Материал: Лекция 12

1

Евклидово пространство.

Матрица Грама скалярного произведения

Понятие n-мерного линейного пространства не в полной мере обобщает понятия плоскости или трехмерного евклидова пространства в n-мерном случае. Так, в частно-

сти, в n - мерном случае при n > 3 не определены ни длина вектора, ни угол между век-

торами. В связи с этим, становится невозможным развитие той богатой геометрической теории, знакомой нам для двух- и трехмерного пространства. Однако, эту ситуацию можно изменить.

Как известно из курса аналитической геометрии, на плоскости и в пространстве можно ввести понятие скалярного произведения векторов. Оно определяется с исполь-

зованием длин векторов и угла между ними. С другой стороны, мы знаем, что и угол между векторами, и длина вектора могут быть выражены через скалярное произведе-

ние. В связи с этим, имеет смысл определить скалярное произведение в любом n-

мерном линейном пространстве аксиоматически, с использованием некоторых свойств, которыми обладает скалярное умножение векторов на плоскости и в трехмер-

ном пространстве.

Рассмотрим линейное вещественное (или комплексное) пространство L . Наря-

ду с имеющимися в нем операциями сложения векторов и умножения вектора на число

(действительное или комплексное) введем еще одну внутреннюю алгебраическую опе-

рацию, являющуюся обобщением скалярного произведения геометрических векторов.

В основу определения этой операции положим свойства скалярного произведения гео-

метрических векторов, полученные в аналитической геометрии ранее.

Определения скалярного произведения в случае, когда L рассматривается над полем действительных чисел или над полем комплексных чисел отличаются друг от друга.

Определение 1. Будем говорить, что в действительном линейном пространст-

ве L определено скалярное произведение векторов, если

Каждой паре векторов x и y этого пространства поставим в соответствие ве-

щественное число, обозначаемое (x, y) так, что x, y, z L , R выполняются следующие аксиомы (аксиомы скалярного произведения):

I. (x, y) = ( y, x)

II. (x y, z) = (x, z) ( y, z)

2

III. ( x, y) (x, y)

IV. (x, x) 0 , причем (x, x) 0 x 0

Определение 2. Скалярное произведение (x, x) называется скалярным квад-

ратом вектора x и обозначается x2 : (x, x) x2

Укажем несколько важных свойств скалярного произведения векторов в веще-

ственном линейном пространстве, вытекающие из аксиом:

1R (x, y) (x, y) x, y L , R

2R (x, y z) (x, z) (x, z) x, y, z L , , , R 3R (0, y) (0 x, y) 0 (x, y) 0

Определение 3. Будем говорить, что в комплексном линейном пространстве L

определено скалярное произведение векторов, если

Каждой паре векторов x и y этого пространства поставим в соответствие

комплексное число, обозначаемое (x, y) так, что x, y, z L , С выполняются следующие аксиомы (аксиомы скалярного произведения):

I. (x, y) = ( y, x)

II. (x y, z) = (x, z) ( y, z)

III. ( x, y) (x, y)

IV. (x, x) 0 , причем (x, x) 0 x 0

Свойства скалярного произведения векторов в комплексном линейном про-

странстве:

1С (x, y) (x, y) x, y L , С

2С (x, y z) (x, z) (x, z) x, y, z L , , , С 3С (0, y) (0 x, y) 0 (x, y) 0

Докажем свойство 1С для скалярного произведения векторов в комплексном

Задание* Установить чему равны скалярные произведения, рассмотренные ни-

же. Обосновать вывод, пользуясь аксиомами для соответствующего линейного про-

странства.

3

4R ( x y, z) , x, y, z L , , , R 4С ( x y, z) , x, y, z L , , , С

Определение 4. Евклидовым пространством называется линейное веществен-

ное пространство, в котором задана операция скалярного ум-

ножения векторов.

Евклидово пространство принято обозначать E

Определение 5. Унитарным пространством называется комплексное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов.

Унитарное пространство принято обозначать U .

В частности n-мерное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение векторов, называется n-мерным евклидовым (или унитарным) про-

странством. Евклидово n-мерное пространство будем обозначать En (унитарное про-

странство - Un ).

Так как и евклидово, и унитарное пространства являются линейными простран-

ствами, то для них верно всё то, что было сказано об этих пространствах ранее. Но введение скалярного произведения позволяет ввести в этих пространствах метрику.

4

Теорема 1. При любом n в n-мерном линейном пространстве можно определить скалярное умножение, т.е. можно превратить его в евклидово про-

странство.

ПРИМЕРЫ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

Пример 1. Пусть C[a,b] – множество всех непрерывных на промежутке

[a,b] действительных функций. Как рассматривалось ранее, это множество является

линейным пространством. Определим скалярное произведение следующим образом.

рывных на промежутке [a,b] действительных функций ввести указанным способом скалярное произведение, то оно становится евклидовым пространством.

Пример 2. Пусть M 2 2[R] – множество квадратных матриц с действительны-

ми элементами. Как было показано ранее, оно является линейным пространством на

ления 1 выполняются. Множество M 2 2[R] стало евклидовым пространством.

Пример 3. Пусть M 2 2[C] – множество квадратных матриц с комплексными элементами. Это множество является линейным пространством на полем C . Опреде-

ления 3 выполняются. Получили пример унитарного пространства.

5

Пример 4. В n -мерном пространстве арифметических векторов Rn можно вве-

Пример 5. Пусть Pn[t] – множество всех многочленов с действительными ко-

эффициентами степени не выше n. Как рассматривалось ранее, это множество является линейным пространством. Определим скалярное произведение следующим образом.

всех многочленов с действительными коэффициентами степени не выше n ввести ука-

занным способом скалярное произведение, то оно становится евклидовым пространст-

вом.

Далее речь пойдет о евклидовых пространствах.

Из рассмотренных примеров видно, что в n-мерном линейном пространстве ска-

лярное умножением можно задать по-разному, превратив его в n-мерное евклидово пространство, что определяется выбором базиса.

МАТРИЦА ГРАМА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Пусть En - n –мерное евклидово пространство и пусть e {e1,e2,...,en} - базис

в нем. Так как в En для любой упорядоченной пары векторов определено их скаляр-

ное произведение, то определены скалярные произведения всех пар базисных векто-

ров. Составим из них матрицу