Курсовая работа: Коэффициент теплопроводности

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Реферат

Реферат включает введение, основную часть из 3-х разделов, заключение и список использованных источников из 5 наименований; содержит 6 рисунков; общий объем -- 23 страницы.

Ключевые слова: твердое тело, теплопроводность, модель Эйнштейна, модель Дебая, температура Дебая, фонон, электрон, теплоемкость, длина свободного пробега, энергия Ферми, электропроводность.

Цель: систематизация основных количественных характеристик рассматриваемого явления, создание систематической базы данных.

Содержание

• Реферат
• Введение
• 1. Вывод формулы для коэффициента теплопроводности
• 2. Теплоёмкость твердых тел
• 2.1 Решеточная теплоемкость
• 2.2 Электронная теплоемкость
• 3. Теплопроводность твердых тел
• 3.1 Фононная теплопроводность
• 3.2 Электронная теплопроводность
• Заключение
• Список использованной литературы
• Введение
• Теплопроводность является одной из важнейших характеристик вещества. Коэффициент теплопроводности показывает насколько хорошо тело проводит тепло. Теплопроводность один из параметров, который характеризует эффективность работы термоэлектронного генератора (ТЭГ).
• Для изучения коэффициента теплопроводности необходимо узнать от каких величин он зависит, а также какие явления и процессы способствуют или мешают процессу переноса тепла в тех или иных твердых телах.
• 1. Вывод формулы для коэффициента теплопроводности
• Рассмотрим стационарный поток тепла q в длинном стержне с градиентом температуры:
• (1.1)
• Следует учесть, что процесс распространения тепла является случайным процессом. Механизм распространения энергии включается в себя тот факт, что на своем пути как бы испытывает многократные столкновения. Если бы тепло распространялось без столкновений, то вместо градиента на рассматриваемой длине в формуле (1.1) стояла разность температур на концах образца. Градиент температур в законе Фурье возникает потому, что теплопроводность является случайным процессом.
• Выведем формулу (1). Поток частиц, движущихся в направлении оси х, равен , где n- число молекул в единице объема, [м^-3]; при равновесии потоки в прямом и обратном направлениях одинаковы. При движении из области с температурой T+ДT в область с температурой T частица потеряет энергию, равную cДT. Разность температур ДT на интервале, равном длине свободного пробега частицы, дается выражением:
• где ф- среднее время между столкновениями, [c].
• Полный поток энергии записывается в следующем виде:
• где с-теплоемкость одной частицы, [Дж*м³⁰/К].
• где l=vф,[м];
• C-nc.[Дж/К].
• Из соотношения (4) получим:
• (5)
• Коэффициент теплопроводности описывается формулой
• (6)
• где индекс j характеризует сорт частиц, переносящих энергию,
• С-_v- теплоемкость при постоянном объеме, [Дж/К];
• v- скорость частиц, [м/с];
• l- средняя длина свободного пробега частиц, [м].
• Число 1/3 связан с усреднением по направлениям движения частиц.
• Основной вклад в теплопроводность вносят фононы и электроны. Также есть другие квазичастицы, участвующие в переносе тепла, но их вклад много меньше, чем у фононов и электронов. В зависимости от рода вещества и температуры та или иная теплопроводность оказывает большее влияние. В диэлектриках основные переносчики -- тепла- это фононы, в металлах- электроны. В полупроводниках сложнее выделить основных переносчиков тепла.

По формуле (1.6) видно, что теплопроводность зависит от теплоемкости. Поэтому чтобы понять, как коэффициент теплопроводности изменяется, необходимо рассмотреть, как меняется теплоемкость твердых тел.

2. Теплоёмкость твердых тел

2.1 Решеточная теплоемкость

Атомы твердого тела постоянно совершаю тепловые колебания. Для получения данных об этих колебаниях можно воспользоваться моделью, в которой все атомы твердого тела заменены на шарики, соединенные пружинами (рисунок 2.1.1) на расстоянии a₀ друг от друга. Так же можно считать, что каждый шарик колеблется независимо от соседних шариков. Смещение a от положения равновесия достаточно мало, чтобы был применим закон Гука. Такая модель представления колебаний называется моделью Эйнштейна.

Рисунок 1.1 Упрощенная модель твердого тела. а - Положение равновесия; б- Колебание одного атома [1]

Полная внутренняя энергия киломоля твердого вещества по модели Эйенштейна:

где - число Авогадро, [моль^-1];

h- постоянная Планка, [Дж*с];

v- частота, [с^-1];

- постоянная Больцмана, [Дж/К];

T- температура, [К].

