В литературе были предложены и другие варианты рекуррентных диаграмм:
· Ивански и Брадли [15] в 1998 году определили диаграмму с интервальной окрестностью:
Точки считаются рекуррентными, если попадают в интервал ограниченный внутренним () и внешним () радиусом. Авторы предложили использовать этот тип RP для изучения «интересных структур» в RP. Преимущество такого рекуррентного графика с пороговым значением коридора заключается в его повышенной устойчивости к точкам повторения. Однако такой интервальный коридор удаляет внутренние точки в широких диагональных линиях, что приводит к двум линиям вместо одной. Следовательно, такие RP не подходят для количественного анализа. Подобное использование окрестностей можно найти в алгоритме вычисления показателей Ляпунова из экспериментальных временных рядов.
· Чой с соавторами [18] в 1999 году представили перпендикулярную рекуррентную диаграмму:
В данном случае - дельта-функция. Эта рекуррентная диаграмма содержит только те точки , которые попадают в окрестности и лежат в (m-1)-мерном подпространстве, перпендикулярном траектории фазового пространства в точке . Эти точки локально соответствуют тем, которые лежат на сечении Пуанкаре. Этот критерий сильнее избавляет RP от точек повторения, основанных на движении по касательной, чем предыдущий интервальный метод. Авторами показана повышенная эффективность перпендикулярных рекуррентных диаграмм для их применения при оценке наибольшего показателя Ляпунова. Используя этот тип RP, обнаружение неустойчивых периодических орбит (если они существуют) является более надежным.
· В том же направлении развивается и изо-направленная рекуррентная диаграмма, представленная Хораем и соавторами в 2002 году.
Такие рекуррентные точки связаны с соседними траекториями, которые идут параллельно и в одном направлении. Хорай представил дополнительный изо-направленный график окрестностей, который является просто произведением между общим рекуррентным графиком и изо-направленным рекуррентным графиком
Вычисление для такой особой диаграммы проще, чем для перпендикулярной рекуррентной диаграммы. Но хотя он и лучше избавляет от ложной рекуррентности, чем обычная диаграмма, она не достигает качества перпендикулярного графика повторения. Недостатком является и дополнительный параметр T, который должен быть тщательно определен ранее (однако, похоже, что этот параметр должен быть связан с задержкой вложения).
· Оконные и мета-рекуррентные диаграммы были предложены в качестве средства исследования внешней силы или нестационарности в системе [22]. Впервые они получены путем покрытия RP квадратами (окнами) размера и усреднения точек повторения, которые содержатся в этих окнах. Следовательно, оконная рекуррентная диаграмма представляет собой матрицу и состоит из значений, которые не ограничены нулем и единицей (это предполагает представление в цветовой кодировке). Эти значения соответствуют сумме кросс-корреляции между частями с длинной , начиная с (для кросс-корреляционного интеграла):
где
Метарекуррентная диаграмма была определена в 1997 году и представляет собой матрицу расстояний, полученную из суммы взаимной корреляции:
Применяя дополнительное пороговое значение к (аналогично обычным рекуррентным диаграммам), также возможно черно-белое пунктирное представление.
Манука и Савит сделали еще один шаг вперед. Они использовали коэффициенты из суммы взаимной корреляции, чтобы сформировать метафазное пространство. Из этого метафазного пространства создается рекуррентная или неповторяющаяся диаграмма, которую можно использовать для характеристики нестационарности во временных рядах.
На рисунке 11 представлены четыре рекуррентные диаграммы, на которых отображены (слева направо, сверху вниз): обычная рекуррентная диаграмма, с фиксированной окрестностью, интервальная рекуррентная диаграмма и перпендикулярная рекуррентная диаграмма.
Рисунок 11. Стандартная рекуррентная диаграмма, рекуррентная диаграмма с фиксированной окрестностью, интервальная рекуррентная диаграмма, перпендикулярная рекуррентная диаграмма
Выбор конкретного варианта из этого разнообразия RP зависит от проблемы и вида исходных данных. Перпендикулярные RP настоятельно рекомендуются для количественного анализа, основанного на диагональных структурах, тогда как RP с интервальными значениями не подходят для этой задачи. Оконные RP подходят для визуализации поведения на больших расстояниях довольно длинных наборов данных. Если особый интерес представляет рекуррентное поведение для состояний в пределах предопределенного участка траектории фазового пространства, то тогда стоит обратиться к RP с горизонтальной главной диагональю.
