Материал: Математические задачи, их формулы и функции в Turbo Pascal

Линейный алгоритм - набор команд (указаний), выполняемых последовательно во времени друг за другом.

Разветвляющийся алгоритм - алгоритм, содержащий хотя бы одно условие, в результате проверки которого ЭВМ обеспечивает переход на один из двух возможных шагов.

Циклический алгоритм - алгоритм, предусматривающий многократное повторение одного и того же действия (одних и тех же операций) над новыми исходными данными. К циклическим алгоритмам сводится большинство методов вычислений, перебора вариантов.

Цикл программы - последовательность команд (серия, тело цикла), которая может выполняться многократно (для новых исходных данных) до удовлетворения некоторого условия.

Вспомогательный (подчиненный) алгоритм (процедура) - алгоритм, ранее разработанный и целиком используемый при алгоритмизации конкретной задачи.

В некоторых случаях при наличии одинаковых последовательностей указаний(команд) для различных данных с целью сокращения записи также выделяют вспомогательный алгоритм.

На всех этапах подготовки к алгоритмизации задачи широко используется структурное представление алгоритма.

Структурная (блок-, граф-) схема алгоритма - графическое изображение алгоритма в виде схемы связанных между собой с помощью стрелок (линий перехода) блоков - графических символов, каждый из которых соответствует одному шагу алгоритма. Внутри блока дается описание соответствующего действия.

Графическое изображение алгоритма широко используется перед программированием задачи вследствие его наглядности, т.к. зрительное восприятие обычно облегчает процесс написания программы, ее корректировки при возможных ошибках, осмысливание процесса обработки информации.

Можно встретить даже такое утверждение: “Внешне алгоритм представляет собой схему - набор прямоугольников и других символов, внутри которых записывается, что вычисляется, что вводится в машину и что выдается на печать и другие средства отображения информации “. Здесь форма представления алгоритма смешивается с самим алгоритмом.

Принцип программирования “сверху вниз” требует, чтобы блок-схема поэтапно конкретизировалась и каждый блок “расписывался” до элементарных операций.

Но такой подход можно осуществить при решении несложных задач. При решении сколько-нибудь серьезной задачи блок-схема “расползется” до такой степени, что ее невозможно будет охватить одним взглядом.

Блок-схемы алгоритмов удобно использовать для объяснения работы уже готового алгоритма, при этом в качестве блоков берутся действительно блоки алгоритма, работа которых не требует пояснений. Блок-схема алгоритма должна служить для упрощения изображения алгоритма, а не для усложнения.

Задачи следует классифицировать не по типам данных, как это обычно делается (задачи на массивы, на символьные переменные и т. д.), а по разделу “Требуется”.

В информатике процесс решения задачи распределяется между двумя субъектами: программистом и компьютером. Программист составляет алгоритм (программу), компьютер его исполняет. В традиционной математике такого разделения нет, задачу решает один человек, который составляет алгоритм решения задачи и сам выполняет его. Сущность алгоритмизации не в том, что решение задачи представляется в виде набора элементарных операций, а в том, что процесс решения задачи разбивается на два этапа: творческий (программирование) и не творческий (выполнение программы). И выполняют эти этапы разные субъекты - программист и исполнитель

В учебниках по информатике обычно пишут, что исполнителем алгоритма может быть и человек. На самом деле алгоритмы для людей никто не составляет (не будем забывать, что не всякий набор дискретных операций является алгоритмом). Человек в принципе не может действовать по алгоритму. Выполнение алгоритма - это автоматическое, бездумное выполнение операций. Человек всегда действует осмысленно. Для того, чтобы человек мог выполнять какой-то набор операций, ему нужно объяснить, как это делается. Любую работу человек сможет выполнять только тогда, когда он понимает, как она выполняется.

Вот в этом - “ объяснение и понимание” - и кроется различие между понятиями “алгоритм” и “способ”, “метод”, “правило”. Правила выполнения арифметических операций - это именно правила (или способы), а не алгоритмы. Конечно, эти правила можно изложить в виде алгоритмов, но толку от этого не будет. Для того, чтобы человек смог считать по правилам арифметики, его нужно научить. А если есть процесс обучения, значит, мы имеем дело не с алгоритмом, а с методом.

При составлении алгоритма программист никому ничего не объясняет, а исполнитель не пытается ничего понять. Алгоритм размещается в памяти компьютера, который извлекает команды по одной и исполняет их. Человек действует по другому. Чтобы решить задачу, человеку требуется держать в памяти метод решения задачи в целом, а воплощает этот метод каждый по- своему.

Очень ярко эта особенность человеческой психологии - неалгоритмичность мышления - проявилась в методическом пособии А.Г. Гейна и В.Ф. Шолоховича.

