Поиск ответа на вопрос можно было бы начать с доливания 1 литра воды к имеющимся 3 литрам воды. Рассмотрим процесс переливания воды в таблице 2, б.
Табл. 1, а
|
Переливание |
5 л |
3 л |
|
|
1-е - |
5 |
0 |
|
|
2-е - |
2 |
3 |
|
|
3-е - |
2 |
0 |
|
|
4-е - |
0 |
2 |
|
|
5-е - |
5 |
2 |
|
|
6-е - |
4 |
3 |
|
|
Переливание |
5 л |
3 л |
|
|
1-е - |
0 |
3 |
|
|
2-е - |
3 |
0 |
|
|
3-е - |
3 |
3 |
|
|
4-е - |
5 |
1 |
|
|
5-е - |
0 |
1 |
|
|
6-е - |
1 |
0 |
|
|
7-е - |
1 |
3 |
|
|
8-е - |
4 |
0 |
Задачи на взвешивания
В задачах из этой группы за минимальной количество взвешиваний требуется:
1) среди имеющихся деталей определить фальшивую, обычно она отличается от настоящих по массе;
2) расположить предметы по массе в порядке убывания/возрастания;
3) выразить массу одних предметов через массу других предметов
По условиям задачи можно пользоваться только простыми двухчашечными весами, обычно без гирь. Такие весы позволяют установить какой предмет из сравниваемых тяжелее.
Пример 6. Из 80 одинаковых по внешнему виду монет, одна фальшивая. Как четырьмя взвешиваниями на простейших двухчашечных весах определить фальшивую монету? [3, с. 23]
Решение. Поиск ответа на требование задачи оформим в виде блоксхемы (рис. 3).
Также с помощью рассуждений можно распределить предметы в порядке убывания/возрастания массы.
Пример 7. Пять разных по массе предметов необходимо разложить по массе в порядке убывания. Можно использовать простейшие двухчашечные весы без гирь. Как нужно действовать, чтобы количество взвешиваний было минимальным?
Решение. Обозначим предметы и их массы следующим образом: А, В, С, D, Е. После первого и второго взвешивания установим, что А<В и D<Е. В третьем взвешивании сравним предметы В и Е (обои ситуации аналогичны, поэтому рассмотрим ситуацию, когда В<Е). Таким образом, получаем А<В<Е и D<Е. После четвертого взвешивания решение разделяется на два случая: В<С; С<В. Случай первый А<В<Е, D<Е, В<С. Сейчас сравним С и Е. Возможны два варианта: Е<C; С<Е.
а) В случае, когда А<B<E<С, взвешиваем В и D, а затем, если D<В, взвешиваем А и D. Таким образом, для полного сравнивания предметов в этом случае необходимо семь взвешиваний.
б) В случае, когда А<B<С<Е, взвешиваем С и D для определения места D. Если D<С, то взвешивания завершены. А если же D<С, то сначала взвешиваем D и В, а затем, если понадобится (когда D<В), взвешиваем D и А. Таким образом, опять получается семь взвешиваний. К такому же ответу приходим когда С<В.
Задачи на переправы
Задачи этой группы характеризуются тем, что определенной группе людей или человеку с животными, или человеку с грузом необходимо переправиться с одного берега на другой в каких-либо затруднительных обстоятельствах. Затруднительными обстоятельствами может быть одна лодка, либо определенные характерные черты животных, груза.
Пример 8. Семья, состоящая из мужа, жены и двоих детей, должна переправиться на другой берег при помощи лодки. Жена и муж весят по 100 кг, а дети - по 50 кг. Каким образом им переправиться на другой берег, если лодка выдерживает груз в 100 кг и каждый член семьи умеет грести? [3, с. 23]
Решение. Изначально на другой берег плывут двое детей. Затем один возвращается обратно, а другой остается. Потом на другой берег плывет мать. После чего плывет второй ребенок. Теперь снова плывут двое детей и один из них возвращается обратно. Затем плывет отец, а после него ребенок. И наконец, оба ребенка возвращаются на другой берег.
В примере 8 затруднительным обстоятельством послужила лодка, выдерживающая груз лишь в 100 кг.
Пример 9. Трое мужчин и три женщины должны переправиться через реку. У них есть одна лодка, вмещающая в себя только двоих человек. Грести умели все мужчины и только одна женщина, при чем женщины требовали, чтобы на берегу оставалось мужчин не меньше чем женщин. Каким образом им переправиться через реку?
