Курсовая работа: Класс периодических орбит вокруг коллинеарных точек либрации

Таблица 1

Зависимость коэффициента k_r от погрешности определения координат КА

Полученные результаты позволяют оценивать и предсказывать максимальное отклонение КА от номинальной орбиты в зависимости от погрешности определения параметров КА.

3.3 Результаты расчета направлений устойчивости и неустойчивости

Расчет направления устойчивости производился для 244 плоских орбит Ляпунова, имеющих следующие начальные координаты:

· X = X₀ км, -1200000? X₀?-10000 км;

· Y = 0 км;

· Z = 0 км.

На каждой орбите направление неустойчивости было рассчитано в 360 точках, которые описывались параметром Alpha - углом между радиус-вектором КА и осью OX в плоскости эклиптики.

По результатам расчетов была построена карта направлений устойчивости в окрестности точки либрации. Она приведена на рис. 34.

Рис. 34 Карта направлений устойчивости

По рассчитанным направлениям устойчивости можно получить направления неустойчивости, т.к. они перпендикулярны между собой. Карта направлений неустойчивости изображена на рис. 35.

Рис. 35 Карта направлений неустойчивости

Из рис. 35 видно, что направление неустойчивости зависит от положения КА, поэтому совершать импульсы коррекции в постоянном направлении (например, в направлении оси Солнце-Земля) невыгодно. Карта направлений устойчивости иллюстрирует, в каких направлениях нельзя исполнять импульсы коррекции. В частности, для некоторых точек направление оси Солнце-Земля является направлением устойчивости, т.е. в данном направлении КА неуправляем.

3.3 Интерполяция направления неустойчивости

Зависимость направления неустойчивости от координат X, Y КА образует поверхность, проекции которой представлены на рис. 36-38.

Рис. 36 Точки, для которых рассчитано направление неустойчивости

Рис. 37 Зависимость направления неустойчивости от координаты X

Рисунок 38 Зависимость направления неустойчивости от координаты Y

Для использования этих данных при моделировании движения КА необходимо произвести их интерполяцию. Для этого была разработана функция Matlab. Входными параметрами данной функции являются текущие координаты X, Y КА и угол между радиус-вектором КА и осью X в плоскости эклиптики (Alpha). Выходной параметр - это направление неустойчивости в точке с координатами X, Y.

Точки, для которых рассчитано направление неустойчивости, образуют при проекции на плоскость XY 360 лучей. По параметру Alpha в функции определяются 2 луча, между которыми лежит исследуемая точка. Затем на этих лучах ищутся 3 ближайшие к ней точки, через которые проводится плоскость, после чего в уравнение данной плоскости подставляются координаты исследуемой точки. Полученное значение является интерполированным значением направления неустойчивости.

3.5 Зависимость направления неустойчивости от координаты Z

Орбиты, для которых были рассчитаны направления неустойчивости в предыдущем разделе, лежат в плоскости эклиптики (плоскости XY). Однако также необходимо исследовать, влияет ли координата Z на направление неустойчивости и если влияет, то насколько велико отклонение рассчитанного направления неустойчивости от аппроксимированного с использованием данных из раздела 4.3.

Для исследования зависимости направления неустойчивости от координаты Z по методике, описанной в 4.2, было рассчитано направление устойчивости для точек 57 гало-орбит с различными амплитудами (начальная координата X КА лежит в пределах от -570000 км до -10000 км, начальные координаты КА однозначно определяют гало-орбиту). На рис. 39-41 представлены проекции полученной поверхности на различные плоскости.

Рис. 39 Зависимость направления неустойчивости от координаты X

Рис. 40 Зависимость направления неустойчивости от координаты Y

Рис. 41 Зависимость направления неустойчивости от координаты Z

Из рис. 41 видно, что координата Z значительно влияет на направление неустойчивости. Это означает, что использование данных о направлении неустойчивости из п. 4.3 при моделировании движения КА на гало-орбите менее эффективно. Также был произведен анализ отклонения рассчитанного направления неустойчивости от направления неустойчивости, полученного для плоских орбит в разделе 4.3. Наибольшее отклонение при таком сравнении составляет 12°. Данное отклонение является существенным. Для моделирования движения КА на гало-орбите с исполнением корректирующих импульсов вдоль направления неустойчивости требуется производить интерполяцию данных о направлении неустойчивости, рассчитанных для гало-орбит (т.е. с учетом зависимости от координаты Z).

Для реализации данной интерполяции удобно рассматривать зависимость направления неустойчивости от параметра Alpha, а не координат X и Y. На рис. 42 представлены эти зависимости для гало-орбит с различными начальными координатами.

Рис. 42 Зависимость направления неустойчивости от положения КА на орбите

Интерполяция полученных данных производилась в Matlab. Входными параметрами функции являются начальная координата X КА и его текущее положение на орбите (Alpha). По начальной координате X КА находятся ближайшие орбиты, для которых рассчитано направление неустойчивости. По текущему значению параметра Alpha находятся ближайшие к нему точки на кривых, соответствующих известным орбитам. Затем по полученным 4 точкам проводится линейная интерполяция. Полученное значение является интерполированным направлением неустойчивости для исследуемой точки и подается на выход функции.

Для проверки данной интерполяции были рассчитаны направления неустойчивости для гало-орбит со следующими начальными координатами:

· X = -277549 км, Y = 0 км, Z = 200000 км;

· X = -373454 км, Y = 0 км, Z = 400000 км;

· X = -566256 км, Y = 0 км, Z = 600000 км;

Затем для 360 точек каждой орбиты были интерполированы направления неустойчивости исходя из данных, полученных выше, после чего была вычислена разница между рассчитанным значением направления неустойчивости и интерполированным Наибольшие отклонения для данных орбит составили 0.008°, 0.0097° и 0.007° соответственно.

