В рамках данной главы исследована динамика оптоэлектронного осциллятора с использованием математических моделей разного уровня: системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, а также системы обыкновенных дифференциальных уравнений. С использованием данных моделей удалось установить возможные динамические режимы, реализуемые в системе и определяющие структуру ее фазового пространства. Кроме того, был проведен бифуркационный анализ, объясняющий переходы между режимами и эволюцию структуры фазового пространства при вариации управляющих параметров оптоэлектронного осциллятора.
Схематическое изображение оптоэлектронного осциллятора представлено на (рис. 2.1). В рамках данной статьи мы исследуем математическую модель данной системы. Ее динамика описывается следующим интегро-дифференциальным уравнением:
где . Продифференцировав обе части уравнения по времени, получим:
Таким образом, математическая модель исследуемой системы может быть записана в осцилляторном виде:
(2.1)
где .
Математическая модель 2.1 представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка с отклоняющимся аргументом. Фазовое пространство такой динамической системы является бесконечномерным, поскольку для задания начальных условий необходимо указать непрерывное множество значений и на отрезке времени . В предположении малого времени запаздывания возможно использовать приближение, позволяющее перейти от уравнения 2.1 к конечномерной динамической системе.
Разложим в ряд Тейлора функцию . В предположении малого времени запаздывания ограничимся линейными слагаемыми: . Тогда уравнение (2.1) можно переписать в виде динамической системы второго порядка:
(2.2)
где .
Рисунок 2.1 Схематическое изображение экспериментальной установки оптоэлектронного осциллятора
Итак, исследуем динамику модели (2.2), являющуюся простейшей моделью оптоэлектронного осциллятора, полученной в предположении нулевого времени запаздывания. Зафиксируем следующие значения управляющих параметров: и будем изменять величину . На рис. 2.2 представленные фазовые портреты данной динамической системы. При малых величинах параметра нелинейности () в фазовом пространстве системы наблюдается единственный аттрактор - устойчивое состояние равновесия типа фокус (рис. 2.2a). Увеличение параметра нелинейности ведет к потере устойчивости фокусом в результате бифуркации Андронова-Хопфа и рождению устойчивого предельного цикла в окрестности состояния равновесия. Фазовый портрет соответствующего устойчивого предельного цикла при представлен на (рис. 2.2b). Легко видеть, что при данном значении параметра нелинейности система демонстрирует квазигармонические автоколебания, а форма предельного цикла близка к эллиптической. Дальнейшее увеличение параметра нелинейности системы (2) ведет к проявлению эффектов нелинейного ограничения и, как следствию, искажению правильной формы предельного цикла (рис. 2.2c). Дальнейшее увеличение параметра нелинейности ведет к потере устойчивости предельным циклом и уходу фазовой траектории на бесконечность, что свидетельствует о выходе за границы применимости данной модели. Следует отметить, что наблюдаемые динамические режимы полностью соответствуют таковым в модели классического генератора Ван дер Поля.
Рисунок 2.2 Фазовые портреты системы (2) при и (a) ; (b) ; (c) .
Используемая MATLAB-программа:
M-файл с решением дифференциального уравнения
M-файл с вызовом решения дифференциального уравнения
Результаты:
При ;
При ;