Решение. Ведем обозначения: мужчин обозначим через - М1, М2, М3, а женщин - Ж1, Ж2, Ж3, пусть Ж3 умеет грести. Первыми переплавляются М3 и Ж2. Обратно возвращается М3. Затем плывут Ж1 и Ж3, обратно возвращается
Ж3. Плывут М2 и М3, а обратно возвращаются М3 и Ж1. Потом плывут М3 и Ж3, а обратно возвращаются Ж2 и М2. После них плывут М2 и М1, а возвращается Ж3. Затем плывут Ж2 и Ж3, а возвращается обратно Ж3. И в
конце плывут Ж1 и Ж3.
В рассмотренном примере затруднительными обстоятельствами являлась вместимость лодки - только два человека и особенности пассажиров: требование женщин, чтобы на берегу было мужчин не меньше чем женщин.
Задачи на разъезды
В задачах из этой группы рассматриваются ситуации, когда в стесненных обстоятельствах некоторой группе транспортных средств необходимо разъехаться, совершить какой-либо маневр, для дальнейшего продолжения пути.
В примере 10 будет рассмотрено движение пароходов по каналу, стесненными обстоятельствами будет являться ширина канала в один пароход.
Пример 10. По каналу друг за другом идут три парохода: «Олег»,
«Владимир» и «Петр».Навстречу им идут еще три парохода: «Мария», «Екатерина» и «Россия». Канал такой ширины, что два парохода в нем разъехаться не могут, но с одной стороны в канале есть карман, в котором может разместиться один пароход. Могут и пароходы разъехаться так, чтобы продолжить свой путь без изменений? [3, с. 23]
Пароходы «Владимир» и «Петр» отходят назад (направо), а «Олег» входят в залив; «Мария», «Екатерина» и «Россия» проходят по каналу мимо «Олега»; после этого «Олег» выходит з залива и идет по своему прежнему пути - влево. «Россия», «Екатерина» и «Мария» встают на прежнее место (налево), тогда с «Владимиром» делают все то же самое, что делалось с «Олегом». Аналогично проходит маневр с «Петром», после чего пароходы плывут прежней дорогой. Ответ на вопрос задачи положительный, да пароходы могут разъехаться так, чтобы продолжить свой путь без изменений. Задачи на дележи
В задачах из этой группы необходимо без подручных средств разделить имеющиеся предметы между несколькими личностями так, чтобы все были довольны.
В примере 11 будет описана ситуация, когда трем личностям необходимо будет разделить разнородные предметы поровну.
Пример 11. Три пирата хотят разделить добычу. Каждый из них уверен, что сможет поделить предметы поровну, а остальные пираты ему не доверяют. Если бы пиратов было двое, то разрешить проблему можно было легко: один разделил бы добычу на две части, а второй взял бы себе ту часть, которая ему кажется большей. Как должны поступить пираты, чтобы каждый был уверен в том, что он получил 1/3 части от всей добычи. (Добыча настолько разнообразна, что объективного способа сравнения отдельных предметов не существует).
Решение. Пусть один из пиратов разделит добычу на три части, а два остальных выберут ту часть, которая им кажется большей. Если они выберут разные части, то пират, который делил добычу просто заберет себе оставшуюся часть и задача будет решена. Если два пирата выберут одну и ту же часть, то третий пират выберет себе одну из двух оставшихся частей, а потом двое других поделят оставшиеся две части как было сказано в условии задачи.
Задачи на движение
Обычно в задачах из этой группы говорится о равномерном прямолинейном движении, в которых задаются следующие параметры: путь
(S), скорость движения (v) и время движения (t).
Пример 12. Высота столба 20 метров. Днем муравей ползет по нему вверх и проходит путь равный 5 метрам, а ночью спускается на 4 метра. За сколько дней муравей достигнет вершины столба? [1, с. 23]
Решение. За первые 15 суток, с учетом того, что каждую ночь муравей сползает на 4 метра, он поднимется на 15 метров вверх. За 16 день муравей проползет вверх еще 5 метров и достигнет вершины столба.
Задачи, решаемые с помощью логических уравнений
Зная основные обозначения и правила, познакомимся с еще одним способом решения текстовых задач, а именно с помощью логических уравнений.
