Введение
Точками либрации в ограниченной задаче трех тел, описывающей движение тела малой массы в гравитационном поле, создаваемом двумя массивными телами, вращающимися вокруг общего барицентра, называются точки равновесия тела с малой массой (космического аппарата) относительно более массивных тел (Солнца и Земли). Существуют 5 точек либрации. 3 из них называются коллинеарными и расположены на прямой, соединяющей массивные тела. 2 точки расположены на орбите одного из массивных тел (Земли). Точка L2 расположена на прямой, соединяющей Солнце и Землю, за Землей.
Рис. 1 Точки либрации
Гало-орбитами называется класс периодических орбит вокруг коллинеарных точек либрации. Они образуются при совпадении периодов обращения космического аппарата (КА) вокруг точки либрации в плоскости эклиптики и в плоскости, перпендикулярной плоскости эклиптики. Периоды обращения КА определяются амплитудами орбиты.
Гало-орбиты впервые были предложены Робертом Фаркуаром для программы Аполлон в его диссертации в 1968 г. [1]. Он предложил поместить КА на гало-орбиту вокруг точки L2 системы Земля-Луна для связи с аппаратом, находящимся на обратной стороне Луны. Хотя данная концепция не была реализована, впоследствии были запущены многие миссии, включающие в себя гало-орбиты. Наиболее известными из них являются:
· ISEE-3, ACE - запущены на гало-орбиты вокруг точки L1 системы Солнце-Земля;
· Herschel, Plank - запущены на гало-орбиты вокруг точки L2 системы Солнце-Земля.
Гало-орбиты обладают рядом преимуществ по сравнению с другими ограниченными орбитами вокруг точек либрации. В частности, КА, находящийся на гало-орбите вокруг точки L1, имеет возможность наблюдать пространство между Солнцем и Землей со стороны Солнца. При этом достаточно большая амплитуда орбиты позволит КА не терять связь с Землей. Аналогичное преимущество есть и у орбит вокруг точки L2 - при достаточно большой амплитуде аппарат не будет попадать в тень Земли, т.е. не будет возникать перебоев с энергообеспечением из-за неактивности солнечных батарей.
Движение вокруг точек либрации является неустойчивым, т.е. малое отклонение от начальных параметров приводит к тому, что аппарат сходит с гало-орбиты и впоследствии выходит из окрестности точки либрации. Для удержания аппарата на орбите используются т.н. корректирующие импульсы (импульсы коррекции). Основная задача исполнения этих импульсов - нивелирование заранее неизвестной возрастающей компоненты движения.
Комплекс корректирующих импульсов с учетом места их исполнения, периодичности и т.д. называется стратегией удержания КА на гало-орбите (station-keeping). Так же под стратегией понимается непосредственно методика расчета импульсов. Разработка стратегии удержания является одной из важнейших задач при планировании миссии.
Данная работа посвящена разработке и анализу стратегии удержания КА на гало-орбите вокруг точки L2 системы Солнце-Земля.
Целью данной работы является разработка и реализация стратегии удержания КА и моделирование движения КА на гало-орбите.
Задачами данной работы являются:
· Создание программного обеспечения (ПО) для расчета движения КА на гало-орбите;
· Моделирование движения КА на гало-орбитах с различными амплитудами с использованием разработанного ПО;
· Получение зависимости между энергетикой поддержания орбиты и направлением исполнения импульса для различных амплитуд орбит и анализ полученных зависимостей;
· Расчет направления неустойчивости и применение полученных результатов при имитационном моделировании движения КА на гало-орбите.
Результаты данной работы, в частности, разработанное ПО могут быть применены для моделирования как гало-орбит, так и других ограниченных орбит вокруг точки L2 системы Солнце-Земля.
1. Современные методики удержания космического аппарата на ограниченной орбите вокруг точки L2 системы Солнце-Земля
космический аппарата гало орбита
Стратегиям удержания КА на ограниченных орбитах (гало-орбитах, орбитах Лиссажу и прочих) посвящены многие статьи. В данном разделе приведены краткие сведения о существующих стратегиях удержания КА и методиках расчета величин корректирующих импульсов.