Формула Эйнштейна для теплоемкости:

где R-универсальная газовая постоянная, [Дж/(моль*К)]

При высоких температурах получаем закон Дюлонга-Пти: C_V ?3R.

При низких температурах:

В отличии от закона Дюлонга-Пти, в котором теплоёмкость постоянна C_V?3R, формула Эйнштейна дает приближающееся к нулю значение теплоемкости при низких температурах (рисунок 2.1.2).

Рисунок 2.1.2 Измеренные и вычисленные значения теплоёмкости алюминия [2]. 1-Значения по Дюлонгу и Пти; 2-Экспериментальная кривая; 3- кривая по теории Эйнштейна

В модели Эйнштейна каждый атом колеблется независимо от соседних атомов. Чтобы учесть колебания ближайших атомов, Дебай рассмотрел твердое тело как сплошное упругое тело. В такой модели внутренняя энергия связывается не с колебаниями отдельных атомов, а со стоячими упругими волнами. Для упрощения рассмотрения взаимодействия волн в твердом теле вводят понятие фононов. Фонон является квантом колебания атомов решетки.

Полная внутренняя энергия киломоля твердого тела в модели Дебая:

где И_D- дебаевская температура, [К];

x- безразмерная величина

Теплоемкость твердого тела:

При высоких температурах

T>>И_D и ,

подставив эти выражения в (1.1.7) получим C_V ?3R

При низких температурах T<<И_D, поэтому

и

теплоемкость примет вид:

Результирующая кривая изображена на рисунке 2.1.3. Кривая теплоёмкости выравнивается при T/И_D?1, где значение C_V составляет 95% от максимального значения для T/И_D=. Расчет по модели Дебая дает высокое соответствие с результатами экспериментов.

Рисунок 2.1.3 Зависимость теплоемкости фононов от температуры по модели Дебая. [1]

Таким образом при высоких температурах фононы подчиняются законам классической физики и

,

а при низких зависимость теплоемкости от температуры определяется квантовыми эффектами и . Причина разницы между классическими и квантовыми свойствами теплоемкости в том, что при высоких температурах интервал между возможными значениями энергий мал по сравнению с , поэтому спектр практически непрерывен, но при низких температурах этот интервал велик по отношению к , что препятствует передаче энергии сверх энергии нулевых колебаний [1].

2.2 Электронная теплоемкость

Несмотря на то, что в металлах намного больше свободных электронов, чем в диэлектриках и полупроводниках, электроны оказывают малый вклад в общую теплоемкость. Это явление объясняется тем, что при нагреве металла возбуждаются и переходят на верхние уровни те электроны, которые находятся вблизи энергии Ферми (в на расстоянии порядка ). Электроны с меньшей энергией не могут поглотить достаточно энергии, чтобы перескочить лежащие выше заполненные энергетические уровни.

Для оценки теплоемкости электронов допустим, что распределение электронов по энергетическим состояниям n(е) (рисунок 2.2.1) вблизи вершины энергетического распределения прямо пропорциональна е. В этом случае число электронов N, дающих вклад в теплоемкость одного кило моля металла при температуре T, равно:

Рисунок 2.2.1 Распределение электронов по энергиям в металле при различных температурах [1]

Тогда вклад электронов во внутреннюю энергию металла:

где - число Авогадро,

_F - энергия Ферми, [Дж].

Теплоемкость электронов:

Значение электронной теплоемкости в формуле (2.2.3) отличается от классического представления

.

Решеточная теплоемкость преобладает над электронной в большом диапазоне температур. Но при очень низких температурах (T<<И_D) C_Ve становится достаточной, чтобы влиять на общую теплоемкость, так как C_Ve ~T и C_V ~T³. При очень высоких температурах (T>>И_D) решеточная теплоемкость становится постоянно C_V, в то время как C_Ve продолжает расти и вклад электронной теплоемкости в общую теплоемкость становится ощутимым.

3. Теплопроводность твердых тел

теплопроводность фононный диэлектрик твердый

3.1 Фононная теплопроводность

Фононная теплопроводность существенна в диэлектриках и полупроводниках. По формуле (1) коэффициент теплопроводности равен

где C_Vg- теплоемкость фононного газа при постоянном объеме,

v_Ф-средняя скорость фононов (при T?и_D совпадающая со скоростью звука, а при T ?и_D имеющая близкие к ней значения)

l_Ф-средняя длина свободного пробега фонона в решетке

При вычислении l_Ф необходимо учесть соударения с фононами, дефектами структуры, электронами и др.

Для осуществления теплопроводности в кристалле должен существовать механизм, обеспечивающий локальное тепловое равновесие в распределении фононов. Столкновения фононов со статическими дефектами или границами кристалла не обеспечивают установление теплового равновесия, так как энергия фононов не изменяется. Также трехфононные процессы с сохранением волнового вектора, т.е.

