Материал: Лекц 12

5 Лекция 12 Переменное электромагнитное поле в проводящей среде.

Рассмотрим закон полного тока и закон электромагнитной индукции:

;

Токи переноса не могут существовать внутри проводящей среды, а токами смещения можно пренебречь по сравнению с токами проводимости. Тогда закон полного тока можно записать в виде:

.

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в диэлектрике и падающую перпендикулярно на поверхность проводящей среды. Направим ось z по направлению вектора скорости волны, т.е. внутрь проводника перпендикулярно его поверхности и запишем проекции уравнений на оси декартовой системы координат:

Учитывая, что волна плоская (все величины, характеризующие ее, зависят только от координаты z), из записанной системы уравнений по аналогии с рассуждениями о плоской волне в диэлектрике, можем записать:

Направим ось y по вектору H. В этом случае H = H_y; H_x = 0 , поэтому E_y = 0, и уравнения упрощаются:

После дифференцирования первого уравнения по координате z и подстановке в него второго уравнения, получаем уравнение для вектора напряженности магнитного поля и по аналогии запишем такое же уравнение для вектора напряженности электрического поля:

; ; .

Последние уравнения отличаются от волновых уравнений, полученных для этих векторов при рассмотрении переменного электромагнитного поля в диэлектрике тем, что содержат не вторую, а первую производную от векторов по времени.

Решение уравнения для установившегося синусоидального режима.

При рассмотрении установившегося синусоидального режима напряженности электрического и магнитного поля можно записать в виде мгновенных значений и в комплексном виде:

;

Так как в комплексном виде временная координата t исключается, а дифференцирование по времени заменяется умножением на jω , то переменные зависят только от одной пространственной координаты z, и уравнения могут быть записаны в полных производных:

; ;

Решим уравнение для напряженности магнитного поля:

, где ;

– корни характеристического уравнения

Преобразуем выражение для корня характеристического уравнения:

, где

Тогда решение для напряженности магнитного поля можно представить в виде:

.

При z, стремящемся к бесконечности, множитель e^kz и напряженность магнитного поля также стремятся к бесконечности, что невозможно из физических соображений, поэтому: A₂ = 0

Окончательное выражение для напряженности магнитного поля примет вид:

Постоянную A₁ определим из граничных условия на поверхности раздела проводника и диэлектрика (рис.12–1) при z = 0.

H_me H_m0

z

 

Рисунок 12–1

Так как волна распространяется по направлению, перпендикулярному к поверхности проводящей среды, то вектор напряженности магнитного поля в диэлектрике H_me расположен параллельно границе и равен вектору напряженности магнитного поля внутри проводящей среды вблизи ее поверхности H_m0 (ввиду равенства на границе касательных составляющих). Поэтому, зная параметры волны у поверхности проводящей среды в диэлектрике, определяем постоянную A₁ из граничного условия: при z = 0

Окончательно можем записать: .

Полученное в комплексном виде решение представим в виде мгновенного значения:

Запишем решение для комплексной амплитуды напряженности электрического поля :

.

Отношение комплексных амплитуд электрической и магнитной напряженности определяет волновое комплексное сопротивление ( Z ) проводящей среды для синусоидальной электромагнитной волны:

.

Это сопротивление имеет вещественную и мнимую часть, что свидетельствует о наличии тепловых потерь в проводнике и сдвиге по фазе (  = + /4), между волнами электрической и магнитной напряженности во временной области. Волновое сопротивление можно представить и в алгебраической форме:

, причем , а X - индуктивное сопротивление

Окончательное выражение для комплексной амплитуды напряженности запишем в показательной форме:

.

Мгновенное значение напряженности электрического поля имеет вид:

.

Плотность тока проводимости определяется из соотношения J_пр = E и равна:

. (*)

Следует помнить, что в рассматриваемом случае плоской электромагнитной волны векторы напряженности электрического и магнитного поля взаимно перпендикулярны в пространстве. Построим кривые, изображающие качественное распределение напряженности электрического и магнитного поля вдоль оси z для некоторого момента времени (t = 0), принимая, что начальная фаза (рис.12–2).

x

H_y

z

0

v

E_x

y

Рисунок 12–2

Волна напряженности магнитного поля отстает по фазе от волны напряженности электрического поля на 45 градусов. Амплитуды обеих волн по мере продвижения вдоль оси z вглубь проводника затухают со скоростью, определяемой множителем e^-kz.

Длина волны и затухание.

