Материал: курсовая работа Суточный ход
11
|
|
|
|
|
(3.6) |
′(, ) = ±( +1)√ |
|
+ − ±( −1)√ |
|
||
|
|
|
. |
||
2 |
2 |
||||
Знаки в показателях степени выберем так, чтобы удовлетворялось
условие (2.4)
|
|
|
|
|
(3.7) |
′(, ) = −( +1)√ |
|
+ −+( −1)√ |
|
||
|
|
|
. |
||
2 |
2 |
||||
По аналогии с (3.7) для почвы можно записать, что
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
′(, ) = −( +1)√ |
|
1 + −+( −1)√ |
|
1. |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы определить константы и , используем граничное условие |
||||||||||||||
(2.8). Продифференцируем соотношение (3.7) по высоте |
|
||||||||||||||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
−( +1)√ |
|
|
−+( −1)√ |
||||||||||
|
|
|
|
|
+ ( − 1)√ |
|
. |
|
|||||||||
|
|
= −( + 1)√ |
2 |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||
Найдем значение производной ′⁄ при = 0
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.10) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( |
|
) |
|
= −( + 1)√ |
|
|
|
+ ( − 1)√ |
|
|
|
−. |
|||
|
=0 |
2 |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.11) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
|
1 |
) |
|
= −( + 1)√ |
|
|
+ ( − 1)√ |
|
|
−. |
||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обратим внимание на известное соотношение
12
|
+ − |
(3.12) |
|
= |
|
. |
|
2 |
|||
|
|
Подставим формулы (3.10) – (3.12) в граничное условие (2.8)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
− = |
|
|
|
|
(3.13) |
|||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|||
|
|
|
|
|
( |
|
) |
( |
|
) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= |
|
|
( √ + 1 1√)[ + 1 |
|
− |
− 1 |
|
|
] |
|||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если приравнять множители при экспонентах с одинаковыми показателями степени в левой и правой частях соотношения (3.13), то можно заключить, что
= |
|
|
|
|
|
(1 − ) |
(3.14) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2√2√ |
( |
√ + |
√ |
) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
(1 + ) |
|||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
{2√2√( √ + 1 1√)
Сучетом полученных выражений для констант и , выражение (3.7)
может быть записано следующим образом
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.15) |
|
|
|
|
|
|
−√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
′(, ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ ( − √ |
|
) − |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
√2√ |
( |
√ + |
|
√ |
) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
− ( − √ |
|
)] |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
где ( ) и ( ) – гиперболический косинус и синус соответственно.
Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
||
1 |
|
[ ( ) − ( )] = |
1 |
|
[ ( ) − 2 ( )] = |
(3.16) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
√2 |
√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
|
1 |
[ ( ) + ( )] = |
|
1 |
( ) + |
1 |
( ) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
√2 |
|
|
|
√2 |
√2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Так как |
|
= |
|
= |
√2 |
, то, используя известные соотношения |
|
||||||||||||||||||
4 |
4 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ± ) = ± , |
|
(3.17) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ± ) = . |
|
(3.18) |
||||||||||||||||
можно привести выражение (3.16) к одной из двух форм
1 |
|
|
1 |
|
( |
|
+ ) |
(3.19) |
||
|
( ) + |
( ) = { |
4 |
. |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
√2 |
√2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(4 |
− ) |
|
|
С учетом (3.19) перепишем выражение (3.15)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
−√ |
|
|
|
|
|
|
|
+ − √ |
|
) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
′(, ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
√ |
( |
√ + |
|
√ |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
{ ( |
|
|
− + √ |
|
|
) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|||||||
Заметим, что выражение (3.20) справедливо не только для отклонений потенциальной температуры ′, но и обычной температуры ′.
14
4. Анализ решения задачи о суточном ходе температуры воздуха
Выберем одну из форм записи решения, например, через функцию косинуса
|
|
|
−√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
′(, ) = |
|
|
|
|
|
|
( |
− + √ |
|
). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
||||
|
√ |
( |
√ + |
|
√ |
) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Анализ формулы (4.1) показывает, что отклонение температуры воздуха на высоте в конкретный момент времени от ее среднесуточного значения имеет вид гармонической функции
(4.2)
′(, ) = ( ) [ (, )],
где
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.3) |
|||
|
|
|
|
|
−√ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
( ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
√ |
( |
√ + |
√ |
) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(, ) = |
− + √ |
|
(4.4) |
||||||||||||
|
|
. |
|||||||||||||
4 |
2 |
||||||||||||||
Здесь ( ) – амплитуда колебаний температуры воздуха на произвольной высоте , (, ) – фаза упомянутых колебаний.
Вычислим амплитуду и фазу колебаний на поверхности, то есть при
= 0
(0) = 0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(4.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
√( |
√ + |
|
√) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
15 |
|
|
(, ) = |
|
(4.6) |
|
|
− . |
||
4 |
|
||
Из соотношений (4.5) и (4.4) следует, что колебания температуры на
поверхности = 0 |
описываются выражением |
|
|
|
|||||||||||||
′(, 0) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
− ) = 0 ( |
|
− ) |
(4.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
||||
|
√ |
( |
|
√ + |
|
√ |
) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из формулы (4.5) можно определить факторы, влияющие на величину амплитуды колебаний температуры подстилающей поверхности.
Амплитуда суточного хода температуры подстилающей поверхности прямо пропорциональна амплитуде колебаний радиационного баланса .
Соответственно на суточный ход влияют все факторы, влияющие на амплитуду радиационного баланса. Например, существенное влияние на амплитуду радиационного баланса оказывает облачность.
Амплитуда колебаний температуры подстилающей поверхности существенным образом зависит от коэффициента турбулентности . При сильно развитой турбулентности тепло быстро распространяется по вертикали, благодаря чему амплитуда суточных колебаний температуры поверхности оказывается сравнительно малой.
Амплитуда колебаний температуры подстилающей поверхности зависит от теплофизических свойств почвы: температуропроводности ,
объемной теплоемкости 1 1, теплопроводности = 1 1 . Если почва обладает хорошей теплопроводностью, то днем значительная доля тепла уходит в нижележащие слои. Соответственно доля тепла, идущая на теплообмен воздуха, уменьшается, и максимум температуры в ее суточном ходе оказывается достаточно низким. Поэтому суточный ход температуры над хорошо проводящей почвой оказывается более сглаженным, чем над почвой с малой теплопроводностью.