3.6 Имитационное моделирование движения КА на гало-орбите с учетом направления неустойчивости

Направление неустойчивости является направлением, исполнение импульса в котором наиболее эффективно. На основе методики, изложенной в разделе 4, был создан сценарий GMAT, позволяющий моделировать движение КА на гало-орбите с исполнением импульсов в направлении неустойчивости.

Как было сказано выше, в реальности существуют технические ограничения на точность определения вектора состояния КА и выдачу корректирующего импульса. Поэтому при планировании миссии важно рассчитать, как изменится импульс после учета технических ограничений. В табл. 2 приведены результаты расчетов для различных гало-орбит с начальными координатами Z=200000 км, 400000 км и 600000 км и различными направлениями выдачи импульса (в=0°, в=28°, в совпадает с направлением неустойчивости, рассчитанном в п.4.2, в совпадает с направлением неустойчивости, рассчитанном в п.4.4). Считалось, что импульс совершается 1 раз в 40 дней, всего было исполнено 100 коррекций.

Таблица 2

Суммарный импульс для различных направлений выдачи импульса

Из табл. 2 видно, что наименее эффективно совершать импульсы в направлении оси Солнце-Земля. Использование интерполяции направления неустойчивости, описанной в п. 4.2, несмотря на то что она не учитывает зависимость направления неустойчивости от координаты Z, позволяет достичь заметной экономии суммарного импульса. Использование направления неустойчивости, рассчитанного для гало-орбит (п. 4.4) позволяет достичь существенной экономии топлива (по сравнению с исполнением корректирующих импульсов в направлении Солнце-Земля): 16%, 18% и 22% для орбит с начальной координатой Z = 200000 км, Z = 400000 км, Z = 600000 км соответственно.

Также вызывает интерес исследование гало-орбит с большими амплитудами. В частности, через несколько лет планируется запуск КА «Спектр-М» («Миллиметрон»). Этот аппарат является космическим комплексом для астрофизических исследований в миллиметровом, субмиллиметровом и инфракрасном диапазонах электромагнитного спектра. «Миллиметрон» планируется разместить на квазипериодической орбите вокруг точки L₂ системы Солнце-Земля.

Для успешной реализации научной миссии проекта требуется, чтобы аппарат находился на орбите, обеспечивающей выход КА из плоскости эклиптики более чем на 1 млн км [21]. Также для корректной работы аппарата требуется, чтобы аппарат пребывал в конусе тени Земли не более одного часа [19]. В связи с этими ограничениями разработчиками миссии было решено вывести КА на гало-орбиту.

Разработанные в ходе данного исследования алгоритмы позволяют рассчитать номинальную орбиту с достаточно большой амплитудой по оси Z, исследовать направления неустойчивости в различных точках орбиты, а также рассчитать орбиту с учетом погрешности определения параметров КА и выдачи корректирующего импульса.

На рис. 43-45 представлены проекции движения КА на гало-орбите. Данная орбита обеспечивает выход аппарата из плоскости эклиптики на 1019017 км в отрицательном направлении оси Z и на 667608 км в положительном направлении оси Z.

Рис. 43 Проекция движения КА на гало-орбите на плоскость XY

Рис. 44 Проекция движения КА на гало-орбите на плоскость YZ

Рис. 45 Проекция движения КА на гало-орбите на плоскость XZ

Для данной орбиты было рассчитано направление неустойчивости. Как и в случае, описанном в разделе 4, направление неустойчивости было рассчитано для 360 точек, каждая из которых соответствует значению параметра Alpha. На рис. 46 представлена зависимость направления неустойчивости от параметра Alpha.

Рис. 46 Направления устойчивости и неустойчивости

Полученные данные были аппроксимированы следующим рядом Фурье, где б - текущее значение параметра Alpha КА:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Данная аппроксимация была проверена подстановкой известных точек в (7). Наибольшее отклонение составило 1,06°.

Также было проведено моделирование движения на исследуемой гало-орбите с учетом неточности определения параметров КА и выдачи импульса. Считалось, что вектор положения КА определяется с погрешностью 5 км, вектор скорости КА определяется с погрешностью 15 см/с и погрешность выдачи импульса составляет 6%. Импульс исполнялся один раз в 40 дней. В табл. 3 приведены результаты расчета суммарного импульса миссии протяженностью 4000 дней для различных направлений исполнения импульса: в направлении неустойчивости, в направлении Солнце-Земля, в среднем направлении устойчивости (28°). Из данной таблицы видно, что исполнение коррекций в направлении неустойчивости дает существенное сокращение затрат топлива (16% по сравнению с исполнением импульсов в направлении Солнце-Земля).

Таблица 3

Зависимость суммарного импульса от направления исполнения импульса

Несмотря на то что данная орбита удовлетворяет описанным в [20] ограничениям, наложенным на орбиту для миссии «Миллиметрон», важным вопросом остается возможность перелета на данную орбиту при старте с космодрома Байконур. Расчет отлетной орбиты с Земли не входит в задачи данного исследования. В связи с этим дальнейшая работа для КА «Спектр-М» должна быть связана с расчетом отлетной орбиты от Земли и, если перелет к начальной точке данной орбиты невозможен, поиск другой ограниченной орбиты, удовлетворяющей ограничениям.