Статья: Математическая ошибка, которая исказила физику

Математическая ошибка, которая исказила физику

Мария Корнева, Виктор Кулигин (http://n-t.ru/ac/iga/)

Аннотация. Статья написана по материалам книги «Анализ классической электродинамики и теории относительности». В ней рассматривается проблема единственности решения и связанные с ней математические ошибки в физических теориях. Рассмотрены вопросы обоснования мгновенных взаимодействий. Показано различие между вектором Умова и вектором Пойнтинга. Высказывется скепитическое отношение к будущим экспериментам на БАК.

Рано или поздно любая теория сталкивается с противоречиями. Это могут быть внутренние противоречия, приводящие к нарушению логики, противоречия из-за несовместимости анализируемой теории со смежными теориями, несоответствие теории экспериментальным результатам и т.д. Чтобы разрешить эти противоречия часто бывает недостаточно собрать найденные противоречия «в кучу» и, объявив теорию несостоятельной, выдвинуть свою гипотезу. Задача исследователя иногда подобна работе следователя: найти ту единственную ошибку (или несколько), начиная с которой физика «сбилась с пути истинного».

Математические ошибки случаются редко. Но если они есть, некорректные следствия нарастают как снежный ком (тиражируются). В результате исправления ошибки математический формализм сохраняется, и возникает новое непротиворечивое объяснение, не требующее специальных гипотез.

Такая ошибка была обнаружена. Ниже мы покажем её, излагая материал в популярной форме, по возможности без формул и в форме, доступной для широкого круга читателей. Тех, кто заинтересуется подробностями, мы отсылаем к книге [1], по материалам которой написана статья.

1. Потенциалы: запаздывающие и (или) мгновенно действующие?

Покажем суть проблемы на примере. Рассмотрим заряженную частицу, которая покоится в начале координат. В момент времени t₁ частица начала движение и остановилась в точке x₂ в момент времени t₂. До начала движения линии равного потенциала представляли собой семейство сфер, имеющих общий центр, как показано на рис. 1

единственность решение математический ошибка

Рис. 1. Эквипотенциальные поверхности до начала движения (слева) и после остановки заряда (справа)

Поскольку потенциал заряда описывается неоднородным волновым уравнением, решение задачи выражается через запаздывающие потенциалы. Для небольших скоростей потенциал точечного заряда хорошо описывается потенциалами Лиенара-Виехерта [2] (параграф 63).

(1.1)

Запаздывающим этот потенциал называется потому, что при движении заряда он не меняется сразу (одновременно) во всем пространстве. Изменение потенциала происходит спустя некоторое время после изменения положения заряда. Это время зависит от расстояния между точкой наблюдения и зарядом и равно отношению этого расстояния к скорости света.

За счёт этого запаздывания изменения потенциала информация о перемещении заряда «записывается» в пространстве подобно тому, как звук записывается на движущейся магнитофонной ленте. Если время зафиксировать и просмотреть характер потенциала на различных расстояниях, можно восстановить всю историю движения заряда от момента «рождения» до наших дней. Это характерный признак запаздывающего потенциала.

Согласно всё той же книге [2] (параграф 38) потенциал движущегося заряда можно описать в виде

(1.2)

Хотя это выражение было получено с помощью преобразования Лоренца, оно также является решением того же неоднородного волнового уравнения. Его можно получить непосредственно, задав соответствующие начальные условия. На рис. 2 показано, какой вид имеют эквипотенциальные поверхности для трёх моментов времени: до начала движения заряда, во время движения и после остановки заряда в точке x₂.

Рис. 2. Эквипотенциальные поверхности до начала движения заряда (слева), во время движения и после остановки заряда (справа)

В отличие от запаздывающих потенциалов, рассмотренных выше, потенциал Лоренца имеет совершенно иной характер. Здесь нет никакого запаздывания. То, что сферические эквипотенциальные поверхности во время движения «деформировались» и приняли форму сплюснутых эллипсоидов вращения, не играет принципиальной роли. Эти изменения, обусловленные движением заряда, связаны с его скоростью и протекают мгновенно во всём пространстве, окружающем заряд. Потенциал движущегося заряда является мгновенно действующим (!) вопреки постулатам теории относительности. Требование «релятивистской ковариантности» не спасает теории от появления мгновенно действующих решений.

