Материал: Лекция 06

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то справедлива следующая формула

b

f (x)dx F(b) F(a),

a

где F(x) – произвольная первообразная для функции f (x).

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Доказательство. Поскольку функция f (x) непрерывна на отрезке

a

следовательно, для любой первообразной F(x) имеем

(x) F(x) C.

Отметим, что это равенство выполняется тождественно, т.е. x [a,b].

(b) f (t)dt f (x)dx, откуда и получаем формулу Ньютона-Лейбница.

a a

Разность F(b) F(a) принято условно записывать в виде F(x)ba ,

поэтому формула Ньютона-Лейбница в общепринятой краткой записи выглядит следующим образом:

∫( )  = ( )| .

Методы вычисления определенных интегралов

Поскольку формула Ньютона-Лейбница сводит задачу вычисления определенного интеграла от непрерывной функции к нахождению первообразной, то методы вычисления неопределенных интегралов сводятся к вычислению определенных интегралов.

Два основных метода нахождения неопределенных интегралов: метод замены переменной и интегрирование по частям - с учетом специфики определенных интегралов приобретают следующие формы.

Замена переменной в определенном интеграле. Пусть

Тогда справедливо равенство:

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Определенные интегралы имеют многочисленные приложения в самых разнообразных задачах. Здесь мы ограничимся рассмотрением некоторых геометрических приложений.

1. Вычисление площади плоской области

а) Площадь криволинейной трапеции

Площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y f (x), снизу – отрезком с оси x, а по бокам – прямыми x a и x b, вычисляется по формуле

= ∫ ( )  .

Обоснование этой формулы было дано при введении понятия определенного интеграла.

Если график функции расположен ниже оси Ох, т.е. ( )  < 0, то площадь трапеции имеет знак “-“, а если график расположен выше оси Ох, т.е. ( ) <0, то площадь имеет знак “+”.

Вболее общем случае, как на следующем рисунке,

++

-

определенный интеграл от ( )  на [a, b] равен сумме площадей частей изображенной области, которые лежат выше оси Ох, и минус площади тех частей области, которые лежат ниже оси Ох.

Если верхняя граница криволинейной трапеции задана уравнениями в параметрической форме x (t), =  ( ) ≥ 0, t , причем ( ) a,( ) b, то произведем формуле площади криволинейной трапеции замену переменной, полагая x (t), dx (t)dt.

Тогда получим формулу площади криволинейной трапеции, заданной в параметрическом виде:

= ∫  ( )  ( )  .

Более общая задача – найти площадь плоской области, ограниченной двумя непрерывными линиями – графиками функций ( ) и ( ) (см. рис.).

Легко понять, что такая площадь находится по следующей формуле:

= ∫ [ ( )− ( )] ,

где – площадь криволинейной плоской области, ограниченной графиками функций у = ( ), у = ( ) таких, что ( ) ≥ ( ) на [a, b], и по бокам

- отрезками прямых = и = .

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом x acost , y bsint (0 t 2 ).

y b

a

0 x

Рис.

Решение. Эллипс симметричен относительно осей координат, поэтому достаточно вычислить площадь части фигуры, находящейся в I четверти Следовательно, искомая площадь равна

известную формулу площади круга R2 .

б) Площадь криволинейного сектора

Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением ( ),, причем функция ( ) непрерывна и неотрицательна на отрезке [ , ]. Плоскую фигуру, ограниченную дугой AB этой кривой и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы и ( , ),

называют криволинейным сектором (см. рис.).

i

B

A

Рис.

Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле:

круговые секторы с радиусами ( i ).

В результате получим веерообразную фигуру, площадь которой приближенно равна площади S криволинейного сектора:

1n 1

S 2i 0 2( i ) i ,

где i i 1 i . В правой части стоит интегральная сумма для искомого интеграла. Так как функция 2( ) непрерывна на отрезке [ , ], то предел

этой суммы при d max { i } 0 существует и равен этому интегралу.

1 i n

С другой стороны, при   →  0 указанное приближение будет становиться все точнее и точнее, так что записанная интегральная сумма будет стремиться к площади криволинейного сектора. Таким образом,

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда: a , где a – положительное число.