Первоначальным этапом планирования миссии к точке либрации является расчет т.н. номинальной орбиты КА. Как правило, для описания движения КА по номинальной орбите используются упрощенные модели. Так, в статьях [1]-[11] приводится ограниченная круговая задача трех тел. В статьях [1]-[3] приводятся уравнения движения КА в инерциальной системе координат; в статьях [1]-[7] также приводятся уравнения движения КА в системе координат, связанной с соответствующей точкой либрации. На начальном этапе исследования наибольший интерес вызывает линеаризованная система уравнений движения; такие уравнения приведены в статьях [1], [8]-[10]. Более подробно ограниченная задача трех тел и уравнения движения КА на гало-орбите будут рассмотрены в соответствующем разделе.
В [11] приводится классификация стратегий удержания КА на гало-орбите вокруг точки L1 системы Солнце-Земля. Стратегии коррекции разделяются на два класса: loose control strategy (техника свободного контроля), в которой варьируется только одна компонента импульса с целью приближения орбиты КА к номинальной и tight control technique (техника строгого контроля), подразумевающая варьирование двух и более компонент корректирующего импульса.
В качестве примера tight control technique в [11] приводится методика расчета импульсов коррекции для КА ISEE-3. На первом этапе обрабатывались данные о траектории КА за время, прошедшее с момента выполнения последнего маневра. Затем орбита аппарата численно интегрировалась на один оборот вперед (примерно 178 дней) в реальной модели сил и в 8 равномерно распределенных точках вычислялось расстояние между номинальной орбитой и полученной. На следующем этапе сумма полученных расстояний минимизировалась за счет варьирования компонент вектора импульса. Эта процедура производилась для различных дат, после чего для исполнения импульса выбиралась дата, которой соответствовали минимальные затраты топлива (хотя иногда, по техническим причинам, выбирался день с неоптимальной величиной импульса).
Всего в ходе миссии было выполнено 15 импульсов коррекции. Импульсы совершались в среднем один раз в 82 дня, а суммарный импульс составил 30 м/с. Согласно [11], суммарный импульс мог бы быть меньше, но т.к. ISEE-3 был первым КА, выведенным на гало-орбиту, ученые, управлявшие его движением, стремились сделать минимальное количество маневров с минимальным риском.
В качестве примера loose control strategy в [11] описана методика, с помощью которой рассчитывались корректирующие импульсы для КА SOHO. Использованная методика называется orbital energy balancing. Ее суть заключается в том, что если энергия аппарата слишком велика (т.е. был исполнен слишком большой импульс), он отклоняется от номинальной орбиты в одну сторону, а если слишком мала - в другую. В данном случае уравнения движения КА интегрировались до оси Солнце-Земля. В процессе управления КА в течение миссии было добавлено условие, чтобы аппарат двигался перпендикулярно данной оси при ее пересечении. Импульсы исполнялись только вдоль прямой Солнце-Земля (в отрицательном или положительном направлении). Единственным варьируемым параметром была величина импульса коррекции (с учетом знака). В результате описанная аппаратом траектория была не периодической гало-орбитой, а квазигало-орбитой. С момента выхода КА на орбиту в марте 1996 было исполнено 9 корректирующих импульсов, не считая экстренные маневры, выполненные в период с сентября 1998 по март 1999 (в тот момент аппарат сошел с гало-орбиты и экстренные маневры выполнялись для его возвращения). Суммарный импульс, без учета экстренных маневров, составил чуть более 5 м/с. Также стратегия удержания КА SOHO была описана в статье [12].
В [13] приведен аналитический подход к расчету величин корректирующих импульсов. В статье приведены 2 основные методики: target point approach (приближение целевой точкой) и Floquet mode approach (приближение модами Флоке). Несмотря на то что статья посвящена орбитам вокруг точки L2 системы Земля-Луна, данные методики применимы и для орбит вокруг точек либрации системы Солнце-Земля.