При изменении координаты на величину длины волны (z = ) ее аргумент изменяется на 2, поэтому длину волны определим из соотношения k = 2.

.

С ростом проводимости и магнитной проницаемости среды, а также частоты синусоидального сигнала длина волны уменьшается.

На расстоянии равном длине волны (z = ) амплитуды напряженности электрического и магнитного поля изменяется в e^-k раз:

,

то есть составляет лишь около 0,2% от значения амплитуды волны на поверхности проводящей среды. В связи с этим следует подчеркнуть, что представленные на рисунке 12–2 графики напряженности электрического и магнитного поля, конечно, не соответствуют действительности, так как реально волны практически полностью затухают на расстоянии равном половине длины волны. Представление их с более медленным затуханием сделано лишь для того, чтобы обратить внимание на сдвиг по фазе между двумя кривыми.

При толщине проводника большем чем длина волны прямая волна затухает и наше предположение об отсутствии отраженной волны (равенство нулю константы А₂ ) при нахождении решения дифференциального уравнения совершенно справедливо.

Ниже представлена таблица длин волн в различных проводящих средах.

Длина волны в различных материалах.

Первые два столбца таблицы позволяют оценить толщину медного или ферромагнитного экрана, обеспечивающую полное экранирование помех различных частот.

Два других столбца позволяют понять, почему невозможна связь с помощью электромагнитных волн под водой и с подземными объектами.

Скорость электромагнитной волны в проводящей среде.

Скорость распространения электромагнитной волны в проводящей среде пропорциональна корню из частоты

1. Чем выше частота, тем больше скорость распространения волны, однако, уменьшается длина волны, т. е. волна затухает быстрее

2. При уменьшении частоты скорость распространения волны стремится к нулю.

Понятие об электромагнитном экранировании.

Быстрое затухание электромагнитной волны в проводящей среде происходит за счет размагничивающего действия вихревых токов – тех токов проводимости, которые возникают в поверхностном слое проводника (см. (*) стр. 3). Если некоторая область пространства окружена проводящей поверхностью, толщина которой () обеспечивает затухание электромагнитных волн заданных частот ( ≥), то внутри этой области переменное электромагнитное поле заданных частот отсутствует. Говорят, что данная область экранирована от переменного электромагнитного поля с помощью проводящего экрана.

Сопротивление провода при резком появлении поверхностного эффекта.

Постоянный ток (ω = 0) при протекании по проводнику распределяется по его сечению равномерно, т.е. плотность тока во всех точках сечения одинакова (рис.12–3а).

Поверхностный эффект возникает на переменном тока и считается «резким» если поперечные размеры проводника намного больше длины электромагнитной волны в этом проводнике.

Рассмотрим случай кругового цилиндрического проводника с током (рис.12–3б). Если обратный провод удален на значительное расстояние, то поле прямого провода обладает цилиндрической симметрией.

R R

R

J J

i



r r

а) б) в)

Рисунок 12-3

Электромагнитную волну в проводнике считаем плоской (R>>). В этом случае комплексы напряженности электрического и магнитного поля на поверхности проводника связаны соотношением:

.

Проникая внутрь проводника, электромагнитная волна затухает, следовательно, плотность тока на поверхности максимальна и уменьшается к центру проводника (рис. 13-3в).

Напряжение на участке проводника длиною l определяется из соотношения

Так как поле плоскопараллельное, то во всех точках вдоль оси проводника напряженность электрического поля на поверхности одинакова, тогда:

На основании закона полного тока: и в силу осевой симметрии поля можем записать для комплексов .

Отношение напряжения к току позволит определить комплексное сопротивление проводника. Оно состоит из вещественной части - активного сопротивления R и мнимой части - реактивного сопротивления, которое определяется лишь магнитным потоком в теле проводника – т.е. внутренним магнитным потоком или внутренней индуктивностью. Это сопротивление называется внутренним реактивным сопротивлением – X_внутр..

Комплексное внутреннее сопротивление определяется соотношением:

.

Представим активное сопротивление R в форме:

здесь s^/ – эквивалентное сечение проводника, определяющее его активное сопротивление на переменном токе при резком поверхностном эффекте. Площадь сечения равна площади кольца длиной 2r и шириной, равной , которая называется эквивалентной глубиной проникновения и определяется из соотношения:  = .

На эту глубину реально проникает в проводник электромагнитное поле, и в основном по этому сечению идет переменный ток. Учитывая, что длина волны в проводящей среде определяется выражением: