УДК 677.024.842.001.
Компьютерный метод определения закономерности изменения входного воздействия на линейный динамический объект
Сапронов М. И.
Аннотация
автоматический наблюдающий моделирование
В статье описывается алгоритм построения автоматического наблюдающего устройства (АНУ), моделирование его работы на ПЭВМ и результаты этого моделирования.
Ключевые слова: компьютерное моделирование; динамический объект; закономерность изменения.
Динамические объекты первого порядка являются достаточно распространенными динамическими звеньями в системах автоматического и неавтоматического контроля и управления различного назначения. Это могут быть тепловые объекты, объекты технологической обработки волокнистых материалов в зонах их вытягивания, кручения и транспортирования с натяжением [1]. Это могут быть также различные измерительные преобразователи, схемы сравнения, усилители сигналов по току, напряжению и мощности, исполнительные механизмы и прочие элементы контроля и управления.
Динамические свойства многих из таких объектов описываются линейным дифференциальным уравнением первого порядка, имеющим вид
dx(t)
---- = a*x(t) + b*f(t) ,(1)
dt
где a, b - коэффициенты пропорциональности (при этом для звеньев с самовыравниванием коэффициент «а» принимает отрицательное числовое значение (а<0), а коэффициент «b» может быть как положительным, так и отрицательным числом).
Достаточно часто на практике возникают задачи по определению закономерностей изменения во времени внешних (входных) воздействий - f(t), поступающих на вход таких динамических звеньев, с целью использования полученной информации для изучения характера изменения этих воздействий, прогнозирования их изменения и применения ее для повышения эффективности управления сложными динамическими системами, в которые входят указанные динамические звенья.
Решение указанных задач может быть осуществлено различными способами: путем непосредственного измерения f(t) с помощью соответствующей измерительной системы, состоящей, как правило, из датчика, промежуточного преобразователя и вторичного измерительного прибора; путем косвенного определения f(t) по измеряемой непосредственно переменной х(t) и ее производной по времени при использовании математической модели динамического звена (1); путем косвенного определения f(t) по измеряемой непосредственно переменной х(t) и автоматического наблюдающего устройства (АНУ) при использовании математической модели [2] динамического звена (1).
Каждый из указанных способов f(t) имеет свои достоинства и недостатки. Первый способ, казалось бы, самый простой и естественный нельзя реализовать в ряде случаев потому, что промышленность не выпускаются соответствующие датчики для измерения.
Второй способ требует кроме измерения переменной х(t) и ее производной dx(t)/dt. Последнее бывает часто выполнить с достаточно высокой степенью точности затруднительно. В третьем случае можно исключить определение производной dx(t)/dt и использовать измеряемую информацию только об изменении переменной x(t) и АНУ, построенному на основании математической модели динамического звена (1).
В данной статье описывается алгоритм построения АНУ, моделирование его работы на ПЭВМ и результаты этого моделирования.
Для построения алгоритма управления АНУ будем считать, что измеряемая переменная у(t) для исследуемого динамического звена связана с переменной х(t) пропорциональной зависимостью:
у(t) = с*х(t)(2)
и что выходная переменная АНУ х(t) также связана с условно измеряемой переменной у(t) такой же зависимостью, т. е.
у(t) = с*х(t)(3)
Кроме этого, будем считать, что математическая модель рассматриваемого линейного динамического звена в АНУ будет иметь такую же структуру, как и уравнение динамики (1), но с добавлением в нее сигнала рассогласования у(t) по измеряемым переменным у(t) и у(t)
у(t) = у(t) - у(t)(4)
с некоторым пока неизвестным весовым коэффициентом d1.
В этом случае уравнение динамики для математической модели рассматриваемого динамического звена применительно к АНУ можно представить в виде:
dx(t)
------ = (a- d1*с)*x(t) + b*f(t) + d1*у(t)(5)
dt
Уравнение (5) для определения наблюдаемого воздействия f(t) дополним дифференциальным уравнением, в котором производную по времени df(t)/dt выразим через сигнала рассогласования у(t) с неизвестным пока весовым коэффициентом d2:
df(t)
------ = d2*у(t) = - d2*с*х(t) + d2*у(t)(6)
dt
В результате получим систему двух дифференциальных уравнений (5)-(6), в которых последние члены следует рассматривать как управляющие для АНУ воздействия.
Характеристическая квадратная матрица для системы уравнений (5)-(6) будет иметь вид:
D = [s-(a-d1*c] (b)|
| (-d2*c) (s)|(7)
Детерминант от этой матрицы является характеристическим уравнением для АНУ, которое, с одной стороны, можно представить как
s2 - (a-d1*c)*s + b*d2*c =0, (8)
а, с другой стороны, за счет выбора параметров d1 и d2 получить желаемый характер протекания переходных процессов в АНУ и его быстродействие.
В частности, если в качестве желаемого принять апериодический характер протекания переходных процессов в АНУ, то ему будет соответствовать характеристическое уравнение с двумя отрицательными одинаковыми действительными корнями q1 = q2 = q вида:
(s+q)2 = s2 + 2*q*s + q2 = 0(9)
Значение корня q =1/Тмин мы можем выбрать по своему усмотрению, например, так, чтобы постоянная времени Тмин при работе АНУ была в 10 или в 100 раз меньше, чем постоянная времени То исследуемого реального динамического звена (у которого а = -1/То).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях оператора s в уравнениях (9)-(10) получим два уравнения для определения неизвестных коэффициентов d1 и d2
d1 = (2*q+а)/с, d2 = q2/(b*c) , (10)
определяющих работу АНУ в желаемом режиме и позволяющих составить схему моделирования работы АНУ для получения желаемого результата.
Правомерность применения на практике изложенных выше положений проверялась автором путем компьютерного моделирования работы АНУ. Для этого были выбраны следующие конкретные параметры для динамического звена первого порядка
а = - 1/То = - 2 сек-1, b = К/То=2, То=0,5 сек, К=1, с = 1.
Для АНУ выбрали параметр настройки Тмин = 0,1*То = 0,05 сек и q=1/Тмин = 20 сек-1. При этих параметрах коэффициенты d1, d2 получились равными d1 = 38 сек-1, d2 = 200 сек-1.
В соответствии с уравнениями для исследуемого объекта (1)-(2) и для АНУ (3), (6)-(7) были составлены структурные схемы моделирования их работы на ПЭВМ. Для проведения моделирования работы указанных схем на ПЭВМ использовался программный продукт MATLAB c подпрограммой Simulink.
Результаты моделирования при принятых параметрах настройки исследуемого динамического звена и АНУ показали, что изложенные выше положения полностью подтверждаются и указывают на возможность широкого применения АНУ для указанных целей.
Выводы
Использование АНУ является перспективным направлением для определения закономерностей изменения во времени входных воздействий на линейные динамические звенья первого порядка при использовании минимальной информации о их работе.
Библиографический список
1. Сапронов М. И. Основы оптимизации скоростных режимов машин прядильного производства. М.: Легкая и пищевая промышленность, 1983. 144 с.
2. Башарин А. В., Новиков В. А., Соколовский Г. Г. Управление электроприводами: Учебное пособие для вузов. Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1982. 392 с.
Сведения об авторах
Российский заочный институт текстильной и лёгкой промышленности, Москва, Россия.