Материал: Математичне моделювання реальних процесів звичайними диференціальними рівняннями

Математичне моделювання реальних процесів звичайними диференціальними рівняннями

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

БЕРДЯНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Інститут фізико-математичної і технологічної освіти

Кафедра математики та методики викладання математики

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ реальних процесів звичайними ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИМИ РІВНЯННЯМИ

(Курсова робота)

Бердянськ, 2012

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ I. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИМИ РІВНЯННЯМИ

.1 Поняття математичного моделювання

.2 Види математичних моделей

.3 Основні поняття диференціальних рівнянь

Висновки до розділу I

РОЗДІЛ II. ЗАСТОСУВАННЯ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИМИ РІВНЯННЯМИ

.1 Приклади процесів, що моделюються диференціальними рівняннями експоненціальної змінної

.2 Рівняння гармонічних коливань

Висновки до розділу II

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРАСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Математичне моделювання - метод дослідження процесів або явищ шляхом створення математичних моделей <#"826432.files/image001.gif"> - елемент розсіювання енергії;  і  - елементи накопичення енергії. Поєднанням цих простих елементів і джерел фазових змінних отримують еквівалентну схему технічної системи будь-якої складності і її математичну модель.

Детерміністичні моделі описують закономірності, що виявляються в одиночному, у кожнім окремо узятому елементі сукупності. Такій закономірності властива тверда механічна причинність, що конкретно визначає поводження кожної одиниці сукупності. Вона одержала назву динамічної або закономірності з твердою детермінацією. Типовими прикладами динамічних закономірностей можуть служити закони класичної механіки. У динамічних закономірностях зв’язок між причиною і наслідком може бути виражений цілком точно у вигляді конкретних математичних формул. Тут кожному наборові значень пояснюючих змінних завжди відповідає визначене значення пояснюваної змінної. Такий зв’язок називається функціональним. Детерміністична модель служить вираженням функціонального зв’язку.

Для моделювання нестаціонарних імовірнісних процесів використовують стохастичні моделі. Якщо об’єкт моделювання стаціонарний і піддається випадковим впливам, то модель називають статистичною. Наприклад, для моделювання функцій перетворення вимірювальних пристроїв досить скористатися детермінованим способом опису, тоді як для аналізу похибок, оцінки інформаційних характеристик необхідно застосувати ймовірнісно-статистичні методи.

Стохастичні моделі описують закономірності, які обумовлені одночасною дією на об’єкт багатьох факторів і які проявляються чітко тільки при масових спостереженнях. До найбільш розповсюджених методів побудови стохастичних моделей відносяться методи, об’єднані під загальною назвою - багатовимірний статистичний аналіз, зокрема - кореляційний і регресійний аналізи. Практика показує, що стохастичні моделі, одержані за допомогою кореляційного і регресійного аналізів, мають перевагу при кількісному описі причинно-наслідкових відносин в економіці і соціальній сфері в порівнянні з детерміністичними моделями. Виявлення кількісних співвідношень у вигляді регресії дає можливість краще зрозуміти природу досліджуваного явища. А це, у свою чергу, дозволяє впливати на виявлені фактори, втручатися у відповідний економічний процес з метою одержання потрібних результатів.

Неперервні моделі представляють системи з неперервними процесами, а дискретні моделі відображають поведінку систем з дискретними станами. Дискретно-неперевні моделі використовуються, коли на об’єкті виділяються обидва типи процесів.

Якщо при описі моделі використовуються лише лінійні математичні конструкції (наприклад, лінійні алгебраїчні рівняння), то модель називають лінійною, інакше - нелінійною.

Моделі з розподіленими параметрами описують просторове поширення явищ, а моделі з зосередженими параметрами нехтують просторовою складовою. Динамічні неперервні детерміновані моделі з розподіленими параметрами використовують апарат диференціальних рівнянь у частинних похідних, а з зосередженими параметрами - звичайних диференціальних рівнянь.

Для аналітичних моделей властиво те, що процеси функціонування об’єкта представляються у вигляді аналітичних математичних залежностей: алгебраїчних, диференціальних, інтегральних рівнянь або їх систем, логічних умов. Наприклад, закон Ома чи рівняння Максвелла. Дослідження аналітичних моделей можливе за допомогою методів:

Ø аналітичних;

Ø  чисельних;

Ø  якісних.

Аналітичні методи полягають у пошуку явних залежностей між характеристиками. Однак такі залежності можливо отримати лише для невеликої кількості простих моделей, як правило, лінійних. Інколи виконують спрощення моделей для отримання можливості вивчити хоча б загальні властивості об’єкта.