В пособии излагаются решения задач из известного учебника. Решения задач должны быть представлены в виде алгоритмов. Однако авторы пособия понимают, что если просто написать алгоритм решения задачи, то разобраться в самом решении будет трудно. Поэтому они сначала приводят “нечеткое изложение алгоритма” (т. е. объясняют решение задачи), а затем пишут сам алгоритм.

2. БЛОК-СХЕМЫ

.1 Понятие блок-схем

При блок-схемном описании алгоритм изображается геометрическими фигурами (блоками), связанными по управлению линиями (направлениями потока) со стрелками. В блоках записывается последовательность действий.

Данный способ по сравнению с другими способами записи алгоритма имеет ряд преимуществ. Он наиболее нагляден: каждая операция вычислительного процесса изображается отдельной геометрической фигурой. Кроме того, графическое изображение алгоритма наглядно показывает разветвления путей решения задачи в зависимости от различных условий, повторение отдельных этапов вычислительного процесса и другие детали.

Оформление программ должно соответствовать определенным требованиям. В настоящее время действует единая система программной документации (ЕСПД), которая устанавливает правила разработки, оформления программ и программной документации. В единой системе программной документации определены и правила оформления блок-схем алгоритмов (ГОСТ 10.002-80 ЕСПД, ГОСТ 10.003-80 ЕСПД).

Операции обработки данных и носители информации изображаются на схеме соответствующими блоками. Большая часть блоков по построению условно вписана в прямоугольник со сторонами а и b. Минимальное значение, а равно 10 мм увеличение, а производится на число, кратное 5 мм. Размер b=1,5 мм. Для отдельных блоков допускается соотношение между а и b, равное 1:2. В пределах одной схемы рекомендуется изображать блоки одинаковых размеров. Все блоки нумеруются. Виды и назначение основных блоков приведены в таблице.

Линии, соединяющие блоки и указывающие последовательность связей между ними, должны проводится параллельно линиям рамки. Стрелка в конце линии может не ставиться, если линия направлена слева направо или сверху вниз. В блок может входить несколько линий, то есть блок может являться преемником любого числа блоков. Из блока (кроме логического) может выходить только одна линия. Логический блок может иметь в качестве продолжения одни из двух блоков, и из него выходят две линии. Если на схеме имеет место слияние линий, то место пересечения выделяется точкой. В случае, когда одна линия подходит к другой и слияние их явно выражено, точку можно не ставить.

Схему алгоритма следует выполнять как единое целое, однако в случае необходимости допускается обрывать линии, соединяющие блоки.

Если при обрыве линии продолжение схемы находится на этом же листе, то на одном и другом конце линии изображается специальный символ соединитель - окружность диаметром 0,5 мм. Внутри парных окружностей указывается один и тот же идентификатор. В качестве идентификатора, как правило, используется порядковый номер блока, к которому направлена соединительная линия. Если схема занимает более одного листа, то в случае разрыва линии вместо окружности используется межстраничный соединитель. Внутри каждого соединителя указывается адрес - откуда и куда направлена соединительная линия. Адрес записывается в две строки: в первой указывается номер листа, во второй - порядковый номер блока.

Блок-схема должна содержать все разветвления, циклы и обращения к подпрограммам, содержащиеся в программе.

2.2 Элементы блок-схем

Однако блок-схемы, наверно, самый удобный и наглядный способов записи алгоритмов. Любая команда алгоритма записывается в блок-схеме в виде графического элемента - блока, и дополняется словесным описанием. Блоки в блок-схемах соединяются линиями потока информации. Направление потока информации указывается стрелкой. В случае потока информации сверху вниз и слева направо стрелку ставить не обязательно. Блоки в блок-схеме имеют только один вход и один выход (за исключением логического блока).

Элементы блок-схем:

Начало или конец алгоритма, вход или выход в подпрограмме. Элемент отображает вход из внешней среды или выход из неё (наиболее частое применение − начало и конец программы). Внутри фигуры записывается соответствующее действие (рис 1).

Рис. 1

Блок ввода-вывода данных, общее обозначения ввода (вывода) данных (вне зависимости от физического носителя). Преобразование данных в форму, пригодную для обработки (ввод) или отображения результатов обработки (вывод). Данный символ не определяет носителя данных (для указания типа носителя данных используются специфические символы) (рис2).