Возникает странная ситуация: задача определения потенциала движущегося заряда имеет два различных решения! Физика не может мириться с нарушениями единственности решений. Какой из них имеет место на самом деле?

2. Единственность решения

Релятивисты для «объяснения» различий в решениях обычно начинают манипулировать штрихованными и не штрихованными величинами, стремясь «доказать», что противоречия нет и оба решения равнозначны. Им не следует доверять.

Задача эта сугубо математическая, а потому обратимся к её математической постановке. Итак, для решения необходимо:

иметь неоднородное волновое уравнение;

задать определённые граничные условия;

задать начальные условия.

Только при этих условиях решение волнового уравнения существует и оно единственно (Ковалевская). Это решение определено для заданной (фиксированной) системы пространственных координат и времени.

Анализируя, можно утверждать, что различие решений может быть объяснено только одним обстоятельством. Каждое из решений удовлетворяет всем перечисленным выше условиям, кроме одного. Каждое из решений удовлетворяет своим начальным условиям. Других объяснений с математической точки зрения не существует. Итак, мы имеем два различных решения, каждое из которых удовлетворяет своим начальным условиям.

Отсюда следует простой вывод: решение волнового уравнения зависит от начальных условий. Ради такого тривиального вывода не стоило «городить огород», если бы не одно важное обстоятельство. Мы усилим вывод следующим дополнением:

«От начальных условий зависит функциональный характер решения (запаздывающие потенциалы (1.1) или же мгновенно действующие потенциалы (1.2)). Решения волнового уравнения, не являющиеся запаздывающими, мы назовём вырожденными (мгновенно действующими) решениями волнового уравнения».

Ошибка физиков заключается в том, что они «не заметили» существования вырожденных решений волнового уравнения. Они, видимо, ошибочно считали и считают до настоящего времени, что решения волнового уравнения всегда имеют только запаздывающий характер.

Отметим в качестве следствий, что мгновенный характер вырожденных решений противоречит постулатам Специальной теории относительности. В частности, релятивистская теория электромагнитного взаимодействия заряженных частиц между собой (физика плазмы, например) строится фактически на мгновенных взаимодействиях, а потому непоследовательна, поскольку противоречит постулатам СТО.

3. Мгновенное взаимодействие

Часто можно слышать возражение против взаимодействий мгновенного характера. Утверждают, что необходим посредник - среда, через которую эти взаимодействия распространяются. Но помимо «волновых» взаимодействий в физике существуют «контактные» взаимодействия. Примером может служить столкновение биллиардных шаров. При таком взаимодействии (соударении) имеет место «точечный» контакт. Нам представляется, что взаимодействия мгновенного характера тоже можно отнести к контактному типу.

Представьте себе, что с горки спускается платформа, и после разгона упруго ударяет другую, стоящую на ее пути. Такое соударение относится к «точечному» контактному типу. Теперь поместим между тележками упругую пружину. Если пружина обладает массой, то при ударе движущейся тележки по пружине вдоль пружины будет распространяться волна сжатия. Скорость этой волны будет зависеть от жёсткости и массы пружины.

Рис. 3. Столкновение тележек

Допустим теперь, что масса пружины равна нулю. В пределе скорость распространения волны от движущейся тележки к неподвижной и обратно будет бесконечной. Такое соударение уже не будет «точечным», поскольку тележки разделены пружиной. Однако взаимодействие сохранит свой контактный характер. Такое взаимодействие мы назвали контактным взаимодействием объёмного типа.

Теперь можно рассмотреть случай взаимодействия электрических или гравитационных зарядов. Здесь возможны два варианта объяснения. Они зависят от того, где по нашему предположению сосредоточена электромагнитная масса. Электромагнитная масса определяется двояко

Согласно первому подходу энергия и электромагнитная масса распределены в поле, окружающем заряд. Плотность энергии взаимодействия двух зарядов равна w = (grad₁drad₂). Это означает, что взаимодействие зарядов выражается через контактное взаимодействие полей этих зарядов в каждой точке пространства. В каждой такой точке имеет место точечное взаимодействие. Совокупность всех взаимодействий образует объёмное взаимодействие контактного типа.

