Тим Ламперт отталкивается от такой формулировки:
При допущении доказуемости G (--G) вместо признания некорректности или противоречивости (ю-противоречивости) PM (PA) возможно отказаться от метаматематической интерпретации G {ничто не мешает принять данную формулировку за оригинальный тезис Витгенштейна}.
Под метаматематическим прочтением можно понимать одновременно «G недоказуемо» и «G истинно и недоказуемо» (в интерпретации ПиФ признание ю-противоречивости вследствие допущения PM h --G, напротив, и приводило к отказу от прочтения G через «G недоказуемо»). Данная формулировка кажется на первый взгляд не связанной непосредственно с доказательством Гёделя.
Ламперт проводит ключевое для Витгенштейна различие между алгоритмическим и метаматематическим доказательством. Последнее (в случае доказательства недоказуемости) основано на представлении понятия «доказуемости» внутри языка избранной аксиоматической системы. Алгоритмическое же доказательство не требует никакой метаматематической интерпретации. В рамках доказательства геометрической невозможности (частые примеры Витгенштейна: невозможность трисекции угла с помощью циркуля и линейки, невозможность построения семиугольника) проблема некоторого геометрического построения редуцируется к проблеме разрешимости определенного алгебраического уравнения. И одними синтаксическими средствами демонстрируется неразрешимость уравнения при таких-то числах. Витгенштейн признает только алгоритмическое (чисто синтаксическое) доказательство невозможности (или недоказуемости). Нетрудно видеть, что доказательство Гёделя не является алгоритмическим доказательством: негде не демонстрируется невозможность с помощью определенных «синтаксических средств» прийти к G или --G. Доказательство Гёделя основано на метаматематическом представлении в рамках языка избранной системы (метаматематического) понятия «доказуемости».
Здесь ключевым в различении алгоритмического и метаматематического доказательства оказывается критерий недоказуемости: для Витгенштейна критерием должен быть синтаксический аргумент вне какой бы то ни было зависимости от метаматематической интерпретации формул (и наоборот, только на основании синтаксического аргумента мы можем перейти к метаматематическому утверждению о «невозможности построения...» или «недоказуемости...»). Тогда как (повторим) вывод Гёделя о противоречивости (или ю-противоречивости) PM при допущении доказуемости G (--G) основывается на представлении «доказуемости» внутри формального языка системы PM. Уже после принятия такого допущения приводится вывод о неразрешимости G при условии непротиворечивости (ю-непротиворечивости) PM. Доказательство основано на полностью гипотетическом предположении доказуемости G. И «доказуемость» G не связана ни с какими конкретными способами доказательства определенных формул внутри системы PM. В рамках аргументации Ламперта учитывается также специфическое отношение Витгенштейна к доказательству от противного (через противоречие). Пусть некоторое неявно ошибочное утверждение противоречит алгоритмически доказанному математическому положению. Далее утверждение просто редуцируется к абсурду. И такой способ доказательства от противного Витгенштейн принимает. Однако противоречие между доказуемостью формулы и интерпретацией формулы в качестве основы для доказательства от противного отбрасывается.
Перейдем непосредственно к дружественному прочтению Витгенштейна Лампертом (Л).
Пусть:
ЗА (ф) - стандартная арифметическая интерпретация некоторой формулы PM ф.
ЗМ (ф) - метаматематическая интерпретация формулы ф.
Метаматематическая интерпретация - только частный случай (способ) сокращения формулы ф. Здесь не предполагается (в отличие от стандартной арифметической интерпретации ЗА (ф)) парафраз логических и арифметических констант (при подстановке значений такая интерпретация не затрагивает элементов предложения ф). Соответствующее метаматематическое предложение просто должно быть представимо внутри языка системы PM):
Метаматематическую интерпретацию G «G недоказуемо» (точнее: «не существует такого у, который был бы гёделевым номером формулы с номером TG1») как частный случай --іЗуРгооР(у, |[G] )) можно допустить только при соблюдении условия (1).
Витгенштейн не отвергает ЗА (G) (допускается корректность PM). Но Витгенштейн отвергает ЗМ (G) (по словам Витгенштейна, ведь только номер (код) G, а не формула G фигурирует в G). Витгенштейн в действительности отрицает определимость понятия доказуемости внутри системы PM и, соответственно, отрицает:
Грубо говоря, условия (2) самого по себе недостаточно (или оно требует доказательства).
Для доказательства 1-й теоремы о неполноте (при условии корректности PM) необходимо только:
Данное равенство нужно доказать. Возникает вопрос, возможно ли доказательство без условия (2). Гёдель изначально предполагает определимость понятия доказуемости внутри PM и поэтому допускает условие (2) (разница между семантической и синтаксической версией доказательства исчерпывается в данном случае заменой условия корректности на условие непротиворечивости).
