Материал: Линеаризованное кинетическое уравнение в приближении самосогласованного поля

В равновесной теории эта формула аппроксимировала F₂(R) в области R>2r₀, в которой ионы взаимодействовали по закону Кулона, а на расстояниях R<2r₀ эта функция равнялась нулю вследствие непроницаемости ионных остовов (рис.3.1.).

Рис.3.1. - Вид парных корреляционных функций в равновесной теории плазмы.

В нашей модели «желе» , и, рассчитывая по стандартным  формулам, например, среднюю энергию взаимодействия частиц друг с другом, получаем

 (2.32)

известный результат для равновесной нерелятивистской плазмы, который позволяет далее рассчитывать в приближении f <<F₀ все равновесные характеристики системы.

3.Примеры решения задач с помощью уравнения Власова

Задача 1

Для классического электронного газа, двигающегося на фоне положительного компенсирующего заряда, написать полную систему линеаризованных уравнений для функции f(t, r, v) совместно с уравнениями Максвелла.

Решение.

Так как плотности заряда ρ и тока j выражаются через нескомпенсированную плотность числа частиц как

(3.1)

 (3.2)

то, дополняя поле E силой Лоренца, имеем

 (3.3)

 (3.4)

 (3.5)

Чтобы написать эту систему относительно фурье-амплитуд, положим

 (3.6)

И выберем ось х так, чтобы k=(k,0,0), тогда (Н_kω)_z=0; ось z - так, чтобы Н_kω=(0,0,Н_kω), тогда (Н_kω)_z=0. Учитывая, что при переходе к фурье-представлению операция rot переходит в векторное произведение, получим в выбранной системе координат следующую систему уравнений:

 (3.7)

 (3.8)

 (3.9)

 (3.10)

 (3.11)

Задача 2

Получить из уравнений, выписанных в предыдущей задаче, уравнения, определяющие колебания вектора Е_х (продольные колебания электростатического вектора E ) и определить дисперсионную зависимость ω=ω(k) и затухание малых колебаний в системе. Решение.

Введем величину

 (3.12)

 (3.13)

 (3.14)

 (3.15)

Выразив величину  с помощью первого уравнения через  и исключив ее из второго, получим, сократив на амплитуду поля , уравнение,

 (3.16)

 (3.17)

решение которого в случае  имеет вид:

 (3.18)

Задача 3

С помощью уравнений задачи 2 исследовать поперечные колебания вектора Е и определить частоту ω=ω(k) и затухание этих колебаний .

Решение.

Введем величину

 , (3.19)

Умножая уравнение для  на  и интегрируя по  и , получим

 (3.20)

 (3.21)

Выразив величину из первого уравнения и подставив ее во второе, получим уже новое дисперсионное уравнение:

, (3.22)

Рассчитывая интеграл, получим чисто формально в случае малых значений вектора k;

 (3.23)

Однако формальный подход в данном случае приводит к превышению точности рассмотрения. Действительно, наша задача существенно нерелятивистская, а последнее слагаемое в правой части было получено при подстановке в максвелловскую экспоненту величины которая согласно полученному уравнению превышает скорость света с. Поэтому полученную формально мнимую часть интеграла необходимо просто опустить (в релятивистском варианте задачи она даже не возникает). Таким образом, для поперечных колебаний вектора Е в плазме имеем

 (3.24)

Заметим, что в пределе n = 0 (т. е. ω₀=0) мы получим из этой формулы  - закон дисперсии для поперечной электромагнитной волны в вакууме.

Заключение

классический уравнение линеаризованный газ

В данной курсовой работе была подробно исследована полная система линеаризованных уравнений в приближении самосогласованного поля для классического электронного газа, двигающегося на фоне положительного компенсирующего заряда.

В ходе работы был проведён математический анализ полной системы линеаризованных уравнений для классического электронного газа в приближении самосогласованного поля, двигающегося на фоне положительного компенсирующего заряда, совместно с уравнениями Максвелла.

В практической части были получены уравнения, определяющие продольные колебания вектора напряженности электрического поля, определена дисперсионная зависимость и затухание малых колебаний в системе.

Список использованной литературы

.        Квасников, И.А. Термодинамика и статистическая физика Т.3 (Теория неравновесных систем) [Текст] / И.А. Квасников // М.: Из-во «Едиториал УРСС». - 2003. - 448 с.

.        Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : В 10-ти т. : Учебное пособие для университетов. Т. II : Теория поля [Текст] / Л. В. Ландау, Е. М. Лифшиц, Под. ред. Л.П. Питаевского // М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2001. - 536 с.

.        Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: В 10-ти т. : Учебное пособие для университетов. Т. IV : Квантовая электродинамика[Текст] / Л. В. Ландау, Е. М. Лифшиц, В. Б. Берестецкий, Л. П. Питаевский // М. : ФИЗМАТЛИТ. - 2002. - 720 с.

.        Ферми, Э. Лекции по квантовой механике [Текст] / Э. Ферми; пер. с англ. под ред. Н. В. Мицкевича // Ижевск : Науч.-изд. центр "Регулярная и хаотическая динамика" - 2000. - 247 с

.        Иродов, И. Е. Квантовая физика. Основные законы : Учеб. пособие для вузов [Текст] / И. Е. Иродов // М.; СПб : Физматлит: Лаборатория Базовых Знаний. - 2001. - 272.

.        Физика квантовой информации: Квантовая криптография. Квантовая телепортация. Квантовые вычисления: Учеб. пособие для вузов [Текст] / Под ред. Д. Боумейстера, А. Экерта, А. Цайлингера; Пер. с англ. С.П. Кулика, Е.А. Шапиро // М. : ПОСТМАРКЕТ. - 2002. - 376с.

.        Гинзбург, В. О несостоятельности работ А.А. Власова по обобщенной теории плазмы и теории твердого тела [Текст] / В. Гинзбург, Л. Ландау, М. Леонтович, В. Фок // ЖЭТФ 3. - 1946. - 102с.

.        Больцман, Л. Лекции по теории газов [Текст] / Л. Больцман // М.Ж Гостехиздат. - 1956. - 234с.

.        Келлин, Н.С. Условно стационарные начально-краевые задачи в динамике реакторов [Текст] / Н. С. Келлин // М., ДАН СССР. - т. 293. - 1987. - 342с.

.        Веденяпин, В. В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова [Текст] / В. В. Веденяпин // М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2000. - 92с.

.        Козлов, В. В. Кинетическое уравнение Власова, динамика сплошных сред и турбулентность. Нелинейная динамика [Текст] / В. В. Козлов // Математический институт им. В. А. Стеклова РАН. - 2010. - Т6. - 425с.