Согласно второму подходу, который поддерживается нами, электромагнитная масса сосредоточена в самом заряде. Как следствие, электрическое поле, окружающее заряд, не имеет инерциальных свойств подобно безынерциальной пружине, рассмотренной ранее. Аналог этого поля - силовые линии, которые обладают упругими свойствами. Они определяют контактный характер взаимодействия.

Здесь необходимо сделать ряд замечаний, относящихся к теориям, опирающимся на эфир, как переносчик взаимодействий. «Эфирные» гипотезы имеют ряд положений, делающих эти теории «нефизическими».

– Во-первых, эфир требует существования абсолютной системы отсчёта.

– Во-вторых, необходимо гипотетически задать параметры этой эфирной среды и экспериментально подтвердить эти параметры и правомерность самой эфирной гипотезы.

– В-третьих, теории эфира не учитывают, что взаимодействие волны и частицы имеет диссипативный характер. Последнее означает, что энергия волны при взаимодействии частично рассеивается. Это приводит к нарушению принципа равенства действия противодействию при взаимодействии материальных тел (как показал ещё В. Ритц) и к необходимости ревизии ньютоновской механики и её положений.

4. Вектор Умова, вектор Пойнтинга или вектор Умова-Пойнтинга?

То, что волновое уравнение даёт решения волнового типа (запаздывающие и опережающие потенциалы) и вырожденные решения (мгновенное действие) позволяет объяснить различие между векторами Умова и Пойнтинга. Эти вектора непосредственно связаны с упомянутыми видами решений, имеющих различную функциональную структуру. Вектор Умова, как и вектор Пойнтинга удовлетворяют в свободном пространстве одному и тому же уравнению непрерывности

(4.1)

Однако физическое содержание вектора S в законах Умова и Пойнтинга различно. Дадим качественное объяснение их физического содержания.

Вектор Умова (1874). Для объяснения содержания закона сохранения Умова воспользуемся аналогией. Рассмотрим сосуд, из которого вытекает жидкость. Уровень жидкости связан с потенциальной энергией жидкости в поле тяготения земли. Следовательно, средняя плотность энергии w будет равна отношению полной энергии к объёму, в котором она заключена. Поскольку из сосуда вытекает жидкость, возникает поток жидкости. Понижение уровня жидкости в сосуде (и, соответственно, уменьшение потенциальной энергии) прямо связано с величиной этого потока.

Потенциальная энергия, запасённая в сосуде, при прохождении струёй жидкости отверстия преобразуется в кинетическую энергию вытекающего потока. При этом плотность потока энергии (отношение потока энергии к поперечному сечению отверстия) будет равна S = wv. Как видно из выражения плотность потока пропорциональна скорости «вытекания» плотности потока энергии. Скорость истекания может быть различной. Вектор Умова S описывает конвективный перенос энергии из одной точки пространства в другую. Подобный поток характерен для переноса энергии полем движущегося заряда и отвечает вырожденному решению волнового уравнения.

Вектор Пойнтинга (1884). Сформулировав свой закон, Умов указывал на его универсальную форму и возможность использования этого закона для волновых процессов. Однако идея Умова нашла свое воплощение много позже. Пойнтинг, комбинируя выражения из уравнений Максвелла, установил закон, который имел тот же вид (4.1). Именно из-за совпадения формы законов возникла путаница. Чтобы показать отличие вектора Пойнтинга от вектора Умова, расшифруем содержание вектора Пойнтинга. Плотность потока (вектор Пойнтинга) равна: S = wc, где w - плотность энергии электромагнитной волны, выраженная через поля волны Е и Н, а c - скорость распространения волны. Обратите внимание, что скорость переноса энергии вектором Пойнтинга всегда постоянна и равна характеристической скорости распространения электромагнитной волны в пространстве.