Материал: Лекция 10

1

Канонический и нормальный вид квадратичной формы

Определение 1. Две квадратичные формы называются конгруэнтными (экви-

валентными), если существует невырожденное линейное преобразование, переводящее одну из них в другую.

Определение 2. Рангом квадратичной формы называется ранг матрицы этой формы в каком-либо базисе. Обозначается rf или r( f )

Определение 3. Квадратичная форма называется вырожденной, если ее ранг меньше размерности пространства Ln , и невырожденной, если ее ранг равен размерности пространства Ln .

i 1

Матрица такой формы является диагональной.

Определение 5. Каноническая форма называется нормальной, если каждый ее коэффициент, отличный от нуля (т.е. aii ) , по абсолютной ве-

личине равен 1.

Определение 6. Каноническим видом данной квадратичной формы называется конгруэнтная ей (эквивалентная) каноническая форма, т.е.

форма, не содержащая смешанных произведений неизвест-

ных.

Нахождение по данной квадратичной форме конгруэнтной ей канонической квадратичной формы называется приведением квадратичной формы к каноническому виду.

Определение 7. Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид называют каноническим базисом.

Теорема 1. Основная теорема о квадратичных формах

Любая квадратичная форма, заданная в конечномерном пространст-

ве, с помощью невырожденного линейного преобразования коорди-

нат может быть приведена к каноническому виду

2

Теорема 2. Для любой вещественной квадратичной формы существует конгру-

энтная ей нормальная ей квадратичная форма.

Теорема 3. Ранг квадратичной формы сохраняется при любом невырожденном линейном преобразовании переменных.

n

Пусть квадратичная форма f (x) aij xi xj некоторым линейным преобразо-

i, j 1

n

ванием приведена к каноническому виду aii xi2

i 1

Теорема 4. Если квадратичная форма невырожденным линейным преобразова-

нием приведена к каноническому виду, то число отличных от нуля коэффициентов равно рангу r квадратичной формы.

В дальнейшем рассмотрим два способа приведения квадратичной формы к ка-

ноническому виду: метод Лагранжа и с помощью ортогонального преобразования.

Закон инерции квадратичных форм

Канонический вид, к которому приводится данная квадратичная форма, не явля-

ется для нее однозначно определенным: всякая квадратичная форма может быть при-

ведена к каноническому виду многими различными способами.

Тогда возникает вопрос, что общего у тех различных квадратичных форм, к ко-

торым приводится данная форма f? Этот вопрос связан с другим очень важным вопро-

сом: при каком условии одна из двух данных квадратичных форм может быть переве-

дена в другую невырожденным линейным преобразованием? Строго говоря, ответ на этот вопрос зависит от того, какие - комплексные или действительные - формы рас-

сматриваются.

Определение 8. Положительным индексом инерции квадратичной формы

называется число квадратов с положительными коэффициен-

тами в каноническом виде квадратичной формы. Обозначается

r ( f )

Определение 9. Отрицательным индексом инерции квадратичной формы

называется число квадратов с отрицательными коэффициен-

тами в каноническом виде квадратичной формы. Обозначается

r ( f )

3

Разность между положительным и отрицательным и отрицательным индексами инерции называется сигнатурой формы f.

Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к ка-

ноническому виду. Говорят, что ранг, индексы инерции и сигнатура формы инвари-

антны относительно преобразования координат.

Теорема 5. Закон инерции квадратичных форм: Все канонические формы,

конгруэнтные данной квадратичной форме имеют одинаковое число нулевых коэффициентов; одинаковое число положительных и отрицательных коэффициентов.

Индексы инерции связаны соотношением: r ( f ) + r ( f ) = r( f ) .

Теорема 6. Две квадратичные формы от n неизвестных с действительными ко-

эффициентами тогда и только тогда переводятся друг в друга не-

вырожденными действительными линейными преобразованиями,

если эти формы имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнату-

ры.

Доказательство. Пусть форма f переводится в форму f’ невырожденным дейст-

вительным преобразованием. Как известно, такое преобразование не меняет ранга формы. Такое преобразование не может менять также и сигнатуры, так как тогда f и f’ приводились бы к различ-

ным нормальным видам. Но тогда форма f приводится к этим обо-

им нормальным видам, что противоречит закону инерции.

Обратно: если формы f и f’ имеют одинаковые ранги и одинако-

вые сигнатуры, то они приводятся к одному и тому же нормаль-

ному виду, а значит, могут быть переведены друг в друга.

МЕТОД ЛАГРАНЖА

ПРИВЕДЕНИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ

К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Обоснование метода основано на справедливости теоремы 1.

Для дальнейшего освоения метода нам понадобится повторить следующие важ-

ные формулы:

a2 2ab b2 (a b)2

a2 2ab b2 (a b)2

4

a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac (a b c)2

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду осно-

ван на процедуре выделении полного квадрата. Рассмотрим метод выделения полного квадрата на примере функции двух переменных:

Значение формы на векторе a может быть найдено по формуле:

5

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду сгруппируем все слагаемые, содержащие неизвестное x1 , и дополним их до полного квадрата. Слагае-

мые, подчеркнутые одной чертой необходимы нам для соблюдения формулы, но, по-

скольку ранее их не было, то, добавив несуществующее ранее слагаемое, мы должны его же и вычесть (подчеркнуто двумя черточками):

Приведем подобные слагаемые за скобкой и свернем скобку в полный квадрат:

Q(x1, x2 , x3 ) ... (x1 x2 x3 )2 x22 6x32 2x2 x3 .

!!! Обратите внимание: за скобкой нет слагаемых, содержащих неизвестное x1

Полный квадрат, содержащий неизвестное x1 , не изменяется. Среди оставшихся членов сгруппируем те, которые содержат неизвестное x2 , и дополним их до полного квадрата: