Статья: Математическая обработка статистических данных при пассивном эксперименте

Рассмотрим учет влияния эффекта взаимодействия показателей для неосушенной залежи у выше приведенной выборки. Методами многомерного статистического анализа проведем оценку влияния на Е^* вектор-строки следующих физико-механических характеристик и параметров торфяного основания и насыпи с учетом эффекта их взаимодействия:

X = [P, H, W₀, R, P (a/H), PW₀, PR].

Значение парных коэффициентов корреляции модуля Е^* с каждым из аргументов колебались по абсолютной величине от r = 0,745 для Р до r = - 0,362 для W₀, что превышает по абсолютной величине порог достоверного минимального коэффициента корреляции (r = 0,168) для объема выборки N = 137 при 5% уровне значимости.

Построение модели в виде линейного уравнения множественной регрессии методами обычного множественного анализа показало следующее (см. табл.1). С 5% уровнем значимости по t-критерию Стьюдента только коэффициент регрессии при Р оказался значимым, при достоверном значении множественного коэффициента корреляции. Это, по-видимому, возникло из-за смещения в оценке коэффициентов регрессии вследствие сильной коррелированности входных переменных (так, например, между W0 и R коэффициент корреляции - rW0 R = - 0,615). В подобных случаях учет коллинеарности возможен в регрессионном анализе на главных компонентах [8], в результате которого получены следующие данные.

В результате компонентного анализа на ПЭВМ получена матрица коэффициентов корреляции показателей с главными компонентами и дисперсии, приходящиеся на каждую из них (таблица 4).

Таблица 4. Коэффициенты корреляции показателей неосушенной торфяной залежи с главными компонентами (в тысячных долях)

Анализ таблицы 4 показывает, что первые четыре компоненты выделяют 96,6% от общей дисперсии признаков.

Первая компонента является генеральной, но преобладающее влияние на нее оказывает удельная нагрузка и её взаимодействие со степенью разложения, остальные компоненты - общие групповые. Вторую компоненту образуют физико-механические характеристики залежи (W0,R) и их взаимодействие с нагрузкой Р, третью - геометрия болота (Н) и взаимодействие ее с нагрузкой (P (a / H)), четвертая - физико-механические характеристики залежи (W0,R).

На основе статистических критериев установлено, что только первые четыре главных компоненты оказывают достоверное влияние на Е*, а остальные не подлежат учёту.

Уравнение регрессии по главным компонентам для Е* (кПа) имеет вид (RMH = 0,833; sR =0,027):

Е* - 134 = (21,2 К_I - 4,34 К_II +4,97 К_III - 8,19 К_IV) 10 - ² + t 27,4,

где КI, КII, КIII, КIV - главные компоненты, которые при значимых коэффициентах корреляции показателей с компонентами определяются по уравнениям:

К_I = 2,011 (P - 64,1) + 18,9 (H - 3,0) - 6,8 (W_{0 -} 7,4) + 3,2 (R - 30) +

+ 0,28 (P (a / H) - 200) + 0,147 (P W_{0 -} 469) + 0,047 (P R - 1980);

К_{I I} = 0,730 (P - 64,1) + 28,6 (W₀ - 7,4) - 4,84 (R - 30) +

+ 0.231 (P W_{0 -} 469) - 0,015 (P R - 1980);

К_{I I I} = 53,0 (H - 3,0) - 0,477 (P (a / H) - 200); К_{I V} = 26,6 (W_{0 -} 7,4) + 6,25 (R - 30).

Таким образом, применение регрессионного анализа на главных компонентах показало достоверное влияние всех рассматриваемых показателей на изменение модуля деформации Е*. В этом случае также оказалось возможным статистически обосновано учесть влияние линейных взаимодействий параметров. Через главные компоненты можно установить постоянство влияния показателей на изменение Е*. Так естественная влажность через все значимые компоненты уменьшает значение Е*, а глубина болота Н - увеличивает. Остальные показатели оказывают двойственное влияние, через одни компоненты уменьшая, а через другие увеличивая Е*. В работе [2] осуществлялось построение статистических моделей для механических характеристик мерзлого торфа. Учитывая взаимокоррелированность ряда параметров, рассматривалось влияние на величину эквивалентного сцепления С_Э вектор-строки Х = [|И|, ln (t), W0, g_с, a]: И - значение отрицательной температуры (^оС); t - время действия нагрузки (сек); W0 - влагосодержание (г/г); g_с, - удельный вес сухого вещества торфа (кН/м³); a - угол между направлением действия нагрузки направлением слоистости торфа (градус);). На основе классического регрессионного анализа получены зависимости С_Э=f (И, ln (t), Wo, g_с, a). Незначимым оказался коэффициент регрессии при Wo.

