Материал: Лекция 10

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

																							6
											1		1		1
Матрица формы в старом базисе e
Матрица формы в старом базисе e								равна Ae 1					2		2	,
													2		7
											1		2		7
										1		0		0

Матрица формы в каноническом базисе: Af											0	1		0
											0	0		5
											0	0		5
Сделаем проверку:
				1		0 0 1 1		1 1		1		0			1 1		1 1		1	0	1		0 0
A	f	CT	A C		1	1 0	1 2	2	0	1 1						0 1 1		0 1		1		0	1 0
	f	e f	e e f
		e f					1 2													1
					0	1 1	1 2	7	0 0			1				0 0 5		0 0		1		0	0 5

Так как число слагаемых в каноническом виде равно трем, то ранг формы равен трем.

Так как канонический вид квадратичной формы содержит три слагаемых с положи-

тельными коэффициентами, то положительный индекс инерции равен трем: r ( f ) 3

Q z2 z2 z2
1	2	3
Пример 2.			Привести			к	каноническому			виду		квадратичную форму
f x2	8x2	4x2	4x x 4x x				12x x . Записать соответствующее преобразо-
1	2	3	1	2	1	3	2	3
вание координат. Определить ранг и индексы инерции формы.
Определить, какая поверхность определяется уравнением													f (x) 1
Решение.
								1		2	2

Выпишем матрицу квадратичной формы: Ae									2	8	6
									6	6	4
									6	6	4
Сгруппируем все слагаемые, содержащие неизвестное													x1 , и дополним их до
полного квадрата.

Q (x12 4x1x2 4x1x3 ) 8x22 4x32 12x2 x3

(x2	4x2	4x2	4x		2	4x2	4x x	2	4x x 8x x 8x x )
1	2	2		3		3	1	2	1	3	2	3	2	3

8x2	4x2	12x x
2	3		2	3

(x12 4x22 4x32 4x1x2 4x1x3 8x2 x3 ) 4x22 4x32 8x2 x3 8x22 4x32 12x2 x3

Приведем подобные слагаемые за скобкой и свернем скобку в полный квадрат:

Q(x1 2x2 2x3 )2 4x22 4x2 x3 .

!!!Обратите внимание: за скобкой нет слагаемых, содержащих неизвестное x1

Полный квадрат, содержащий неизвестное x1 , не изменяется. Среди оставшихся членов сгруппируем те, которые содержат неизвестное x2 , и дополним их до полного квадрата:

Q (x1 2x2 2x3 )2 (4x22 4x2 x3 x32 ) x32

(x1 2x2 2x3 )2 (2x2 x3 )2 x32

		Перейдем от неизвестных x1 ,													x2 , x3		к неизвестным y1 ,						y2 , y3			по формулам:
		y			x		2x				2x
				1		1				2		3
		y2							2x2 x3
		y									x
				3								3
Тогда получим канонический вид квадратичной формы:																						Q y2		y2		y2 . Заметим, что
																							1		2	3
форма приведена к нормальному виду.
Выполненное									преобразование						координат					можно			переписать в виде:
y		1 2					2 x					x	1		1		1 y
1										1		1			1		1		1
y2			0		2		1	x2				или x2		0	1	2	1	2	y2
																2		2
			0 0				1							0 0			1
y3			0 0				1	x3				x3		0 0			1		y3
x1 y1 y2 y3
				1					1
				1					1
x2						y2				y3
x2				2		y2			2	y3
				2					2
x										y
	3										3
													1		1		1
Матрица преобразования: Сe f															1		1
Матрица преобразования: Сe f														0	1	2	1	2
																2		2
														0	0		1
														0	0		1
																				1		2	2

Напомним, матрица формы в старом базисе равна Ae																					2	8	6		,
																					6	6	4
																					6	6	4

																					8
																	1		0	0

Матрица формы в каноническом базисе: Af																		0	1	0
																		0	0	1

Сделаем проверку:
							1			0			0			2 2 1		1		1
							1			0			0	1		2 2 1		1		1
		CT					1													1
A	f	CT	A C	e f			1		1				0		2	8 6	0	1		1
	f	e f	e	e f						2								2		2
		e f								2								2		2
							1	1					1		2	6 4	0 0			1
							1	1			2		1		2	6 4	0 0			1
											2
	1 2		2 1		1		1					1 0				0
					1		1
		0 2	1	0	1	2	1	2					0 1			0
						2		2
		0 0 1		0 0			1						0 0
		0 0 1		0 0			1						0 0			1

Так как число слагаемых в каноническом виде равно трем, то ранг равен трем.

Так как канонический вид квадратичной формы содержит два слагаемых с положи-

тельными коэффициентами и одно слагаемое с отрицательным коэффициентом, то по-

ложительный индекс инерции равен трем: r ( f ) 2 , а отрицательный индекс инерции r ( f ) 1. Сигнатура равна r ( f ) r ( f ) 1

Теперь посмотрим, какую поверхность IIго рода определяет уравнение

f (x) 1

Для удобства переобозначим координаты на привычные для геометрического представления:

y1 Xy2 Yy3 Z

	Тогда уравнение примет вид							X 2 Y 2 Z 2 1 - это уравнение определяет в
пространстве однополостный гиперболоид.
	Вопрос: Какая поверхность определялась уравнением из примера 1?
	Пример		3.	Исследовать				тип		поверхности, заданной уравнением
4x2	3	x2 2 x2 2x x				8x x 4x x				1 в зависимости от параметра .
	4
1		2	3	1	2	1	3	2	3

Решение.