Рис. 2

Блок вычислений, вычислительные действия или последовательность действий. Выполнение одной или нескольких операций, обработка данных любого вида (изменение значения данных, формы представления, расположения). Внутри фигуры записывают непосредственно сами операции, например, операцию присваивания: a = 10*b + c. (рис 3)

Рис. 3

Логический блок (блок условия), выбор направления выполнения алгоритма в зависимости от некоторого условия. Отображает решение или функцию переключательного типа с одним входом и двумя или более альтернативными выходами, из которых только один может быть выбран после вычисления условий, определенных внутри этого элемента. Вход в элемент обозначается линией, входящей обычно в верхнюю вершину элемента. Если выходов два или три, то обычно каждый выход обозначается линией, выходящей из оставшихся вершин (боковых и нижней). Если выходов больше трех, то их следует показывать одной линией, выходящей из вершины (чаще нижней) элемента, которая затем разветвляется. Соответствующие результаты вычислений могут записываться рядом с линиями, отображающими эти пути. Примеры решения: в общем случае − сравнение (три выхода: >, <, =); в программировании − условные операторы if (два выхода: true, false) и case (множество выходов) (рис 4)

Рис. 4

Блок модификации, функция выполняет действия, изменяющие пункты (например, заголовок цикла) алгоритма (рис 5).

Рис. 5

Процесс пользователя (подпрограмма), вычисление по стандартной программе или подпрограмме (рис 6).

Рис. 6

Соединитель, указание связи прерванными линиями между потоками информации в пределах одного листа. Символ отображает вход в часть схемы и выход из другой части этой схемы. Используется для обрыва линии и продолжения её в другом месте (для избежания излишних пересечений или слишком длинных линий, а также, если схема состоит из нескольких страниц). Соответствующие соединительные символы должны иметь одинаковое (при том уникальное) обозначение (рис 7).

Рис. 7

Межстраничные соединения, указание связи между информацией на разных листах (рис 8).

Рис. 8

Соединитель. Символ отображает вход в часть схемы и выход из другой части этой схемы. Используется для обрыва линии и продолжения её в другом месте (для избежания излишних пересечений или слишком длинных линий, а также, если схема состоит из нескольких страниц). Соответствующие соединительные символы должны иметь одинаковое (при том уникальное) обозначение (рис 9).

Рис. 9

2.3 Обзор блок-схем

Блок-схема - это графическое представление программы.

Блок-схемы строятся из отдельных блоков. При этом разные средства языков программирования на блок-схемах изображаются разными блоками. Например, для условия, на основе которого строится ветвление, изображается ромбом. Оператор, в котором происходит обработка информации, изображается прямоугольником. Давайте более подробно обсудим разные блоки.

Любая программа имеет начало и конец. На блок-схемах начало и конец программ обозначаются прямоугольниками со скруглёнными углами. Внутри этих прямоугольников пишутся слова: "Начало", "Конец".

В блок-схемах выделяют два вида операторов: операторы обработки данных и операторы ввода/вывода.

Блок обработки данных изображается прямоугольником. В операторе обработки данных происходят различные вычисления (сложение, вычитание, деление, умножение чисел). Давайте посмотрим на простую программу с тремя операторами: (блок схема #1)

Рис. 10

Как видим, блоки соединяются линиями со стрелочками. Стрелочками указывается последовательность выполнения блоков.

Второй вид операторов в блок-схемах - блоки ввода/вывода данных. Они обозначаются как четырёхугольники со скошенными боковыми сторонами. В таких блоках происходит ввод/вывод данных: печать данных на экран, получение координат курсора мыши, получение клавиш клавиатуры, на которые нажал пользователь: (блок схема #2).

Рис. 11

На двух предыдущих картинках мы видим последовательное выполнение операторов. Теперь давайте посмотрим, как в блок-схемах отображаются ветвления. Для построения ветвлений в блок-схемах используется блок условия, который обозначается ромбом: (блок схема #3).

Рис. 12

Если условие, записанное в ромбе, выполняется, то выполняется код по линии "да", а если не выполняется, то выполняется ветка "нет".

В прошлом уроке мы видели примеры ветвлений, в которых было больше двух ветвей. Чтобы реализовать такие ветвления с помощью блоков условий, нужно использовать вложение этих блоков друг в друга.

Также возможно построение ветвлений с одной ветвью. В блок-схемах это будет выглядеть вот так: (блок схема #4).

Рис. 13

Обратите внимание, что линии не обязательно рисовать слева и справа от блока условия, можно и снизу. При этом из блока ветвления должно выходить только две ветви: одна, которая удовлетворяет условию, другая, которая не удовлетворяет условию.

На этой же картинке я показал ещё пару новых вещей: троеточия и окружности.

Троеточие используется, чтобы показать, что в этом месте пропущено несколько операторов.

Окружность говорит, что это продолжение кода, который был начат в другом месте, или, что код будет продолжен в другом месте. Окружности особенно полезны, когда рисуешь блок-схемы на бумаге. С помощью окружностей можно разрывать код, если программа не входит на одну страницу.

Если нужно разорвать код с несколькими ветвями, то окружности нумеруются.

Для обозначения циклов в блок-схемах используется следующий блок: (блок схема #5).