Материал: курсовая работа Суточный ход
6
формулируется через уравнение теплового баланса, которое при записи потоков через градиенты имеет вид
( ) = − ( |
|
) |
− ( |
1 |
) |
(1.5) |
|
|
|
||||
|
|
0 |
1 1 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
Здесь
– плотность воздуха;
– удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении;
1 – плотность почвы;
1 – удельная теплоемкость почвы.
Функция ( ) описывает суточный ход радиационного баланса и в общем случае представляет собой достаточно сложную функцию времени особенно при наличии облачности. Но любую функцию можно представить в виде разложения в ряд по тригонометрическим функциям
|
|
∞ |
|
(1.6) |
|
|
|
|
|
( ) = + ∑ |
[ ′ |
( ) + ′′ ( )]. |
||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
Однако ограничимся анализом случая, когда радиационный баланс земной поверхности является простой тригонометрической функцией времени,
записанной в виде следующего соотношения
|
|
|
(1.7) |
( ) = + , |
|||
где
– амплитуда колебаний радиационного баланса;
– частота суточных колебаний равная угловой скорости вращения
Земли.
С учетом (1.7) уравнение теплового баланса (1.5) принимает вид
7
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(1.8) |
|
+ |
|
= − ( |
) |
− ( |
) |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
1 1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
||||
2. Формулировка задачи о суточном ходе температуры воздуха и почвы в отклонениях от среднесуточных значений
Многие задачи физики решаются в отклонениях от какого-либо известного состояния. Использование отклонений часто позволяет упростить и уравнения, и начальные, и граничные условия. В связи с этим и рассматриваемую задачу целесообразно записать в отклонениях от среднесуточных значений. Представим радиационный баланс, температуры воздуха и почвы в виде суммы среднесуточный значений и отклонений от них
|
= ̅ |
+ ′( ), |
|
(2.1) |
||
|
̅ |
′ |
(, ), |
|
|
|
= ( ) + |
|
|
||||
|
= ̅ |
( |
) + ′(, |
) |
||
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
Обращаем внимание, что среднесуточные значения температуры зависят только от вертикальной координаты.
В силу линейности системы (1.2), используя равенства (2.1), можно сформулировать отдельно две задачи:
- стационарная задача о распределении с высотой среднесуточных величин
|
|
2 |
|
|
(2.2) |
||
0 = |
|
||||||
|
2 |
, |
|||||
|
|
2 |
̅ |
||||
|
|
|
|
||||
0 = |
|
|
|
1 |
|
||
|
2 |
|
|||||
{ |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
||
8
- нестационарная задача о суточном ходе отклонений температуры
|
′ |
= |
2 |
′ |
|
(2.3) |
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
′ |
|
2 |
′. |
|
|
|
1 |
= |
|
1 |
|
|
|
{ |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Поскольку основное внимание данной работы сфокусировано на суточном ходе температуры, то будем рассматривать лишь нестационарную задачу (2.3).
Переформулируем граничные условия для отклонений.
Условия затухания колебаний температуры принимают вид
→ ∞ |
|
′ |
|
|
̅ |
̅ |
(2.4) |
||
|
|
(, ) = ( ) − ( ) = 0 |
|||||||
{ |
→ ∞ ′(, |
|
) = ̅ |
( |
) − ̅ |
( ) = 0. |
|
||
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
В результате перехода к отклонениям пара граничных условий (1.3)
упростилась: они стали нулевыми.
Условие склейки (1.4) в соответствии с (2.1) принимает вид |
|
|||||
= = 0 |
̅+ ′ |
( ) = ̅ |
+ ′ |
( ). |
(2.5) |
|
1 |
0 |
0 |
10 |
10 |
|
|
Поскольку ̅0 = ̅п0, то условие склейки остается в силе и для отклонений
= = 0 |
′ |
( ) = ′ |
( ). |
(2.6) |
1 |
0 |
10 |
|
|
Запишем уравнение теплового баланса для средних величин
|
|
|
9 |
|
|
|
̅ |
|
̅ |
(2.7) |
|
̅ |
|
) |
− 1 1 ( |
1 |
) . |
= − ( |
|
1 |
|||
|
|
0 |
0 |
||
Вычитая соотношение (2.7) из выражения (1.5), получим уравнение для отклонений
|
|
|
′ |
|
|
′ |
(2.8) |
|
|
= − ( |
|
) |
− ( |
1 |
) . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 1 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
Итак, сформулированная задача в отклонениях имеет вид
|
|
|
|
′ |
= |
2 ′ |
|
|
(2.9) |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
2 ′ |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
′ |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
→ ∞ |
= 0 |
|
. |
||||||||||
|
|
→ ∞ |
′ |
= 0 |
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= = 0 |
|
|
′ |
( ) = ′ |
( ) |
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
10 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
||||
|
|
= − ( |
|
|
|
) |
|
− ( |
1 |
) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 0 |
|||
3. Решение задачи о суточном ходе температуры воздуха и почвы
Из системы (2.9) видно, что задачи о суточном ходе температуры воздуха и почвы математически подобны. Основное отличие состоит в том,
что интенсивность турбулентного обмена теплом в атмосфере на порядки превосходит интенсивность молекулярного обмена теплом в почве.
Рассмотрим уравнение теплопроводности воздуха
|
|
10 |
|
′ |
= |
2 ′ |
(3.1) |
|
2 |
|
и найдем его решение. Учитывая, что решение имеет волновой характер, его можно искать в виде
′(, ) = + + −+ , |
(3.2) |
где , , , – произвольные постоянные. Подставляя соотношение (3.2) в
дифференциальное уравнение (3.1), беря соответствующие производные от выражения (3.2), приходим к следующему равенству
+ − −+ = 2 + + 2 −+ . |
(3.3) |
Поскольку выражение (3.2) должно обращать уравнение теплопроводности в тождество, то коэффициенты при одинаковых
экспонентах в соотношении (3.3) должны быть равны, то есть |
|
= 2 |
(3.4) |
{− = 2 . |
|
Отсюда
{ = ±√⁄ = ±( + 1)√⁄2 . (3.5)
= ±√−⁄ = ±( − 1)√⁄2
Сучетом полученных выражений для величин и , соотношение (3.2)
принимает вид