Приведем квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа.

Сгруппируем все слагаемые, содержащие неизвестное x1 , и дополним их до полного квадрата.

4(x2					1	x x 2x x )									3	x2		2 x2		4x x
4(x2						x x 2x x )										x2		2 x2		4x x
	1			2		1	2		1			3		4			2		3	2	3
4(x2					1	x x				1	x2			1			x2	2x x x2			x2		1	x x		1	x x )
4(x2						x x					x2						x2	2x x x2			x2			x x			x x )
	1			2		1	2		16			2	16				2	1	3	3		3	2	2	3	2	2	3
	3

		x2		2 x2
								4x x
								4x x
	4		2				3		2			3

4(x	1	x	x )2	2x x 4x2			1	x2			3	x2	2 x2	4x x

1	4	2	3	2	3	3	4		2	4		2	3	2	3
4(x	1	x	x )2	4x2	x2	2 x2			2x x

1	4	2	3	3	2		3			2		3

4(x1 14 x2 x3 )2 (x22 2x2 x3 x32 ) 3x32 2 x32

4(x1 14 x2 x3 )2 (x2 x3 )2 (2 3)x32

Перейдем от неизвестных x1 , x2 , x3 к неизвестным X , Y , Z по формулам:

X x		1	x		x
X x			x	2	x
	1	4		2	3
		4
			x2 x3
Y			x2 x3
Z					x
					3

Тогда получим канонический вид квадратичной формы: 4X 2 Y 2 (2 3)Z 2						1 .

Заметим, что канонический вид зависит от способа приведения квадратичной формы к такому виду. Неизменными остаются характеристики квадратичной формы, а именно ранг – количество квадратов в каноническом виде, положительный индекс инерции – количество квадратов с плюсом, и отрицательный индекс инерции – количество квадратов с минусом.

Продолжим исследование типа поверхности в зависимости от характеристик формы.

1. Если (2 3) 0 , то обозначим (2 3) с2 и уравнение поверхности примет

вид

4X 2 Y 2 с2Z 2 1

это уравнение задаёт в пространстве двуполостный гиперболоид. 2. Если (2 3) 0 , то уравнение примет вид

4 X 2 Y 2 1

ибудет определять цилиндрическую поверхность (гиперболическую)

3.Если (2 3) 0 , то обозначим (2 3) с2 и уравнение поверхности примет

вид

4X 2 Y 2 с2Z 2 1

это уравнение задаёт в пространстве однополостный гиперболоид.

Задача полностью решена.

Пример 4. Привести к каноническому виду квадратичную форму

f 4x1x2 5x2 x3

Решение. Для того чтобы выделить полный квадрат, нужно чтобы квадрат пе-

ременной входил с ненулевым коэффициентом. Поэтому, когда в форме отсутствуют квадраты неизвестных, сначала выполним невырожденное линейное преобразование

x1 y1 y2				1	1	0
								1
	y1	y2	с матрицей С1	1	1		:	1
x2	y1	y2	с матрицей С1	1	1	0	:	X C1Y , откуда Y C1	X
		y3			0	1
x3		y3		0	0	1
Тогда

f 4( y y		2	)( y y		2	) 5( y y		2	) y 4 y2		4 y2	5y y 5y		2	y
1		2	1		2		1	2	3	1	2	1	3	2	3
Заметим, что матрица новой формы
	4		0	5
						2
B	0		4	5		2
	5				2
	5	2	5	0
		2	2

		Теперь коэффициент при y1																							отличен от нуля, и поэтому из нашей формы можно
выделить квадрат неизвестного																								y1 .		Сгруппируем все слагаемые,											содержащие неиз-
вестное y1 , и дополним их до полного квадрата:
f 4 y2					4 y2					5y y 5y										2	y				(4 y2			5y y ) 5y					2	y 4 y2
			1						2			1		3						2	3						1				1	3	2		3	2
								5						25			2								25			2
4 y2		2								y y						y	2				4						y	2	5y			y 4 y2
4 y2		2					2 4			y y						y					4						y		5y			y 4 y2
1							2 4				1 3			64		3									64 3							2 3	2
			5					2			25	y2						y 4 y2
4 y					y									5y
4 y					y									5y
1			8			3					16		3					2			3					2
				5					2				2						5								25			2
	4 y					y				4 y				2								y		y					y
	4 y					y				4 y				2								y		y					y
		1		8				3					2			2			4				2		3		64			3
				5					2						5				2
	4 y					y				4 y						y
	4 y					y				4 y						y
		1		8				3					2		8		3
		Перейдем от неизвестных y1 ,																								y2 ,			y3		к неизвестным z1 ,					z2 , z3	по формулам:

Если взять z2

x2 x3 , то получим нормальный вид квадратичной формы:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)