Следует еще раз подчеркнуть, что рекуррентность является важной особенностью. Помимо графиков повторения, есть и другие методы, которые используют повторения. Например, рекуррентность в фазовом пространстве используется для статистики времени повторения, отображения первого возвращения, график разделения пространства-времени или в качестве меры нестационарности.
Первоначальная цель RP - визуальный осмотр траекторий фазового пространства большой размерности. Взгляд на рекуррентную диаграмму дает подсказки об эволюции этих траекторий во времени. Преимущество RP заключается в том, что они также могут применяться к довольно коротким и даже нестационарным данным.
RP показывают характерные крупномасштабные и мелкомасштабные структуры. Первые были определены Экманом как топология, а последняя как текстура. Топология даёт общее представление, которое можно охарактеризовать как однородное, периодическое (колебательное), дрейф и сдвиги.
· Однородные RP типичны для стационарных и автономных систем, в которых времена релаксации являются короткими по сравнению со временем, охватываемым RP. Примером такого RP является случайный временной ряд.
· Колебательные системы имеют RP с диагонально ориентированными периодическими рекуррентными структурами (диагональные линии, шахматные структуры). Для квазипериодических систем расстояния между диагональными линиями различны. Однако даже для тех колеблющихся систем, колебания которых не так легко распознать, RP можно использовать для нахождения их колебаний.
· Дрейф вызван системами с медленно меняющимися параметрами. Такое медленное (адиабатическое) изменение осветляет верхний левый и нижний правый углы RP.
· Резкие изменения в динамике, а также экстремальные события вызывают белые области или полосы в RP. RP предлагают легкую возможность найти и оценить экстремальные и редкие события, используя частоту их повторений.
На рисунке 12 представлена характерная топология рекуррентных диаграмм.
Рисунок 12. (A) однородная рекуррентная диаграмма (равномерно распределенный шум), (B) периодический (суперпозиционные гармонические колебания), (C) дрейф (логистическое отображение с линейно увеличивающимся членом), (D) сдвиги (броуновское движение)
Эти примеры иллюстрируют, насколько разными могут быть рекуррентные диаграммы.
При ближайшем рассмотрении RP обнаруживаются и мелкомасштабные структуры (текстура), которые представляют собой отдельные точки, диагональные линии, а также вертикальные и горизонтальные линии (комбинация вертикальных и горизонтальных линий, очевидно, образует прямоугольные группы точек повторения).
· Одиночные, изолированные точки повторения могут возникать, если состояния редки, если они не сохраняются в течение какого-то времени или если они сильно колеблются. Однако они не являются уникальным признаком случайности или шума (например, на диаграммах).
· Диагональная линия (для где - длина диагональной линии) возникает, когда сегмент траектории проходит параллельно другому сегменту, то есть траектория посещает одну и ту же область фазового пространства в разное время. Длина этой диагональной линии определяется продолжительностью подобного локального развития сегментов траектории. Направление этих диагональных структур может отличаться. Диагональные линии, параллельные главной диагонали (угол р/4) демонстрируют параллельные траектории за одно и тоже изменение во времени. Диагональные структуры, перпендикулярные главной диагонали, наоборот (зеркальные сегменты; это часто является подсказкой о неправильном вложении). Поскольку в определении показателя Ляпунова используется время параллельного прохождения траекторий, связь между диагональными линиями и показателем Ляпунова очевидна.
· Вертикальная (горизонтальная) линия (для где - длина вертикальной линии) обозначает промежуток времени, в течение которого состояние не изменяется или изменяется очень медленно. Кажется, будто положение на какое-то время застыло. Это типичное поведение ламинарных состояний (перемежаемость).
Эти мелкомасштабные структуры являются основой для количественного анализа RP.
Суммируя упомянутые пункты, можно определить следующий список наблюдений и дать их соответствующую качественную интерпретацию, как в таблице 1.