Итак, определение доказуемости играет ключевую роль. Однако нам потребуется различать рекурсивно определенные функции (отношения) и репрезентацию данных функций (отношений) внутри языка PM. Рекурсивные функции (и отношения) (заданы чисто синтаксически и поэтому) связаны с цифрами - не с числами. Привычная теоретико-числовая (арифметическая) интерпретация рекурсивных функций выходит за пределы машинального (компьютерного) выполнения рекурсивно заданных определений. Автоматически приравнивать компьютерные операции с цифрами и оперирование с числами в арифметике не обязательно. В гёделевом рекурсивном определении доказательства гёделев номер (цифра) исходно присваивается заданным формулам или последовательности формул. Пусть характеристическая функция рекурсивного отношения B* (m, n) определяет для номера m некоторой последовательности формул и для номера n некоторой формулы, является ли m номером доказательства формулы с номером n. Тогда метаматематическая интерпретация рекурсивного отношения B* (m, n) (3M(B*)) может быть задана предложением «последовательность формул с номером m есть доказательство формулы с номером n». Определимость «х есть доказательство y» в рамках языка избранной системы требует доказательства следующего утверждения: метаматематическую интерпретацию рекурсивного отношения B* (m, n) внутри PM можно представить с помощью предиката B (m, n). Или: для всех m и n должно выполняться
Фактически Гёдель доказал, что любая рекурсивная функция представима в рамках языка PM. Однако доказательство относится к арифметической, а не к метаматематической интерпретации рекурсивных функций. Гёдель доказал для любых m и n
Чтобы из (5) вывести (4), необходимо соотнести 3M(B*(m, n)) и 3А(В*^, n)). Необходимо предположить, что любые случайные номера m и n отсылают не только к формулам и последовательностям формул, но также и к числам в B*(m, n) (предположение П). Тогда, принимая (4) и, соответственно, П, возможно доказать эквивалентность (2) и (3). Если не принять (4), придется отказаться и от (2). Тогда безосновательным станет и (3). Соответствия между ЗА^) = T и Ч G не будет.
Совершенно упрощая аргументацию Ламперта: рекурсивная функция B*(m, n) определяет (вычисляет). Метаматематическая же интерпретация 3M(B*(m, n)) нечто утверждает. Так, на основании компьютерного вычисления результата сложения некоторых (символов) цифр мы можем утверждать, что «сумма ... и ... чисел равняется ...». Любые случайные символы (гёделе- вы номера) отсылают к формулам и последовательностям формул в рамках рекурсивно заданного отношения B*(m, n). Подобное отношение вычисляется (имеет место интерпретация ЗА). Согласно арифметической интерпретаций получается: в B*(представим, что каракули суть гёделевы но мера) первые каракули отсылают к некоторой последовательности формул, вторые - к формуле. А при метаматематической интерпретации каракули должны будут отсылать одновременно и к числам, которые мы видим на месте каракулей. Подобная метаматематическая интерпретация необязательна, необязательно и (4). Отсюда Гёдель не доказал (2) - не доказал 1-ю теорему о неполноте (остается недоказанным: «G истинно, если и только если недоказуемо»). Корректность PM влечет только взаимосвязь доказуемости G и ЗА^) (и не влечет взаимосвязь доказуемости G и 3M(G)).
Синтаксический вариант доказательства 1-й теоремы о неполноте предполагает более слабое (взамен корректности) допущение непротиворечивости. Последнее влечет кроме определимости рекурсивных функций внутри PM еще и следующее положение (6):
Для любых n и m:
если 3A(B*(m, n)) = Т, тогда I- В (ш, п);
если 3A(B*(m, n)) = F, тогда I- В (ш, п).
Доказательство положения (6) основывается на доказательстве (5). И поэтому критика Витгенштейна применима также и к синтаксической версии доказательства. Доказательство Гёделя считается конструктивным, что предполагает возможность перевести рекурсивные отношения в предикаты PM чисто механическим способом. Однако доказательство переводимости исходно предполагает эквивалентность 3M(B*) и 3А(В*) во всех случаях.
Вернемся к семантической версии доказательства. Из возражения Витгенштейна в интерпретации (Л) получается: из предположения h G при допущении корректности PM (3A(G) = T) возможно заключить 3M(G) = F (вместо заключения о некорректности PM из гипотетического предположения I- G возможно прийти к заключению: в системе РМ гёделев номер [G1 формулы G отсылает не к формуле PM G, к числу, тогда как рекурсивное отношение B*(k, [G] ), напротив, отсылает к формуле и не отсылает к числу).
В интерпретации (Л) доказательство G влечет выполнение В*(k, [G1 ) и, следовательно, В(к, f Gl ), но из ЗА(В(к, Г G1 )) = Т не следует доказуемость B(k, fG1 ) (не следует ЗМ(В(к, fGl )) = Т). А если из доказательства не следует доказуемость, при доказательстве G (как и говорит Витгенштейн) необходимо отказаться от (метаматематической) интерпретации G через «G недоказуемо» (стало быть, доказательство G не будет в противоречии с метаматематической интерпретацией G). Нетрудно видеть, что (Л) и ПиФ по- разному понимают «интерпретацию». Во втором случае (абсолютно вне контекста Витгенштейна) «интерпретация» понимается в современном теоретико-модельном смысле: ю-противоречивость PM как следствие допущения доказуемости --G влечет существование только нестандартных моделей для рассматриваемой аксиоматизации арифметики. В прочтении (Л) интерпретация (метаматематическая интерпретация) увязывается с «концепцией» доказательства Витгенштейна. Прочтение (Л) хорошо согласуется и с представлением Витгенштейна о непредставимости понятия «доказуемости» внутри избранной системы («метаматематики не существует»). Для Витгенштейна результат Гёделя изначально опирается на двусмысленность между арифметической и метаматематической интерпретацией и поэтому не является в строгом смысле математической теоремой.
Литература
1. Wittgenstein L. Remarks on the Foundations of Mathematics. Oxford: Blackwell, 1978.
2. Kreisel G. Wittgenstein's Remarks on the Foundations of Mathematics // British Journal for the philosophy of Science. 1958. № 9. Р. 135-137.
3. BernaysP. Comments on Ludwig Wittgenstein's Remarks on the Foundations of Mathematics // Ratio. 1959. Vol. 2, № 1. Р. 1-22.
4. Goodstein R.L. Wittgenstein's philosophy of mathematics // Ludwig Wittgenstein: Philosophe and Language. London : Allen&Unwin, 1972. Р. 271-286.
5. Floyd J. On Saying What You Really Want to Say: Wittgenstein, Gцdel, and the Trisection of the Angle // Essays on the Development on the Foundations of Mathematics. 1995. Р. 373-425.
6. Priest G. Wittgenstein's Remarks on Gцdel's Theorem // Wittgenstein's Lasting Significance. London, 2010. Р. 206-225.
7. Berto F. The Gцdel Paradox and Wittgenstein's Reasons// Philosophia Mathematica. 2009. № 3 (17). Р. 208-219.
8. Berto F. There's Something About Gцdel: The Complete Guide to The Incompleteness Theorem. New Jersey: Blackwell, 2009.
9. Целищев В.В. Об интуитивной интерпретации оснований доказательства первой теоремы Гёделя о неполноте // Сибирский философский журнал. 2017. № 2. С. 5-17.
10. Floyd J., Putnam H. A Note on Wittgenstein's `Notorious Paragraph' about the Gцdel Theorem // The Journal of Philosophy. 2000. № 97 (11). Р. 624-632.
11. Bays T. On Floyd and Putnam on Wittgenstein on Gцdel // Journal of Philosophy. 2004. № 4. Р. 197-210.
12. Lampert T. Wittgenstein and Gцdel: An Attempt to Make “Wittgenstein's Objection” Reasonable // Philosophia Mathematica. 2017. August.
References
1. Wittgenstein, L. (1978) Remarks on the Foundations of Mathematics. Oxford: Blackwell.
2. Kreisel, G. (1958) Wittgenstein's Remarks on the Foundations of Mathematics. British Journal for the Philosophy of Science. 9. pp. 135-137. DOI: 10.1093/bjps/IX.34.135
3. Bernays, P. (1959) Comments on Ludwig Wittgenstein's Remarks on the Foundations of Mathematics. Ratio. 2(1). pp. 1 -22.
4. Goodstein, R.L. (1972) Wittgenstein's philosophy of mathematics. In: Ludwig Wittgenstein: Philosophe and Language. London: Allen&Unwin. pp. 271-286.
5. Floyd, J. (1995) On Saying What You Really Want to Say: Wittgenstein, Gцdel, and the Trisection of the Angle. In: Hintikka, Ja. (ed.) Essays on the Development on the Foundations of Mathematics. Springer Netherlands. pp. 373-425.
6. Priest, G. (2010) Wittgenstein's Remarks on Gцdel's Theorem. In: Kцlbel, M. & Weiss, B. (eds) Wittgenstein's Lasting Significance. London: Routledge. pp. 206-225.
7. Berto, F. (2009) The Gцdel Paradox and Wittgenstein's Reasons. Philosophia Mathematica. 3(17). pp. 208-219. DOI: 10.1093/philmat/nkp001
8. Berto, F. (2009) There's Something About Gцdel: The Complete Guide to The Incompleteness Theorem. New Jersey: Blackwell.
9. Tselishchev, V.V. (2017) Ob intuitivnoy interpretatsii osnovaniy dokazatel'stva pervoy teore- my Godelya o nepolnote [On the intuitive interpretation of the grounds of the proof of Goedel's first incompleteness theorem]. Sibirskiy filosofskiy zhurnal - The Siberian Journal of Philosophy. 2. pp. 5-17.
10. Floyd, J. & Putnam, H. (2000) A Note on Wittgenstein's `Notorious Paragraph' about the Gцdel Theorem. The Journal of Philosophy. 97(11). pp. 624-632.
11. Bays, T. (2004) On Floyd and Putnam on Wittgenstein on Gцdel. Journal of Philosophy. 4. pp. 197-210.
12. Lampert, T. (2017) Wittgenstein and Gцdel: An Attempt to Make “Wittgenstein's Objection” Reasonable. Philosophia Mathematica. August.