Материал: Лекция 06

Рис.

При изменении от 0 до 2 полярный радиус описывает кривую, ограничивающую криволинейный сектор OABC (см. рис.). Поэтому по формуле площади криволинейного сектора имеем

площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда, равна 1/3 площади круга с радиусом, равным наибольшему из полярных радиусов витка. К этому выводу пришел еще Архимед.

2. Нахождение объема тела, используя площади его поперечных сечений

Пусть имеется тело объема V. Пусть дана площадь любого поперечного сечения тела в виде непрерывной функции Q = Q(x).

Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки хi разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на какомлибо промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно Mi и mi.

Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны Mi xi и mi xi здесь xi = xi -xi-1.

Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим

n n

цилиндры, объемы которых равны соответственно Mi xi и mi xi . При

i 1 i 1

стремлении к нулю шага разбиения d, эти суммы имеют общий предел:

→→

Таким образом, объем данного тела может быть найден по формуле:

Объем тела вращения

Пусть функция f (x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a,b]. Найдем объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y f (x) и прямыми y a, y b, x 0, вокруг оси x.

y

xk

z