диференціального рівняння - інтегруванням.

Наприклад, функція

є розв’язком диференціального рівняння

 ,

Оскільки

.

Розв’язком диференціального рівняння називають будь-яку функцію,яка при підстановці в рівняння перетворює його в тотожність.

Функція

є розв’язком диференціального рівняння (1):

                             (1)

Справді, друга похідна від функції  дорівнює:

.

Підставляючи значення  в рівняння

,

Отримаємо

Аналогічно можна переконатися, що функція

де  і  - довільні сталі, також є розв’язком даного рівняння (1).

Загальним розв’язком (загальним інтегралом) диференціального рівняння називають таку функцію, яка перетворює дане рівняння в тотожність і містить стільки незалежних довільних сталих, який порядок цього рівняння.

Процес знаходження загального розв’язку називають інтегруванням диференціального рівняння.

Розв’язок диференціального рівняння при певних, значеннях довільних сталих називається частинним розв’язком цього рівняння.

Так, у розглянутому вище прикладі

розв’язок  - загальний, а розв’язок  - частинний.

На практиці здебільшого частинний розв’язок диференціальних рівнянь знаходять із загального розв’язку, виходячи із заданих умов, яким має задовольняти окремий розв’язок даного диференціального рівняння. Ці умови називають початковими умовами.

Задача відшукання частинного розв’язку даного диференціального рівняння за початковими умовами називається задачею Коші.

Приклад. Знайти окремий розв’язок диференціального рівняння

 (2)

який задовольняє початковим умовам:

,

якщо загальний розв’язок даного рівняння задано у вигляді:

                                   (3)

Розв’язування. Підставивши в загальний розв’язок (3) початкові умови, дістанемо значення довільної сталої

,

Звідси

Отже, шуканий окремий розв’язок диференціального рівняння (2) для заданих початкових умовах є функція , задана рівнянням

Дамо геометричну інтерпретацію розв’язку рівняння (2).

Оскільки кожен окремий розв’язок даного рівняння є деякою функцією однієї змінної, то в прямокутній системі координат на площині цьому розв’язку відповідає деяка лінія. Ця лінія називається інтегральною кривою даного диференціального рівняння [24, c.403].

Загальному розв’язку диференціального рівняння відповідає множина всіх інтегральних кривих цього рівняння, яка називається сім’єю інтегральних кривих.

Ми встановили, що окремим розв’язком рівняння

при початкових умовах

 і

є крива

,

а загальним розв’язком - сім’я інтегральних кривих

.

У системі координат на площині загальний розв’язок задає множина концентричних кіл з центром у початку координат. Початкові умови означають, що серед цієї множини кіл требо взяти те коло, яке проходить через точку з координатами

.

Це коло задається рівнянням

.

Багато фізичних законів мають вигляд диференціальних рівнянь. Інтегрування цих рівнянь - складна справа. Одні диференціальні рівняння вдається розв’язати в явному вигляді, тобто записати шукану функцію у вигляді формули. Для інших ще й досі не знайдено зручних формул. У цих випадках знаходять наближені розв’язки за допомогою комп’ютерних програм .

Диференціальні рівняння досить повно і просто описують виробничі процеси. Тому важливо не лише вміти їх розв’язувати, а й складати.

Висновки до розділу I

Математичне моделювання - метод дослідження процесів або явищ шляхом створення їхніх математичних моделей <#"826432.files/image054.gif">,

яке означає, що число розпадів -  , Що відбулося за короткий інтервал часу , пропорціональнo числу атомів у зразку .

Експоненціальний закон

Рис.2.1. Експоненціальна крива радіоактивного розпаду

Експоненціальна крива радіоактивного розпаду (рис.2.1.): за осі абсцис ("осі ") - час, за осі ординат ("осі ") - кількість нераспавшихся ядер або швидкість розпаду в одиницю часу.

У зазначеному вище математичному вираженні  - постійна розпаду, яка характеризує ймовірність радіоактивного розпаду за одиницю часу і має розмірність . Знак мінус вказує на спад числа радіоактивних ядер з часом.

Розв’язування цього диференціального рівняння має вигляд:

,

де  - початкове число атомів, тобто число атомів для .

Таким чином, число радіоактивних атомів зменшується з часом за експоненціальним законом.

Швидкість розпаду, тобто число розпадів в одиницю часу

також падає експоненціально. Диференціюючи вираз для залежності числа атомів від часу, отримуємо:

де  - швидкість розпаду в початковий момент часу  .

Таким чином, залежність від часу числа нераспавшимися радіоактивних атомів і швидкості розпаду описується однією і тією ж постійною . [1, c.60].

Період напіврозпаду

На практиці набула більшого поширення інша тимчасова характеристика - період напіврозпаду  , Що дорівнює часу, протягом якого число радіоактивних атомів або швидкість розпаду зменшуються в 2 рази [8, c.39].

Зв'язок цієї величини з постійною розпаду можна вивести із співвідношення

,

Звідки:

Приклади характеристик розпаду

Існуючі в природі радіонукліди в основному виникають в складних ланцюжках розпадів урану і торію і мають періоди напіврозпаду в дуже широкій області значень: від секунди для ²¹² до  10 років для ²³². Саме існування в даний час багатьох природних радіоактивних елементів незважаючи на те, що з моменту утворення цих елементів при виникненні Всесвіту пройшло дуже багато часу, є наслідком дуже великих періодів напіврозпаду ²³⁵, ²³⁸, ²³². Приміром, ізотоп ²³⁸ стоїть на початку довгого ланцюжка (так званий ряд радію), що складається з 20 ізотопів, кожен з яких виникає при -розпаді або -розпаді попереднього елемента. Період напіврозпаду ²³⁸ (4,5 10⁹ років) багато більше, ніж період напіврозпаду якого з наступних елементів радіоактивного ряду, тому розпад в цілому всього ланцюжка відбувається за той же час, що й розпад ²³⁸, її родоначальника, в таких випадках кажуть, що ланцюжок знаходиться в стані секулярного (або вікового) рівноваги [7, c.55]. Приклади характеристик розпаду деяких речовин [16, c.105]:

Таблиця 2.1

Приклади характеристик розпаду деяких речовин

2.2 Рівняння гармонічних коливань

Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань

Коливанням називається всякий рух або зміна стану тіла, що характеризується тим чи іншим ступенем повторюваності в часі значень фізичних величин, які визначають цей рух або стан тіла.

Коливання називаються вільними, якщо вони здійснюються за рахунок енергії, яка була надана, за відсутності в наступному зовнішніх впливів на коливну систему.

Коливання називаються періодичними, якщо значення фізичних величин, які змінюються під час коливань, повторюються через однакові проміжки часу. Найпростішим типом періодичних коливань є так звані гармонічні коливання - коливання, при яких значення фізичної величини змінюється з часом за законом косинуса (синуса) [17, c.20].

Нехай матеріальна точка здійснює прямолінійні гармонічні коливання вздовж осі координат  біля положення рівноваги, яке прийняте за початок координат. Тоді залежність координати  від часу  задається рівнянням