Материал: Комплексное число, вектор, алгебраическая операция, дробь и многочлен

Комплексное число, вектор, алгебраическая операция, дробь и многочлен

Задание 1

Решить уравнения:

Решение:

Решим квадратное уравнение , используя формулу

Проверка:

Ответ: .

Задание 2

Вычислить:

Решение:

Возведение в степень комплексного числа производится по формуле:

Извлечение корня из комплексного числа производится по формуле:

Задание №3

Проверить, образует ли множество  аддитивную Абелеву или мультипликативную Абелеву группу относительно операций + и ∙.

Решение:

1. В множество М введена бинарная алгебраическая операция +.

2.  = а (нулевой элемент)

а+а=а, а+b=b, а+c=c

3. Каждый элемент является обратным сам для себя (-a=a, -b=b, -c=c):

. Ассоциативность выполняется

а+(b+c)=(a+b)+c+c = b+c

. Коммутативность не выполняется: c+b=c, b+c=b, значит

По сложению множество группу образует, но она не Абелева.

. В множество М введена бинарная алгебраическая операция ∙.

. l = а (нулевой элемент)

а∙а=а, а∙b=b, а∙c=c

. Каждый элемент является обратным сам для себя (a-1=a, b-1=b, c-1=c):

-1∙а=а, b-1∙b=а, c-1∙c=а

. Ассоциативность выполняется

а∙(b∙c)=(a∙b) ∙c

b∙c = b∙c

4. Коммутативность не выполняется: c∙b=c, b∙c=b, значит

По умножению множество группу образует, но она не Абелева.

Задание №4

Указать геометрическую интерпретацию комплексных чисел, для которых выполняется:

Решение:

 - каноническое уравнение эллипса с центром в точке (0; 0). Большим радиусом  и малым .

Сделаем чертеж:

Задание №5

Дано:

Найти:

Решение:

Две группы с операциями  и  называются изоморфными, если существует отображение  такое, что:

)  - выполняется для

)  - биективно.

 - биективное или взаимно-однозначное отображение, когда оно одновременно сюръективно и инъективно.

Отображение - сюръективно, если  (Im - образ) - выполняется для

Отображение - инъективно, если  - выполняется для

Задание 6

Указать базис, ранг и линейные комбинации для системы векторов:

Решение:

С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы. Для этого приведем матрицу к трапециевидному виду, число ненулевых строк в трапециевидной матрице и будет равно рангу матрицы.

первую строку домножим на (-1) и сложим с третьей и четвертой.

Сложим вторую строку с третьей домножив на (-1), и сложим вторую строку с четвертой.

Получили трапециевидную матрицу, в которой только две ненулевые строки. Значит ранг r = 2. Базис

Линейные комбинации для системы векторов:

Задание №8

Построить пространство решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными и указать какой-либо базис:

Решение:

С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы системы. Для этого приведем матрицу к трапециевидному виду, число ненулевых строк в трапециевидной матрице и будет равно рангу матрицы.

первую строку домножим на (-1) и сложим с третьей и четвертой.

Сложим вторую строку с третьей домножив на (-1), и сложим вторую строку с четвертой.

Получили трапециевидную матрицу, в которой только две ненулевые строки. Значит ранг r = 2. Число неизвестных в системе n = 4. Так как r < n, то система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от n - r = 4 - 2 = 2 параметров. Базисный минор это отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы. Пусть - базисный минор. Тогда х1 и х2 - базисные неизвестные, т. к. коэффициенты перед ними образуют базисный минор, х3 и х4 - параметры. Обозначим для удобства х3 =С1 и х4 = С2 и выразим базисные неизвестные через параметры. Так как r = 2, то достаточно взять два уравнения, соответствующие базисному минору:

Решим эту систему с помощью формул Крамера.

Тогда:

Общее решение исходной системы имеет вид:

Частные решения системы линейных уравнений получаем, придавая параметрам конкретные числовые значения. Множество решений однородной системы линейных уравнений образует линейное пространство размерности

n - r = 4 - 2 = 2, т. е. базис в этом пространстве состоит из двух линейно независимых решений. Придадим параметрам С1 и С2 поочередно следующие значения: С1 = 1 и С2 = 0 и С1 = 0 и С2 = 1, тогда получим два частных решения системы, линейно-независимых между собой,

Решения Е1 и Е2 образуют один из базисов пространства решений данной системы, которое можно записать, как  оно состоит из бесчисленного множества четверок вида , где С1 и С2 принимают произвольные значения. Размерность этого пространства равна двум.

Задание 9

Решение:

Один из корней многочлена равен -1 (нашли способом подбора). Разложим на множители:

 х+1

Один из корней многочлена  равен -1 (нашли способом подбора). Разложим на множители:

 х+1

Один из корней многочлена  равен -1 (нашли способом подбора). Разложим на множители:

 х+1

Один из корней многочлена  равен -2 (нашли способом подбора). Разложим на множители:

 х+2

Разложим многочлен  на множители

У многочлена  три различных корня: -1; -2; 3. Подставим каждый из этих корней в многочлен

Общий корень у многочленов только один: -2, значит НОД(f(x); g(x))=x+2

Задание №10

Найти остаток от деления:

Решение:

простое число, оценим остаток, при делении взяв простое число меньшей степени.