Методика target point approach, впервые описанная в [15], использует штрафную функцию, которая зависит от затрат топлива и от отклонения параметров КА от номинальных. Задача метода состоит в минимизации штрафной функции. Для этой методики вводится ряд ограничений. Во-первых, между импульсами должен быть перерыв не менее некоторого заданного времени. Во-вторых, отклонение от номинальной траектории также должно быть не меньше заданного. В-третьих, при моделировании процесса удержания КА, величины отклонений от номинальной траектории сравниваются между собой и если отклонение уменьшается, величина импульса не рассчитывается. Для успешного расчета величины импульса требуется выполнение всех трех условий.
Вторая методика, Floquet mode approach, впервые предложенная в [16], описана в [13] в случае ограниченной круговой задачи трех тел. Для уравнений движения КА выводится матрица монодромии, собственным числам и векторам которой соответствуют различные характеристики. Наиболее важной характеристикой, с точки зрения управления КА, является направление неустойчивости. Оно совпадает с первым собственным вектором матрицы монодромии. Импульсы, совершенные в направлении неустойчивости, являются наиболее эффективными. Соответственно, расчет величин импульса коррекции в дальнейшем ведется в предположении, что импульсы совершаются вдоль направления неустойчивости. Как и в предыдущем случае, для данной методики вводятся ограничения на минимальный интервал между импульсами и минимальное отклонение от номинальной орбиты.
Приведенная в [14] методика была разработана для миссии ARTEMIS. В данной статье также рассчитываются направления устойчивости и неустойчивости с использованием матрицы монодромии. Для удержания КА на орбите используется т.н. optimal continuation strategy (стратегия оптимального продолжения). Она разработана для удержания КА на гало-орбите вокруг точки L2 системы Земля-Луна на протяжении 1-2 оборотов. Это достигается благодаря подбору такой величины импульса, при которой выполняются заданные оператором условия (например, определенная координата и скорость по одной из осей) при достижении аппаратом плоскости орбиты Луны.
При разработке стратегии удержания КА на гало-орбите важно знать направление неустойчивости, т.к. импульсы в этом направлении являются наиболее эффективными. В литературе предлагается методика расчета направления неустойчивости, связанная с матрицей монодромии уравнений движения и модами Флоке. Данный метод был описан в [17]-[19].
2. Стратегия удержания КА на гало-орбите вокруг точки L2 системы Солнце-Земля
2.1 Математическая модель
Для описания движения КА по ограниченной орбите введем вращающуюся систему координат, связанную с точкой L2. Центр системы координат расположен в точке L2, ось X совпадает с осью Солнце-Земля и направлена от Солнца к Земле, ось Z направлена в северный полюс эклиптики, ось Y дополняет систему координат до правой тройки. Иллюстрация системы координат приведена на рис. 2. Далее в работе всегда подразумевается данная система координат, если не оговорено иное.
Рис. 2 Вращающаяся система координат, связанная с точкой L2
Движение КА в системе n тел в инерциальной системе координат описывается следующими уравнениями:
(1)
где n - количество притягивающих центров, G - гравитационная постоянная, R - радиус-вектор КА, mi - масса i-го тела, Ri - радиус-вектор i-го тела.
Во вращающейся системе координат, при переходе к ограниченной задаче трех тел () уравнения (1) могут быть приведены к виду [1]:
(2)
где c2 - параметр, зависящий от масс тел, ax, ay, az - возмущающие ускорения, которые являются функциями координат КА и эксцентриситета орбиты КА.
Уравнения (2) допускают линеаризацию в окрестности точки L2. Тогда они принимают следующий вид [2]:
(3)
Система (3) имеет следующее решение:
(4)
где , , , , , - фаза колебаний в плоскости XY, - фаза колебаний по оси Z. Коэффициенты , , , и фазы , зависят от начальных условий.
Решения и представляют собой линейную комбинацию трех компонент: ограниченной (и ), экспоненциально возрастающей и убывающей к нулю . Будем предполагать, что и решение системы (1), записанной во вращающейся системе координат, связанной с точкой L2, также представимо в виде линейной комбинации ограниченной, возрастающей и убывающей компонент:
где , - возрастающие компоненты, , - убывающие компоненты, , , - ограниченные компоненты.