Материал: Лекц 10

7

Лекция 10 Метод участков.

Если разбить тонкие контуры на отдельные участки (рис. 10–1а), то взаимную индуктивность между тонкими контурами можно записать в виде суммы интегралов по участкам:

l_1k

l_1k r 1 2 r

l_2p

l_2p

а) б)

Рисунок 10–1

,

Выражение, полученное под знаком двойной суммы, можно считать взаимной индуктивностью между двумя отрезками контуров:

; .

Аналогично для вычисления индуктивности (рис 10–1б), учитывая, что m = n и проводя интегрирование один раз по оси, а другой по внутреннему контуру, можем записать:

.

Если сравнить формулы для участков, полученные для определения взаимных индуктивностей M_kp и формулы для взаимных потенциальных коэффициентов, полученные по методу средних потенциалов, то можно заметить их сходство:

; .

Разница заключается в множителях, стоящих перед интегралами, а также в том, что при вычислении взаимной индуктивности под интегралом определяется скалярное произведение векторов элементарных отрезков: , а при вычислении взаимного потенциального коэффициента произведение модулей этих же величин (без необходимости учета косинуса угла  между ними).

Индуктивность контуров, составленных из прямолинейных отрезков.

Если отрезки прямолинейны, то cos может быть вынесен за знак интеграла, так как на всем интервале интегрирования угол  между прямолинейными отрезками остается постоянным. В этом случае выражение для взаимной индуктивности между двумя прямолинейными отрезками принимает вид:

.

Тогда для расчета взаимной индуктивности между прямолинейными отрезками можно пользоваться формулами, полученными для взаимных потенциальных коэффициентов таких же отрезков по методу средних потенциалов, используя для пересчета соотношение:

Для собственной внешней индуктивности прямолинейного отрезка, учитывая, что  = 0 и cos = 1, можем записать:

.

Сравнивая это выражение с собственным потенциальным коэффициентом, найденным по методу средних потенциалов:

,

легко показать, что соотношения отличаются только коэффициентами, стоящими перед интегралом, поэтому:

.

Следует подчеркнуть, что выражения для потенциальных коэффициентов, полученные по методу средних потенциалов, не позволяют обеспечить достаточно высокую точность из-за необоснованного предположения о равномерном распределении заряда вдоль отрезков проводников ( = const). Однако, аналогичные выражения для расчета индуктивностей по методу участков абсолютно точны, так как ток в проводнике во всех его сечениях одинаков (i = const).

Кроме того, необходимо иметь в виду, что дополнительный сомножитель (cos) , связывающий выражения для взаимных индуктивностей и взаимных потенциальных коэффициентов оказывает существенное влияние на результат. Если прямолинейные отрезки параллельны и направления токов в них совпадают, то cos = 1. Если токи направлены противоположно, то cos = – 1, а если отрезки перпендикулярны, то cos = 0, и взаимная индуктивность между ними будет равна нулю, хотя взаимный потенциальный коэффициент нулю не равен.

Определим в качестве примера взаимную индуктивность между двумя одинаковыми прямоугольными рамками, расположенными в параллельных плоскостях на некотором расстоянии x друг от друга (рис.10–2). Выберем направление обхода обоих контуров по часовой стрелке. При расчете взаимной индуктивности между первым и вторым контуром, разобьем каждый из них на четыре прямолинейных участка.

Определим взаимные индуктивности между всеми отрезками обоих контуров и сложим их. Таких слагаемых будет 16. Половина их этих слагаемых равна нулю из-за взаимной перпендикулярности отдельных отрезков (1a  2b, 2d; 1b  2a, 2c и т. д.). Остальные пары отрезков параллельны ( = 0⁰, 1a  2a; 1b  2b и т.д.) или антипараллельны ( = 180⁰, 1a  2c; 1b  2d и т.д.⁾ Взаимная индуктивность между этими отрезками зависит от их длины (вертикальная сторона рамки равна «a», а горизонтальная сторона рамки равна «b») и от расстояния между ними. Расстояние между параллельными отрезками равно x, а между антипараллельными определяется из соотношений и .

1b 2b

1c 2c

1a 1d 2a 2d

x

Рисунок 10–2

Для двух параллельных отрезков одинаковой длины, начало которых расположено на одном перпендикуляре к ним (рис. 10–3) можно определить взаимный потенциальный коэффициент или взаимную индуктивность:

l

dx₁

x₁

r D

x₂ dx₂

x

Рисунок 10–3

Вычисление подобных интегралов приведено в справочной литературе по расчету емкостей и индуктивностей (Иоссель; Калантаров и Цейтлин).

Индуктивности систем параллельных проводов.

В системе параллельных проводов с токами поле имеет плоскопараллельный характер, векторный потенциал, как и плотность тока, имеет единственную составляющую, направленную вдоль оси z.

В одной из предыдущих лекций мы рассматривали случай определения сцепленного с прямоугольной рамкой магнитного потока, созданного током в линейном проводе. Разность векторных магнитных потенциалов на разных сторонах рамки, удаленных на расстояния a и b от провода, мы получили в виде:

.

По аналогии векторный магнитный потенциал в системе проводов с токами можем записать:

,

где r_k – расстояние от рассматриваемой точки до соответствующего провода.

Для двухпроводной линии с прямим и обратным током (рис.10–4) определим внешнее потокосцепление и внешнюю индуктивность участка линии длиной l , используя контур, расположенный на ближних друг к другу поверхностях проводов.

A_z

1 2

i i

r₁ r₂

R l

z

D

Рисунок 10–4

В произвольной точке около двухпроводной линии векторный магнитный потенциал равен: .

Тогда векторные потенциалы на внутренних поверхностях первого и второго провода имеют вид: ,

а внешний магнитный поток и внешняя индуктивность двухпроводной линии равны соответственно:

;

Внутренняя индуктивность этой линии определяется магнитным потоком внутри прямого и обратного провода (общая длина 2l ): .

Окончательно индуктивность двухпроводной линии равна: .

В реальных линиях расстояние между проводами превышает радиус провода примерно в 1000 раз, тогда:

Взаимная индуктивность между двумя двухпроводными линиями.

Пусть первая линия с проводами 1 и 1^/ расположена параллельно второй линии с проводами 2 и 2^/ (рис. 10–5).

1 1^/

 ●

r₁₂ r₁₂^/ r₁^/₂^/

r₁^/₂

2 2^/

Рисунок 10–5

Зададимся током в первой линии и определим векторный магнитный потенциал на осях проводов второй линии:

; .

Поток взаимоиндукции, сцепляющийся со второй линией, равен:

,

а взаимная индуктивность между двумя двухпроводными линиями определяется соотношением:

.

Рассмотрим некоторые примеры при различном взаимном расположении линий.

Две двухпроводные линии, расположенные симметрично в параллельных плоскостях.

D₁

D₁

1 2 2^/ 1^/

1 1^/ D₂

б)

h

1 1^/

2 2^/

h

D₂ D

2 2^/

а) в)

Рисунок 10–6

В общем случае расстояние между проводами одной линии (D₁) и другой линии (D₂) различны (рис. 10–6а) при этом:

; , поэтому:

Если линии расположены на одной высоте (рис. 10–6б), то h = 0 и формула упрощается: .

Если же расстояние между проводами линии (рис.10–6в) одно и тоже (D₁ =D₂ = D), то взаимная индуктивность определяется из выражения: