Материал: Лекция от 22 апреля Операторный метод расчтета переходных процессов

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Тема ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

2. Операторный метод расчета переходных процессов

Операторный метод базируется на интегральном преобразовании функций вещественной (одной) переменной, позволяющей осуществлять замену операций дифференцирования и интегрирования над этими функциями, алгебраическими операциями над их интегральными преобразованиями.

Применение операторного метода имеет в электротехнике то преимущество, что позволяет создать аппарат расчета переходных процессов в различных электрических цепях на подобии символического метода.

Сущность операторного метода заключается в том, что некоторой заданной ограниченной однозначной функции f (t) вещественной переменной (в данном случае t), называемой оригиналом, удовлетворяющей условиям Дирихле на любом конечном промежутке времени и равной нулю при t < 0, сопоставляется другая функция F(p), называемая изображением.

Условие Дирихле на любом конечном промежутке функция f (t) должна быть или непрерывной или иметь конечное число разрывов непрерывности первого рода, а также иметь на этом промежутке конечное число максимумов и минимумов.

Пусть имеем некоторую функцию f (t) независимой переменной t и пусть дано комплексное число p j .

Преобразованной функцией по Лапласу или просто преобразованной функцией будем называть функцию F (p), определяемую соотношением:

		pt
	F( p) e	pt
	F( p) e
	0

(t)dt

(*)

Это соотношение представляет над функцией f (t) и обозначается:

F( p) L( f (t))

собой

или

прямое преобразование Лапласа

F( p) f (t) ,

где F(p) - изображение функции f (t). Это соответствие является взаимно однозначным.

Для того чтобы функция F(p) была определена, достаточно, чтобы интеграл (*) существовал для некоторой области значений p, за пределами которой интеграл не имеет смысла.

При вычислении интеграла полагают, что вещественная часть p - положительна 0 .

(t)

Рассмотрим	функцию от постоянной		величины, например, единицы
1.

F ( p) e pt (1)dt e ( j )tdt		1	e ( j )td ( ( j )t)
		1
0	0	j	0
0	0		0

1		( j )t	1
	e	\|0	j
j

Рассмотрим показательную функцию число.

f (t)

e	at	,

11 .

j p

где a - вещественное

( j a)t

F ( p) e

d ( ( j a)t)

j a

( j a)t

(0 1)

j a

p a

Интеграл существует при

0 .

При замене a на (−a)

получим:

( p a)t

F ( p) e

d ( ( p a)t)

p a

( p a)t

(0 1)

p a

Из основных свойств определенных интегралов вытекают два следствия для изображений:

1. Если известны

f (t) F ( p);		f	2	(t) F	( p); .....
1	1		2	2
					n

					1

;
f	k
	k

изображения нескольких функций

fn(t) Fn( p) , то
n
(t) F		( p) .
1	k
1

Таким образом изображение суммы функций соответствует сумме их изображений.

2. Если имеем постоянную величину A = const, то

			A		A			A
F( p) e pt Adt	A	e ptd( pt)		e pt \|		(0	1)		.
			p		p
0	p 0			0				p

Таким образом изображение постоянной величины, является сама эта величина, деленная на р.

Используя известные подстановки могут быть найдены изображения следующих функций:

f (t) 1 e

, тогда

F( p) e

(1 e

)dt e

dt e

p a

f (t) sin t ,

F( p)

Пусть задана функция

тогда

sin

Поскольку

sin t

e j t e j t

2 j

, то можем записать:

	a	.
	p( p a)	.
	p( p a)
	tdt .


	1			1				1		1	1
		e pt e j tdt			e pt e j tdt				(	1	1	)			.

										p j	p j
	2 j 0			2 j 0				2 j		p j	p j		p2	2
			sin t
Таким образом							.
Таким образом						p2 2	.

Пусть задана функция

	cos t	e	j t
Поскольку

f (t) cos t , тогда		F ( p)			pt
				e	pt


			0
e	j t
e	, то можем записать:
2	, то можем записать:
2

cos tdt

						1	1			p
1	e pt e j tdt	1	e pt e j tdt 1		(			)			.

						p j	p j
2	0	2	0	2					p2	2

Таким образом

cos t			p
		2		2
	p

Выполнив аналогичные операторные изображения:

sin t

cos t

преобразования можно получить следующие

e	at									;
e				2	a	2	)		2	;
		( p		2		2			2
		( p
e at					p a					.

			( p a)2					2
			( p a)2					2

Изображения многих других функций можно найти в справочниках.

Изображение производной и интеграла функции

Пусть требуется найти изображение первой производной

d dt

(t)

, если

известно, что значение функции f (t) при t = 0 равно f (0). Преобразованная по Лапласу функция запишется в виде:

	d		pt		pt
		f (t)e		dt e		d( f
	dt
0				0

Интегрирование производим по частям.

(t))

Обозначим

u ;

d( f (t)) dv .

Тогда

udv uv vdu .

f (t) d(e

Или

d( f (t)) e

f (t)|

) .

0 f (0),

f (t) d(e

Так как

f (t)|

) p

f (t)

то

f (t) e

pF( p) f (0)

или

f (t) pF( p)

e	pt	dt

f (0) .

pF(p),

Под f (0) подразумевается предел, к которому стремится функция f (t), когда t неограниченно убывает, оставаясь положительным.

Повторным применением операции, теорему о дифференцировании можно распространить на производные высших порядков:

d	2		f (t) p	2	F( p) pf (0)	d
							f (t)	;
		2
dt						dt	t 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d	n
		n	f
dt

где f '(0), .... , f n 1(0)

(t)

p	n	F( p) p	n 1	f (0)	p	n 2	f	'	(0) ..... f	n

производные соответствующих порядков,

1	,
(0)

взятые при

значении t = 0.

Если начальные значения функции и ее производные равны нулю, то:

dtd f (t) pF( p) ;

d	2		f (t) pF( p)

		2
dt

; . . . . . ;

d	n

dt		n

f (t)

p	n	F( p)

Таким образом операции дифференцирования оригинала соответствует операция умножения изображения на p.

Рассмотрим изображение интеграла. Пусть требуется найти изображение

функции

f (t)dt если известно, что изображение функции f (t) равно F(p).

Преобразованная по Лапласу функция

f (t)dt запишется в виде:

(

f (t)dt)e

(

f (t)dt)d(e

) .

Интегрирование осуществляем по частям.

) dv

Обозначив

f (t)dt u ;

d (e

можем записать:

f (t)dt

( f (t)dt)d (e

)

( f (t)dt) e

) e

| (

( f (t)dt) e

f (t)e

dt .

Поскольку первое слагаемое правой части при подстановке верхнего и нижнего пределов дает ноль, то:

t		1			pt
	f (t)dt			f (t)e		dt
		p
0			0

или

f (t)dt

F( p) p

Повторное применение операции, выраженной этой формулой, дает:

t		t		n	F ( p)
	; . . . . ;		f (t)(dt)				.
						n

0		0			p

Нулевые начальные условия учитываются в соответствующих выражениях для изображений.

Таким образом операции интегрирования оригиналов отвечает деление изображения на p.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)