не изменяют полный импульс фононного газа.

Пайерс показал, что для теплопроводности важны трехфононные процессы вида:

где g- вектор обратной решетки.

Вектор обратной решетки g характерен для процессов в периодических решетках, но в модели твердого тела как непрерывной среды вектор g всегда равен 0. Процессы, в которых g?0, называются процессами переброса или U-процессы рисунок 3.1.1а). В данных процессах при столкновении двух фононов с положительными волновыми векторами относительно оси образуется фонон с отрицательным волновым вектором. Столкновения, в которых g=0, называются нормальными процессами или N-процессами (рисунок 3.1.1б).

Рисунок 3.1.1 Схемы процессов соударения фононов. а-схема нормального процесса соударения; б- схема процесса переброса [3].

Типичный случай процесса переброса изображен на рисунке 3.1.1б для случая линейной цепочки. Фонон с волновым вектором k₁ сталкивается с фононом с волновым вектором k₂. Вектор k₁+ k₂ оканчивается в обратное решетке вне первой зоны Бриллюэна (на рисунках обозначается квадратом). Но этот вектор эквивалентен вектору k₁+ k₂+g, лежащему в первой зоне. Для явление теплопроводности имеется различие между процессами, в которых вектор k₁+ k₂ лежит внутри первой зоны Бриллюэна, и процессами, в которых k₁+ k₂ лежит вне ее и нужно добавить вектор g, чтобы результирующий вектор лежал в первой зоне [3].

Если между фононами происходит взаимодействие без процессов переброса, то суммарный импульс всех фотонов сохраняется. И фононы будут переносить энергию без наличия градиента температур. Теплосопротивление обусловлено нарушением закона сохранения энергии при взаимодействии фононов, т.е. происходят процессы переброса. Для существования U-процессов, необходимо чтобы волновые векторы k₁ и k₂ были порядка g/2. Если волновые векторы k₁ и k₂ имеют меньшую величину, то не будет выполнятся закон сохранения энергии в процессах переброса.

При низких температурах число фононов, имеющих достаточную энергию, равную k_BИ/2, пропорционально exp(-вИ/(k_BT)), в=0,5-0,7. Когда при низких температурах длина свободного пробега l_ф становится сравнимой с толщиной образца, то значения l_ф зависят от толщины образца и теплопроводность становится функцией размеров образца. При T?и_D процессы переброса «вымораживаются», т.е. их вероятность стремится к нулю и фонон-фононное рассеяние оказывается неэффективным. В этом случае теплопроводность определяется рассеяние на дефектах структуры решетки, таких как вакансии, атомы замещения и внедрения, дислокации, границы зерен кристаллов, а также рассеяние на граничных поверхностях кристалла [4].

Коэффициент теплопроводности можно записать:

где D-характерный размер образца. Так как при T?и_D C_V ~T³, то л_фон ~DT³ . При высоких температурах можно допустить, что фононный газ обладает постоянной теплоёмкостью C_V~3R и фононы двигаются со скоростью звука . Относительное изменение локальной скорости звука в результате относительного расширения д решетки равно:

где v_s- средняя скорость звука, [м/с];

г-параметр Грюнайзена.

Из формулы (3) получим:

где - постоянная кристаллической решетки, [м];

d- плотность, [кг/м³]

N_ф- число фононов.

Таким образом подставив выражение (4) в выражение (2) получим:

В итоге при T ?и_D число фононов l_ф~T^-1, C?const, поэтому л_фон~T^-1.

При температурах, когда поперечный размер образца D находится между значениями длин свободного пробега для N-процессов и U- процессов, т.е.:

Так как , то процессами переброса можно пренебречь. Хотя N-процессы не влияют напрямую на теплопроводность кристалла, но их наличие влияет на длину свободного пробега для температур, характерных для неравенства (25):

Подставив выражение (26) в формулу теплопроводности (18) получим:

Примерная зависимость теплопроводности диэлектрика в широком диапазоне температур изображен сплошной кривой на рисунке 3.1.2. В области низких температур (участок 1) л~DT³. Затем начиная с температуры T₁ и заканчивая температурой T₂ (участок 2) имеем л~D²T⁸. При температурах больших, чем T₂ л~T ^-1 (участок 3). В образцах малых поперечных размеров участок 2 может отсутствовать, так как длина свободного пробега очень резко убывает с повышением температуры. Поэтому в кристаллах очень малых размеров раньше сравнивается с , чем станет меньше D. В таких образцах послу участка 1 сразу следует участок 3 и график будет иметь вид пунктирной кривой на рисунке 2.1.2 [5].