Применение регрессионного анализа на главных компонентах показало достоверное влияние всех рассматриваемых показателей на изменение величины эквивалентного сцепления С_Э, при значимости всех пяти главных компонент. Генеральными являются первая, четвертая и пятая главные компоненты. Первая и четвертая компонента характеризуют преобладающее влияние времени действия и свойств торфа (t, g_с), пятая - условия испытаний (И, a), вторая - температурный режим и свойства торфа (И, g_с), третья - физическое состояние системы (Wo, g_с).

Анализируя влияние параметров на величину С_Э через главные компоненты, можно заметить, что только воздействие температуры является постоянным, т.е. понижение температуры всегда увеличивает прочность мерзлого торфа, а остальные показатели оказывают двойственное влияние.

Одним из достоинств регрессионного анализа на главных компонентах является возможность “безболезненного” выброса незначимых членов уравнения модели, так как это в итоге не отражается на изменении других коэффициентов регрессии.

Для построения обычных линейных регрессионных моделей могут быть применены средства анализа данных Microsoft Excel, а моделей основанных на методе главных компонент - программный комплекс "STATISTIKA".

Анализ проведенных расчетов показывает, что при пассивном эксперименте регрессионные модели, полученные методом главных компонент, учитывают влияние большинства факторов и может быть выявлен главный параметр.

регрессионный анализ статистический пассивный

В результате может быть предложена следующая последовательность выявления статистической зависимости:

– методом главных компонент по исходным данным определяют главный параметр;

– находят регрессионную зависимость от этого параметра;

– составляют остаточную выборку исходных данных (без учета влияния главного фактора); - вновь применяют метод главных компонент с новой вектор-строкой.

Применение регрессионного анализа на главных компонентах позволяет выбрать основной показатель при постоянстве его воздействия на параметр функции, а также с большей достоверностью получать регрессионные модели по его оценке в природных условиях

Список литературы

1. Андрукович П.Ф. Применение метода главных компонент в практике исследований. М.: 1973.123с.

2. Галкин Н.Н. Комплексная оценка прочностных и деформационных свойств мерзлого торфа с учетом его физического состояния: автореф. дис. … канд. техн. наук. Калинин, 1987.21с.

3. Дубров А.М. Обработка статистических данных методом главных компонент. М.: Статистика, 1978.136с.

4. Ивкина Т.Н., Королев А.С. Оценка прочности торфяных грунтов методом главных компонент // В кн.: Вопросы промышленного транспорта. Калинин: 1974. С.76-86.

5. Королев А.С., Федоров Б.А. Оценка деформационных свойств торфяных залежей по результатам натурных обследований насыпи на болотах. // В кн.: Технология, комплексная механизация и автоматизация торфяного производства. Калинин: КГУ. 1981. С.69-74.

6. 6. Крамбейн, У., Грейбилл, Ф. Статистические модели в геологии. Перевод с англ. М.: Мир. 1969.397 с.

7. Миронов В.А., Федоров Б.А. Оценка модуля общей деформации торфяных залежей на основе метода главных компонент // Торфяная отрасль России на рубеже XXI века: проблемы и перспективы: Материалы международной научно-практической конференции. ТГТУ. Тверь: 1999. Часть 1. С.144-147.

8. Петерсен И. Применение метода главных компонент для описания технологических процессов с коррелированными входными параметрами. // Известия АН СССР, т. XIV. Серия физмат. и техн. Наук. № 4.1965.

9. Федоров Б.А. Вероятностная оценка закономерностей уплотнения торфа для проектирования дорог на торфяных месторождениях: автореф. дис. … канд. техн. наук. Калинин, 1986.18 с.

10. Федоров, Б.А. Расчет объема земляных работ при безвыторфовочном проектировании насыпей дорог на болотах [Текст] / Б.А. Федоров // Вестник Тверского Государственного Технического Университета. Вып.2 (28). Тверь: ТвГТУ, 2015. С.22-25.

11. Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями. М.: Иностранная литература. 1969.395с.

12. Харисова А.Ф., Бакуменко Л.П. Применение метода главных компонент для анализа производственных показателей на предприятиях // Экономка и менеджмент инновационных технологий. 2017. №2 (65). С.58-64.