Материал: Комплексные сопротивления

Комплексные сопротивления

Реферат

КОМПЛЕКСНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ

МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

Для вычисления колебаний тока и напряжения в различных цепях переменного тока удобно пользоваться символическим методом, в котором гармонические колебания разных физических величин представляют в виде комплексных величин. Этот метод значительно упрощает вычисления, и поэтому его широко применяют для расчета цепей переменного тока.

Известно, что

,

где α - вещественное число, а j=.

Поэтому всякое комплексное число

можно представить в показательной форме

При этом вещественная часть ,

мнимая часть ,

и наоборот.

Модуль комплексного числа

;

α - аргумент комплексного числа.

Если α изменяется со временем по закону

,

то , , это два колебания с амплитудой ρ и начальной фазой φ.

Оба эти колебания можно выразить при помощи одного комплексного выражения

Если берём только вещественную часть, получим колебания x, а если мнимую, то у. При сложении колебаний проще пользоваться правилами сложения комплексных чисел.

Поставим в соответствие колебанию  (его как ранее будем называть базисным) комплексное число , а колебанию  комплексное число . В дальнейшем для того, чтобы не загромождать запись, знак действительной части при записи мы будем опускать, но подразумевать его наличие. Это внесет некоторые ограничения на операции с комплексными числами, которые ставятся в соответствие колебаниям. С этими числами можно будет проводить линейные операции (сложение, вычитание), но нельзя будет проводить нелинейные операции (умножение, возведение в степень и др.). Поставленные в соответствие колебаниям комплексные числа приобретут вид

,

.

Величина  называется комплексной амплитудой числа. Комплексная амплитуда несёт в себе информацию, как об амплитуде колебания , так и о его фазе φ.

Для базисного колебания комплексная амплитуда чисто действительное число, так как в этом колебании начальная фаза равна нулю. В общем виде её можно записать

Если комплексная амплитуда записана в алгебраической форме:

то амплитуда колебания , а тангенс угла фазового сдвига: . Экспоненциальная форма записи: .

Если частота ω одинакова для всех рассматриваемых колебаний, то множитель  можно опустить и определять гармоническое колебание лишь с помощью комплексной амплитуды , её модуль ρ - амплитуда гармонического колебания, аргумент φ - начальная фаза.

Представление колебаний с помощью комплексных выражений тесно связано с векторными диаграммами.

Если на плоскости ввести две взаимно перпендикулярные оси X и Y, и по оси Х откладывать вещественную часть х комплексного числа, а по оси Y мнимую часть jy, то число Z будет изображаться вектором на этой плоскости. Длина этого вектора   - модуль комплексного числа, а угол   - аргумент.

Рассмотрим описание произвольного участка цепи переменного тока с помощью этого метода.

Пусть ток, текущий через участок . Ставим в соответствие току комплексное число . Напряжение на этом участке . Ставим напряжению в соответствие комплексное число . Преобразуем последнее выражение . Числа  и  в случае описания линейных цепей прямо пропорциональны друг другу: . Коэффициент пропорциональности , являющийся в общем случае комплексным, носит название импеданса этого участка цепи или его комплексного сопротивления. Можно записать, что . Коэффициент пропорциональности  называется комплексной проводимостью этого участка цепи или её адмитансом.

Рассмотрим теперь по отдельности каждый из видов нагрузок в цепи переменного тока.

Если по электрической цепи течёт переменный ток , то, поставив ему в соответствие комплексную величину, можно записать .

Напряжение на активном сопротивлении будет

,

его комплексная амплитуда

будет вещественной; сдвига фаз между  и  нет.

Напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на , поэтому

,

его комплексная амплитуда

.

При этом .

Следовательно

.

Напряжение на конденсаторе отстаёт от тока на , поэтому

.

Амплитуда напряжения

.

Так как

,

то

.

Надо отметить, что, пользуясь комплексными выражениями гармонических колебаний, можно производить сложение нескольких колебаний одинаковой частоты. Для этого надо сложить комплексные амплитуды этих колебаний. Модуль полученного комплексного выражения даёт фактическую амплитуду результирующего колебания, а его аргумент - начальную фазу.

Рассмотрим это на примере цепи, состоящей из последовательно соединённых сопротивления, конденсатора и индуктивности. Напряжение на концах этой цепи равно сумме трёх напряжений, комплексные амплитуды которых нами ранее получены, то есть

.

Модуль этого выражения есть амплитуда напряжения

, (*)

начальная фаза .

Выражение (*) есть не что иное, как закон Ома для последовательной цепи переменного тока. Величина  называется полным сопротивлением цепи, R - активное сопротивление, а величина - реактивное сопротивление.

Применение комплексных величин для расчётов цепей переменного тока можно упростить, если ещё раз ввести понятие о комплексном сопротивлении. Комплексное сопротивление участка цепи есть отношение комплексной амплитуды напряжения к амплитуде силы тока, т. е.

Для активного сопротивления

Для индуктивного сопротивления

.

Для ёмкостного сопротивления

.

Величина  называется комплексным сопротивлением или импедансом рассмотренной последовательной цепи переменного тока.

Чтобы найти сопротивление для разветвленной цепи переменного тока, нужно в этой цепи мысленно заменить каждую индуктивность  на её комплексное сопротивление , каждую ёмкость С- на , а все активные сопротивления оставить без изменений. Затем с указанными комплексными сопротивлениями нужно произвести те же операции, что и при вычислении сопротивления для постоянного тока, складывая при последовательном соединении сопротивления, а при параллельном - их обратные величины. Полученная в результате этого комплексная величина  и будет представлять собой полное комплексное сопротивление цепи (импеданс). Её вещественная часть  есть активное сопротивление, а мнимая часть  - реактивное сопротивление.

Модуль импеданса

даёт величину полного сопротивления цепи, а аргумент импеданса даёт угол φ;

.

комплексный амплитуда сопротивление напряжение

ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ ДЛЯ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Пример №1.

Цепь состоит из активного сопротивления , параллельно которому присоединён конденсатор .

Импеданс конденсатора , активного сопротивления  . По правилу нахождения полного сопротивления при параллельном соединении для импедансов

 ; .

Чтобы избавиться от комплексности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на величину :

, т.е.

привели к виду .

Полное сопротивление цепи - модуль комплексного сопротивления:

,

а сдвиг по фазе между током и напряжением

.

Угол φ отрицателен, значит, напряжение отстаёт по фазе от тока.

Пример №2

Цепь содержит две параллельные ветви, в одной из которых последовательно соединены ёмкость С и активное сопротивление R, в другой ветви катушка индуктивности L с активным сопротивлением r. Найти полное сопротивление цепи.

Импеданс верхней ветви

1/jωС.

Импеданс нижней ветви

.

Импеданс двух параллельных ветвей цепи

 или .

Умножим числитель на , а знаменатель на  и извлечём квадратный корень, получим модуль комплексного сопротивления

.

Если использовать эту формулу для нахождения сдвига фаз между полным током и напряжением на концах цепи, надо учесть, что

, , .

Если некоторая комплексная величина представляет собой дробь

,

то модуль этой величины и её аргумент могут быть найдены двумя методами. Первый метод заключается в приведении дроби к виду  и тогда модуль , аргумент . Для этого знаменатель и числитель умножаем на величину , комплексно-сопряженную знаменателю:

.

Модуль этой величины

    (1)