Материал: Математическое моделирование при активном эксперименте

Вершину х0 симплекса называют базовой. В алгоритме симплексного метода используется следующее важное свойство правильного симплекса. По известному симплексу можно построить новый симплекс путем отражения какой-либо вершины.

Поиск точки минимума функции f(x) с помощью правильных симплексов производится следующим образом: на каждой итерации сравниваются значения функции в вершинах симплекса. Затем проводится описанная выше процедура отражения для той вершины, в которой f(x) принимает наибольшее значение. Если в отраженной вершине получается меньшее значение функции, то переходят к новому симплексу. Если же попытка отражения не приводит к уменьшению функции, то сокращают длину ребра симплекса. В качестве базовой выбирают ту вершину х0 старого симплекса, в которой функция принимает минимальное значение. Поиск точки минимума функции заканчивают, когда либо ребро симплекса, либо разность между значениями функции в вершинах симплекса становятся достаточно малыми.

Глава 2. Расчетная часть

.1 Исходные данные

Рассматриваются следующие закодированные биотропные факторы:

Таблица 2.1.1

Дан полно факторный эксперимент ,состоящий из 8 опытов, y1, y2, y3 - дублирование данных опытов.

Таблица 2.1.2

.2 Расчёт коэффициентов уравнения регрессии и выделение значимых коэффициентов

Для определения коэффициентов уравнения регрессии и выделения значимых коэффициентов выполняем следующие расчёты (все расчёты здесь и далее выполнены в электронных таблицах "Microsoft Excel 2007").

) По формуле

рассчитываем среднее значение отклика, где n - количество дублирований опытов (n = 3)

) По формуле

вычисляем построчную дисперсию опытов.

) Вычисляем дисперсию воспроизводимости (общую дисперсию):

,

где N - число экспериментов (N = 8)

)        Находим дисперсию коэффициентов уравнения регрессии по формуле:

И

)        Ошибку эксперимента:

На основании полученных расчётов имеем следующие значения коэффициентов регрессии (табл. 2.2.1), по которым записываем уравнение регрессии:

=4,875-1,375х1 + 0,292х2 + 1,292х3 -0,792 х1х2- 0,792х1х3 - 0,125 х2х3 + 0,625 х1х2х3

Таблица 2.2.1

s2y = 1

s2{bi}= 1,708333333

s{bi} = 0,071181

) Находим доверительный интервал Dbi по формуле:  где tt - табличное значение критерия (Коэффициент Стьюдента) при принятом уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы f =n - 1=2 (табл. П1.1), с которым определялась дисперсия .

Δ bi = 1,14722624

Исключаем незначимые факторы и записываем новое уравнение регрессии с учётом только значимых факторов, удовлетворяющих условию,  т.е. факторов, попадающих в доверительный интервал:

 =4,88 - 1,38 х1- 1,29х3

.3 Проверка гипотезы адекватности найденной модели

Для проверки гипотезы адекватности найденной математической модели выполняем следующие расчеты:

) Находим остаточную дисперсию, или дисперсию адекватности, характеризующую рассеяние эмпирических значений y относительно расчетных , определенных по найденному уравнению регрессии (табл. 2.3.1). Дисперсию адекватности определяем по формуле:

где N-количество опытов, k - число факторов.

Таблица 2.3.1

) Производим проверку гипотезы адекватности модели по F-Критерию Фишера, для этого находим расчётное значение Fp:

  Fp=6,59946

Находим табличное значение F-критерия Фишера:

f1=k=3;

f2=N-k-1= 8-3-1=2

Табличное значение F-критерия Фишера в данном случае составляет (табл. П3.1): Fтабл=9,12 Fp<Fтабл, следовательно, найденная модель адекватна.

.4 Решение задачи оптимизации симплекс-методом

Будем оптимизировать по факторам х1 и х3., исходя из соображений, что они оказывают наибольшее влияние.

Выбираем факторы:

= -1(Частота вращения вала - 60 об/мин)

= -1 (Скорость подачи ткани -200 стежка/мин)

Тогда уравнение регрессии, принятое для оптимизации, имеет вид:

=4,88 - 1,38 х1- 1,29х3

Строим равносторонний треугольник, со стороной а=0,2, высота треугольника равна

=0,17 (см. рис.П4.1).

Находим координаты вершин треугольника и вычисляем значения в этих точках:

А (-0,2; -0,1) , В (0; 0,24) , С (0,2; -0,1)

=4,88 - 1,38·(- 0,2) - 1,29·(-0,1)= 5,3;

= 4,88 - 1,38· 0 - 1,29·(-0,24)= = 5,2;

= 4,88 - 1,38·(0,2) - 1,29·(-0,1)= 4,7;

D (-0,4; 0,24)

 = 4,88 - 1,38·(-0,4) - 1,29·(0,24)=5,1

F (-0,6; 0,56)

= 4,88 - 1,38·(-0,6) - 1,29·(0,56)=4,9

E (-0,2; 0,56)

= 4,88 - 1,38·(-0,2) - 1,29·(0,56)=4,4;

G (-0,4; 0.92)

= 4,88 - 1,38·(-0,4) - 1,29·(0,92)=4,2;

По исходным данным находим нулевой уровень и интервалы варьирования факторов (табл.2.4.1):

Таблица 2.4.1

Находим значения биотропных факторов (табл.2.4.2) по формуле

,

где - значение биотропного фактора,  - нулевое значение биотропного фактора,  - интервал варьирования, ,- закодированный фактор.

Таблица 2.4.2

Заключение

. По результатам выполнения работы определенные факторы

х4 = 155 кДЖ/моль прочность ткани (140 кДж/моль, 190 кДж/моль)

х5=4,95 мм расстояние между лапкой и иглой (4 мм - 5 мм)

При которых достигается минимальное значение % брака.

. При проведении расчетов использовалось следующее уравнение регрессии =4,88 - 1,38 х1- 1,29х3

. При помощи оптимизации симплекс-методом получили оптимальное значение при х4 = 155 (прочность ткани кДж\моль) и х5 = 4,95 (расстояние между лапкой и иглой), т.е. наибольший значимый операцией при работе с машиной является прочность ткани и растяжение между лапкой и иглой.

Список использованной литературы

1. Лисенков А.Н. Математические методы планирования многофакторных медико-биологических экспериментов. - М.: "Медицина", 2009. - 343 с.

. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. - М.: "Наука", 2008. - 208 с.

. Васильев Ф.П. Численные методы решения экспериментальных задач - М.: "Наука",1980 г. - 338 с.

. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации - М.: "Наука",1986 г. - 476 с.

. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы.- М.: "Мир", 2010 г. - 352 с.

. Резниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Ч. 1. - М. - Ижевск: Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика", 2002. - 231 с.

. Абакумов М.В., Ашметов И.В., Ешкова Н.Б., Кошелев В.Б., Мухин С.И., Соснин Н.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Хруменко А.Б. Методики математического моделирования сердечнососудистой системы // Математическое моделирование. - 2009. - Т. 12, №2. - С. 106-117.

Приложения

Приложение 1

Критические значения коэффициента Стьюдента (tp,ν-критерия) для различной доверительной вероятности p (%) и числа степеней свободы ν

Таблица 1

Приложение 2