Таблица 1. Интерпретация рекуррентной диаграммы
|
Что отображено |
Интерпретация |
|
|
Однородность |
процесс явно стационарен |
|
|
Затухание в верхнем левом и нижнем правом углах |
нестационарность; процесс содержит сдвиг или дрейф |
|
|
Возникновение белых полос |
нестационарность; некоторые состояния редки или далеки от нормальных; могли возникнуть переходы |
|
|
Периодические/ квазипериодические закономерности |
цикличности в процессе; временное расстояние между периодическими структурами (например, линиями) соответствует периоду; длинные диагональные линии с разным расстоянием друг от друга показывают квазипериодический процесс |
|
|
Одиночные изолированные точки |
сильные колебаний в процессе; если возникают только отдельные изолированные точки, процесс может быть некоррелированным, случайным или даже антикоррелированным процессом |
|
|
Диагональные линии (параллельные главной диагонали) |
эволюция состояний в разное время схожа; процесс может быть детерминированным; если эти диагональные линии находятся рядом с одиночными изолированными точками, процесс может быть хаотическим (если эти диагональные линии являются периодическими, могут быть получены нестабильные периодические орбиты) |
|
|
Диагональные линии (перпендикулярные главной диагонали) |
эволюция состояний в разное время схожа, но с обратным временем; иногда это признак недостаточного вложения |
|
|
Вертикальные и горизонтальные линии / скопления |
некоторые состояния не меняются или изменяются медленно в течение некоторого времени; индикация ламинарных состояний |
|
|
В структурах имеются длинные изогнутые линии |
эволюция состояний одинакова в разные моменты времени, различия лишь в скорости изменений; динамика системы может изменяться (но стоит учесть: это не совсем верно для структур с короткими изогнутыми линиями) |
Визуальная интерпретация RP требует некоторого опыта. Изучение рекуррентных диаграмм из парадигматических систем дает хорошее введение в характерную топологию и текстуру. Тем не менее, их количественная оценка предлагает более объективный способ исследования рассматриваемой системы. Благодаря этой количественной оценке RP становятся все более и более популярными среди исследователей, которые используют RP и их методы количественной оценки для анализа данных.
Визуально RP могут дать некоторые полезные сведения о динамике динамических систем. Однако графические дисплеи с недостаточным разрешением для отображения RP имеют тот недостаток, что пользователи вынуждены субъективно и интуитивно понимать и интерпретировать шаблоны и структуры, представленные на рекуррентной диаграмме. И разные наблюдатели видят вещи по-разному. Чтобы преодолеть субъективность методологии, в начале 1990-х годов Збилут и Уэббер представили определения и процедуры для количественной оценки структур рекуррентных диаграмм. Они определили набор из пяти рекуррентных переменных, которые функционировали как меры сложности, основанные на структурировании диагональных линий в RP, и создали рекуррентный количественный анализ.
Первая мера в рекуррентном количественном анализе - доля точек повторения (percent recurrence or recurrence rate, REC or RR).
(1)
Которая просто вычисляет количество черных точек в RP, исключая главную диагональ. Она является мерой относительной плотности точек повторения в разреженной матрице и связана с определением суммы корреляции. Данная мера оценивает, насколько вероятно повторение состояния системы.
Когда RR используется в качестве оценки суммы корреляции, требуются большие сегменты данных. В длинных временных рядах вероятность обнаружения рекуррентности на рекуррентной диаграмме, а также вероятность повторения данного события может рассчитываться по следующей формуле.
(2)
Зная вероятность состояния случайного процесса для размерности m = 1, RR можно аналитически вычислить с помощью другой формулы:
(3)
Данная вероятность может использоваться для аналитического описания мер RQA для некоторых систем.
Второй мерой в RQA является процент детерминизма/предсказуемости (determinism, DET), определяемый как доля точек повторения, образующих диагональные линии.
Системы, обладающие детерминированной (подчиняющейся правилам) динамикой, характеризуются диагональными линиями, указывающими на рекуррентность состояний. Для периодических сигналов диагональные линии длинные. Для хаотических сигналов диагональные линии короткие. Для стохастических сигналов диагональные линии отсутствуют, за исключением случайных очень коротких линий повторения. DET можно интерпретировать как предсказуемость системы в большей степени для периодического поведения, чем для хаотических процессов. Но следует понимать, что DET не имеет такого же строгого значения детерминизма процесса. Параметр устанавливает нижние границы для определения линий в рекуррентной диаграмме.