Чисельні методи дозволяють отримати розв’язок аналітичних моделей, для котрих застосування аналітичних методів неможливо або недоцільно. Розв’язок чисельними методами здійснюється для конкретних вихідних даних і має додаткову похибку.

Якісні методи дозволяють зробити певні висновки по моделі, не маючи розв’язку у явному вигляді. Наприклад, такі методи використовуються у теорії автоматичного управління для оцінки ефективності різних варіантів систем управління.

Імітаційне моделювання передбачає представлення моделі у вигляді алгоритму та комп’ютерної програми, яка дозволяє відтворити поведінку об’єкту. Імітаційні моделі розглядаються як експерименти, що проводяться на комп’ютерах, з математичними моделями, що імітують поведінку реальних об'єктів. При цьому імітуються елементарні явища, що складають процес, зі збереженням їх логічної структури та послідовності у часі, що дозволяє отримати відомості про стан системи у певний момент часу та оцінити характеристики системи. Імітаційні моделі дозволяють вирішувати більш складні задачі, ніж аналітичні. Наприклад, вони дозволяють досить легко враховувати вплив випадкових факторів [20, c.80].

Традиційно під моделюванням на комп’ютері розумілося лише імітаційне моделювання. Але завдяки розвитку графічного інтерфейсу та графічних пакетів значного поширення набуло комп’ютерне структурно-функціональне моделювання, а також розпочалося використання комп’ютера з метою концептуального моделювання, наприклад для побудови систем штучного інтелекту.

Під комп’ютерним моделюванням найчастіше розуміють: умовний образ об’єкта чи деякої системи об’єктів (або процесів), описаних за допомогою взаємозалежних комп’ютерних таблиць, схем, діаграм, графіків, малюнків, анімаційних фрагментів, гіпертекстів і т. ін., що відбивають структуру та взаємозв’язки між елементами об’єкта чи системи. Комп’ютерні моделі такого типу називають структурно-функціональними; окрему програму, сукупність програм чи програмний комплекс, що дає змогу виконанням послідовності обчислень з подальшим графічним відображенням їх результатів відтворювати (імітувати) процеси функціонування об’єкта (системи об’єктів), що функціонує під впливом різних, як правило випадкових, факторів (імітаційну модель).

Інколи застосовується комбіноване (аналітико-імітаційне) моделювання, яке полягає в тому, що об’єкт декомпозується на окремі підсистеми. Для тих підсистем, для яких це можливе, використовуються аналітичні моделі, а для інших розробляються імітаційні моделі.

Розробка моделей поєднує в собі науку і мистецтво. На жаль, немає чіткого формального алгоритму, який би дозволив побудувати модель для будь-якого об’єкту.

Моделі прогнозування. Існує множина математичних моделей, за допомогою яких вирішуються ті, або інші задачі. У всіх сферах діяльності людини важливим моментом є прогнозування наступних подій. Зараз існує більше 100 методів і методик прогнозування. Умовно їх можна розділити на фактографічні й експертні. Фактографічні методи засновані на аналізі інформації про об'єкт, а експертні - на судженнях експертів, які отримані при проведенні колективних або індивідуальних опитувань. Серед фактографічних методів можна виділити наступні:

Ø Статистичні методи.

Ø  Методи аналогії.

До статистичних методів ставляться апроксимація, інтерполяція, , методи дослідження тимчасових рядів.

До методів аналогії ставляться моделі планування експерименту, а також математичної, історичної й іншої аналогії.

Серед моделей прогнозування можна виділити наступні:

Моделі апроксимації. Методи апроксимації застосовні до детермінованих і статистичних систем. Апроксимація - наближення. Вибір апроксимуючої функції  пов'язаний з рішенням задачі. Для цього застосовується критерій мінімізації квадратичної помилки.

Постановка задачі.

Нехай проведено  дослідів, де  - вхідний параметр;  - вихідний параметр.

Необхідно підібрати модель єднальну  і  (рис.1.1).

Рис.1.1.Єднальна модель  і

Через точки  можна провести криву, що, у свою чергу, може проходити через ці точки або перебувати поблизу даних точок.

В апроксимації для одержання параметрів моделі використовується Мнк-критерій (метод найменших квадратів). Кращою вважається та модель, для якої сума квадратів відхилень значень, від теоретичних буде мінімальною.

Для цього формується цільова функція або критерій оптимізації.