Сначала каждую задачу будем решать рассуждениями, не применяя символов алгебры логики, а потом рассмотрим способ решения с помощью логических уравнений, но чтобы их решать познакомимся с рядом основных правил.
1. Уравнения из системы уравнений можно почленно перемножать.
2. Если левая часть уравнения -- многочлен, а правая -- 1, то по крайней мере одно слагаемое равно 1, то есть истинно.
3. Если сумма нескольких высказываний равна 0, то все высказывания ложны.
4. Знак + обозначает слово «или», следовательно, высказывания, которые записываются «верно или то, или другое», обозначаются суммой, приравненной к 1.
5. Знак * обозначает слово «и», следовательно, высказывания, которые записываются «имеет место и А, и В, и С», и так далее, обозначаются произведением, приравненым к 1.
6. Если АВС...=1, то все высказывания истины и А=1, и В=1, и С=1...
7. Если АВС...=0, то хотя бы одно из высказываний А, В, С... ложно.
8. Для каждого высказывания а, существует его отрицание а. Если а
-- истинно, то а -- ложно, а если а -- ложно, то а -- истинно. а+а=1, аа=0
9. а+а+а+...+а=na=a, где n -- натуральное число а*а*а*...*а=an=а, где n -- натуральное число.
10. Если в уравнении, приравненном к 1, есть слагаемые равные 0, то их можно отбросить. [6, с. 23]
Пользуясь этими десятью правилами можно переходить к решению логических задач.
Пример 13. Четыре спортсменки: Марина (M), Настя (N), Оксана (О) и Пелагея (Р) участвовали в соревнованиях и заняли первые четыре места. Когда у них спросили кто из них занял какое место, девочки дали разные ответы:
1) Оксана была вторая, Пелагея -- третья;
2) Оксана была первая, Настя -- вторая;
3) Марина была вторая, Пелагея -- четвертая.
В данных ответах какая -- то часть истина, а какая -- то ложна.
Какие места заняли спортсменки? [8, с. 23]
Решение. Можно составить все возможные перестановки из четырех букв Р, О, М, N. Р!(4)=24. Затем необходимо сравнить эти перестановки с каждым из трех условий задачи и найти ту перестановку, которая удовлетворяла бы всем условиям, то есть одна часть условия совпадала, а вторая нет. Чтобы все проверить потребуется 24*3=72 вариантов проверки.
Можно решать с помощью следующих рассуждений.
В каждом из вариантов ответов предположим верной либо правую, либо левую части.
Рассмотрим возможные предположения.
Допустим, что Оксана была второй -- верно. Тогда во втором ответе получается, что Оксана была первая это неверно, следовательно, Настя -- вторая. Пришли к противоречию, по нашему предположению Оксана заняла второе место, а из этого вытекло, что и Настя тоже заняла второе место, что невозможно. Предположение о том, что Оксана заняла второе место -- ложь, значит, Пелагея заняла третье место -- истина.
Если Пелагея заняла третье место, то из ответа 3 следует, что Пелагея -- четвертая -- ложь, следовательно, то что Марина заняла второе место -- истина. Во втором ответе сказано, что Настя заняла второе место -- это ложь, значит, то что Оксана заняла первое место -- истина. И остается, что Настя заняла четвертое место.
Теперь попробуем решить задачу с помощью логических уравнений.
Введем обозначения: Оксана была первая -- О', Марина была вторая -- М'', Настя не была первая -- N' (с чертой), Пелагея не была вторая -- P'' (с чертой) и так далее.
Начиная решать, невозможно точно сказать будет ли O''=1 или О''=0,
P'''=1 или P'''=0 по первому ответу.
Но по условию задачи одна часть ответа точно верна, следовательно,
О''+P'''=1.
Таким же образом составляем равенства из второго и третьего ответов:
O'+N''=1,
M''+P''''=1.
Мы получили три логических уравнения. Они должны удовлетворять условиям задачи одновременно, иными словами, мы получили систему уравнений:
О''+P'''=1,
O'+N''=1,
M''+P''''=1.
Обозначим ее (1).
Наша задача -- получить ответ, в котором говорится, что Оксана заняла такое-то место, и Настя заняла такое-то место, и Марина -- такое-то, и Пелагея -- такое-то. «И» обозначает умножение, значит, мы должны получить ответ в форме произведения букв О, М, N, P.