Задание 1.

Доказать, что если

Решение:

Т.к.0< – то , а значит

Задание 2.

На отрезке [-2;2] случайным образом выбираются два числа. Найти вероятность того, что наименьшее из них принадлежит отрезку

[-1;1].

Решение:

Обозначим Х – первое число, У – второе число.

А ={наименьшее из чисел принадлежит отрезку [-1;1]}

А произойдет, если:

или

Сделаем чертеж, выделим область на чертеже, в которой будет выполняться событие А.

Ответ: 0,5

Задание 3.

Определить вероятность того, что наудачу выбранное целое двузначное число делится на 2, но не делится на 3.

Решение:

Обозначим событие А ={наудачу выбранное целое двузначное число делится на 2, но не делится на 3}

Всего двузначных чисел 90.

Двузначных чисел, которые делятся на 2: 90/2=45.

Двузначных чисел, которые делятся и на 2, и на 3 (т.е. на 6): 90/6=15.

Двузначных чисел, которые делятся на 2, но не делятся на 3: 45-15=30.

Ответ:

Задание 4.

В последовательности n независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании равном р произошло ровно 2 успеха. Какова вероятность, что успехи произошли в соседних испытаниях?

Решение:

А ={в последовательности n независимых испытаний 2 успеха произошли в соседних испытаниях}

Т.к. мы уже знаем, что произошло 2 успеха, а в каждом испытании вероятность успеха одинакова – вероятность того, что успехи произошли в любой паре из n испытаний, равновероятны.

Т.к. мы уже знаем, что произошло 2 успеха – общее число исходов найдем по формуле сочетаний из n по 2.

Благоприятных событию А исходов n-1 (благоприятные исходы 1-й и 2-й, или 2-й и 3-й ит.д. до (n-1)-й и n-й.

Ответ:

Задание 5.

Электрическая цепь имеет вид:

Каждый элемент может проводить или не проводить ток. Вероятность того, что k-тый элемент проводит ток равна и не зависит от состояния остальных элементов. Найти где А = {цепь проводит ток}, = {второй элемент проводит ток}

Решение:

= {k-тый элемент проводит ток}

Ответ:

Задание 6.

Пять мужчин и семь женщин случайным образом рассаживаются на 12 стульев. Найти вероятность события А={все мужчины окажутся рядом}

Решение:

Количество способов, которыми можно рассадить 12 человек на 12 стульев найдем по формуле перестановок из 12.

Найдем количество способов, при которых пять мужчин окажутся рядом. Будем считать их одной единицей, занимающей 5 стульев и найдем число перестановок из 8 на 8 мест. Но при этом мужчины друг относительно друга тоже могут рассаживаться – число способов рассадить 5 мужчин на 5 стульев найдем по формуле перестановок из 5.

Ответ:

Задание 7.

Футболисты пробивают пенальти до первого промаха. Найти вероятность того, что будет забито ровно 3 гола, если вероятность забить гол при каждом ударе равна 0,8.

Решение:

А={будет забито ровно 3 гола}

Событие А произойдет, если 3 раза подряд будет забит гол, а 4-й раз – будет промах.

= {k-тое пенальти закончится голом}

Ответ: 0,1024

Задание 8.

В группе из 25 человек, среди которых 20 юношей и 5 девушек, путем жеребьевки выбирают старосту и двух его заместителей. Какова вероятность, что старостой окажется юноша, а заместителями – девушки?

Решение:

А={старостой окажется юноша, а заместителями - девушки}

Все исходы – выбрать одного старосту из 25 и выбрать двух заместителей из 24 оставшихся человек.

Исходы, благоприятные событию А – выбрать одного юношу на роль старосты из 20 и выбрать двух девушек на роль заместителя старосты из 5.

Ответ:

Задание 9.

На шахматную доску ставят двух слонов. Какова вероятность, что слоны побьют друг друга?

Решение:

А={слоны бьют друг друга}

= {первого слона поставили на одну из 28 крайних клеток доски}

= {первого слона поставили на одну из 20 клеток доски: из диапазонов В7-G7, или B9-G9, или на клетки С7, D7, E7, F7, C2,D2,E2, F2}

= {первого слона поставили на одну из 12 клеток доски: из диапазонов С6-F6, илиC3-F3, или на клетки D6, E6,D3,E3}

= {первого слона поставили на одну из 4 центральных клеток доски}

Т.к. всего клеток на доске 64 – то:

Ответ:

Задание 10.

Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,2. Что вероятнее реализуется: одно попадание при трех выстрелах или два попадания из шести выстрелов?

Решение:

А={попадание в цель при одном выстреле}

По формуле Бернулли:

Ответ: вероятнее 1 попадание из 3 выстрелов