Материал: Лекция от 22 апреля Операторный метод расчтета переходных процессов

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

6

Переход от изображения к оригиналам

При переходе от изображения F (p) к соответствующей функции време-

ни f (t) пользуются известным обратным преобразованием Лапласа:

где ла.

 

 

1

p j

 

f (t)

 

e pt F( p)dp , (**)

 

 

 

 

 

 

j2 p j

 

- вещественная константа, выбираемая из условия сходимости интегра-

Формула (**) представляет собой решение интегрального уравнения (*) относительно функции f (t). За путь интегрирования в формуле (**) может быть принята любая бесконечная прямая параллельная мнимой оси, располо-

женной на расстоянии

 

0

от этой оси.

 

 

 

+ jω

0

 

0

 

При практическом использовании формулы (**) интеграл по бесконечной прямой заменяют контурным интегралом, охватывающим все полюса функции F (p):

f (t)

1

F ( p) e

pt

dp

 

j2

 

 

 

 

 

,

т.е. когда

lim

F ( p)

p

 

0

.

Полюсами называют значения р, при которых функция F (p) обращается в бесконечность.

Если функция F (p) представлена рациональной дробью, числитель и

знаменатель которой выражены полиномами

F( p)

N ( p) M ( p)

, то полюсами яв-

ляются корни характеристического полинома М (р) = 0.

При расчете переходных процессов в цепях с сосредоточенными параметрами изображения F (p) представлены дробно-рациональными функциями с простыми полюсами и конечным пределом.

7

Известно, что вычет функции

N ( p)

e

pt

M ( p)

 

 

 

в простом полюсе равен:

m

N ( p )

 

p

t

f (t)

'

k

e

k

 

( p )

 

 

k 1 M

 

 

 

 

 

k

 

 

 

,

(***)

где pk - корни знаменателя характеристического полинома М (р), а суммирование идет по всем полюсам.

Вычетом функции в некотором полюсе называют величину, на которую уменьшается разделенный на j2 контурный интеграл от этой функции, ко-

гда контур при его стягивании пересекает этот полюс.

Полученная формула (***) носит название теоремы разложения Хеви-

сайда.

Выражение входящее в знаменатель формулы (***) можно представить в виде:

 

'

 

 

'

( p ) ,

 

M

( p ) M ( p ) p M

 

 

k

k

k

k

где

M ( p ) - полином не имеющий нулевых корней.

 

k

 

 

 

 

 

В этом случае уравнение (***)

приобретает вид:

f (t)

N (0)

m

M (0)

 

 

k 1

N ( p )

e

p

t

'

k

k

 

( p )

 

 

 

p M

 

 

 

k

k

 

 

 

 

 

 

 

,

(****)

здесь полином знаменателя имеет степень m, а полином числителя имеет степень не выше m.

Полученные формулы позволяют решать большое число практических задач.

Операторные сопротивление и проводимость

Уравнения любой электрической цепи записанные в операторной форме подобны уравнениям цепи синусоидального тока, записанным в символической

форме, при замене комплексных изображений переменных величин на соответ-

 

 

 

 

 

 

 

 

.

_

_

ствующие операторные изображения

U

U ( p) U

; I I ( p) I , а также

все множители jω заменить на р (jω → р).

 

 

 

Тогда сопротивление катушки индуктивности запишется как Lj Lp ,

а сопротивление конденсатора

1

 

 

1

.

 

Cj

Cp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соответственно операторная

проводимость

катушки индуктивности

1

 

1

, а проводимость конденсатора

Cj Cp .

 

 

Lj

 

 

 

 

Lp

 

 

 

 

 

 

8

Сказанное распространяется на аналогичные представления производных и интегралов:

d

 

dt

 

j

p

;

dt

1

 

j

 

1 p

.

Изображение напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе

Помня о том, что изображение производной равно:

 

 

d

f (t) pF( p) f (0)

,

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

можем записать

 

 

 

 

 

 

 

 

d

i pI( p) I

,

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

I i(0) -

значение тока до коммутации i(0 ) ,

или

i(0)

 

Тогда изображение на катушке индуктивности:

 

при t = 0.

L

d

i LpI( p) LI

dt

 

 

.

(*)

Если начальное значение тока в индуктивности на момент коммутации равно нулю i(0) = 0 (нулевые начальные условия), то

L dtd i LpI( p) .

Соотношение (*) можно объяснить следующим образом. Если на момент коммутации по катушке индуктивности протекал постоянный ток I, то этот ток будет эквивалентен току, который создал бы источник тока, включаемый параллельно катушке индуктивности в момент времени t = 0. При этом, ток в самой катушке индуктивности на момент включения считается равным нулю.

I

i

i − I uL

С учетом приведенной схемы можем записать:

9

uL Lpi Lp(i

Или

u

L

 

I ) Lpi Lp Ip uL Lpi LI .

( p) LpI( p) LI .

Таким образом, вводя параллельно катушкам индуктивности, соответствующие генераторы токов, можно рассматривать систему при нулевых начальных условиях. Полученный при этом ток i = i − I + I будет соответствовать току, протекающему по катушке исходной схемы.

Изображение напряжения на конденсаторе записывается следующим об-

разом:

1

t

idt

I ( p)

u

(0) U

 

( p)

I ( p)

u

 

 

 

 

(0)

,

C

Cp

 

Cp

0

 

C

 

C

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

u

(0)

E

.

p

C

 

 

Или относительно тока, получим:

I ( p) CpUC ( p) CE .

Такое же соотношение для преобразованного тока можно получить рассматривая схему состоящую из конденсатора и последовательно включенной ЭДС при нулевых начальных условиях.

i

C

E

 

 

uC

 

Здесь конденсатор С в момент t = 0

заряжен до значения ЭДС.

С учетом приведенной схемы можем записать:

uC Cp1 i E i CpuC CpE I ( p) CpUC ( p) Cp Ep

I ( p) CpUC ( p) CE .

Таким образом, схему содержащую конденсаторы, имеющие в начальный момент заряды отличные от нуля, можно заменить схемой, состоящей из конденсаторов с нулевыми начальными зарядами и включенных последовательно с ними источники соответствующих ЭДС.

10

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Пусть имеем последовательный контур RLC, подключаемый к источнику

ЭДС.

K R L

e (t)

i

C

 

В операторной форме уравнение цепи запишется в виде:

RI( p) LpI( p)

1

I ( p) E( p) (R Lp

1

)I ( p)

Cp

Cp

 

 

 

Или

 

 

 

 

 

 

Z( p) I( p) E( p) ,

 

 

где Z(p) – операторное сопротивление цепи. Относительно тока уравнение будет иметь вид:

E(

p)

.

I ( p)

E( p)

Z( p)

 

Это соотношение называется законом санное при нулевых начальных условиях.

.

Ома в операторной форме, запи-

Согласно первого закона Кирхгофа можем записать:

i(t) i (t) i

 

(t) .... i

(t)

1

2

 

 

n

 

 

 

 

 

После преобразования Лапласа получим:

 

 

I( p) I ( p) I

2

( p) .... In(

1

 

 

 

 

Или в общем виде:

I( p) 0 .

 

 

0 .

p) 0 .

Это соотношение носит название первого закона Кирхгофа.

Для любого замкнутого контура электрической цепи уравнение для мгновенных значений в операторной форме может быть записано в виде:

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)