Далі треба досліджувати функцію на екстремум. Невідомими будуть коефіцієнти моделі B. Найбільше просто перебувають параметри, якщо  являє собою поліном -ний ступеня. При цьому формується система лінійних рівнянь, порядок якої на одиницю більше степеня полінома.

У загальному випадку для знаходження параметрів формується система диференціальних рівнянь. Наприкінці формується система лінійних рівнянь, яку можна вирішувати точними методами (метод Крамера, Гауса, зворотної матриці). Коли система вирішена, тобто, знайдені параметри моделі, можна виконати прогнозування значень y [4, c.16-17].

Якщо  знаходиться усередині інтервалу , то говорять про прогнозування в сьогоденні. Якщо  менше , або  більше , то мова йде про екстраполяцію.

Моделі інтерполяції. В інтерполяції, на відміну від апроксимації, проводиться мінімізація лінійної помилки. Також, на відміну від апроксимації, де крива стосовно точок досліду може розташовуватися будь-яким образом, а саме перебувати поблизу цих точок, або проходити через деякі з них, крива інтерполяції, або інтерполяційний поліном обов'язково проходить через всі точки кривої, які називаються вузлами.

Найбільш простий підхід до одержання інтерполяційної моделі був запропонований Лагранжем. Тому що поліном проходить через кожну досліджену точку, то потрібно скласти стільки рівнянь, скільки проведено дослідів. У лівій частині рівняння формується поліном, що проходить через -ту точку. У правій частині формується вектор значень . У результаті виходить система лінійних рівнянь -ого порядку, де -число дослідів, а степінь інтерполяційного полінома на одиницю менше числа дослідів.

Кількість дослідів має бути більше п'яти, інакше результати інтерполяції будуть не придатні для прогнозування. Тому що метод інтерполяції вимагає проходження моделі через всі точки, то накладаються певні умови на досліджене значення. Різниці -ого порядку повинні бути приблизно однаково малі. Добре інтерполюються монотонні функції.

Обидва розглянутих методи відносяться до методів дослідження детермінованих моделей.

1.3 Основні поняття диференціальних рівнянь

У кінці XVII - на початку XVIII століття різноманітні практичні і наукові проблеми привели до появи диференціальних рівнянь. Насамперед це були диференціальні рівняння першого порядку, інтегрування яких намагались здійснити за допомогою функцій, що виражають скінченне число алгебраїчних дій, або таких, що включають елементарні неалгебраїчні дії, наприклад оперування тригонометричними функціями.

Найбільш прості диференціальні рівняння з’явились в працях Ісаака Ньютона (1643 - 1727) і Готфріда Лейбніца (1646 - 1716), саме Лейбніцу і належить термін «диференціальне рівняння». Диференціальні рівняння мають велике прикладне значення, вони є знаряддям дослідження багатьох задач природознавства та техніки. Їх широко використовують в механіці, астрономії, фізиці, хімії, біології. Це пояснюється тим, що досить часто об’єктивні закони, яким підпорядковуються певні явища (процеси), записують у формі диференціальних рівнянь, а самі ці рівняння є засобами для кількісного вираження цих законів.

Наприклад, фізичні закони описують деякі співвідношення між величинами, що характеризують певний процес, і швидкістю змінних цих величин. Іншими словами, ці закони виражають рівностями, в яких є невідомі функції та їх похідні.

У XVIII столітті теорія диференціальних рівнянь відокремилась з математичного аналізу в самостійну математичну дисципліну. Її успіхи пов’язанні з іменами швейцарського Іоганна Бернуллі (1667 - 1748 ), французького математика Жозефа Лагранжа (1736 - 1813) і особливо Леонарда Ейлера (1707 - 1783).

Перший період розвитку диференціальних рівнянь був пов'язаний з успішним розв’язком деяких важливих прикладних задач, що приводять до диференціальних рівнянь, розробкою методів інтегрування різних типів диференціальних рівнянь і пошуку класів рівнянь, розв’язки яких можна подати у вигляді елементарних функцій або їх первісних. Проте дуже швидко виявилося, що інтегрованих диференціальних рівнянь зовсім небагато. Це привело до розвитку власне теорії диференціальних рівнянь, яка займається розробкою методів, що дають змогу за властивостями диференціального рівняння визначити властивості і характер його розв’язку [24, c.408].

У зв’язку з потребами практики поступово розробляються і способи наближеного інтегрування диференціальних рівнянь. Ці методи дають зручні алгоритми обчислень з ефективними оцінками точності, а сучасна обчислювальна техніка дає змогу економічно і швидко звести розв’язок кожної такої задачі до числового результату.