Материал: Класифікація неперервних функцій за порядками їх найкращих наближень

Доведення. Користуючись (3.2) і (3.3) маємо наступне

і лема доведена.

Теорема 3.1. Нехай

  (3.5)

Доведення. Нехай послідовність ядер   задовольняє всі умови леми 1. Покладемо

Видно, що  є тригонометричний поліном порядку не вище  Оцінимо . Маємо

Тому

Оцінимо останній інтеграл. Вважаючи в нерівності (1.6) , отримаємо, що

Звідси і із (3.4) слідує:

Підставивши цю оцінку в (3.6), отримаємо твердження теореми.

Наслідок. Нехай  - натуральне число,  - ціле невід’ємне. Тоді

Дійсно, згідно (1.11),

Використання теореми 3.1 дає (3.7).

4.      Теорема С.Н. Бернштейна

Теорема 4.1. Нехай  і  - її найкраще наближення поліномами із . Якщо при всіх натуральних  

тоді при  можна стверджувати, що

А якщо , то

 ^*).

Доведення. Для будь-якого натурального  існує тригонометричний поліном  порядку не вище , для якого

Покладемо

Легко побачити, що

або

Візьмемо будь-яке число , для якого

і нехай  Тоді

Нехай натуральне число  підібрано із умови

(очевидно, ). В такому разі

Дамо оцінку поліному

Звідси

отже,

де покладемо для кратності

З іншого боку,  є тригонометричний поліном порядку не вище . Отже, для його похідної на основі нерівності С. Н. Бернштейна^*) справедлива оцінка

На основі формули Лагранжа

Тому

Зважаючи на те що  і  об’єднані єдиною умовою , остання нерівність показує, що

де . Помітно, що, в силу (4.1)

надамо останній нерівності вигляд

До цих пір міркування однаково відносились як до випадку, коли  так і до того, коли  Тепер нам треба розрізнити ці випадки.

Якщо  то

Але за (4.1)

Отже,

і

Інакше кажучи,

А це означає, що .

Якщо ж , то нерівність (4.2) має вигляд

Із нерівності  випливає, що

а так як  (або ), то

звідки

Позначимо через  число, більше, ніж  і , знаходимо

Що і завершує доведення теореми.

5.      Теорема про рівність класу Ліпшиця і класу Діціана і Тотіка

Розглянемо клас Ліпшиця порядка :

Нехай функція ,  :

Де

Зробимо заміну змінних. Нехай , де .

Функція .

За теоремою Джексона (2.1) існує тригонометричний поліном , порядку не вище , для якого справедлива оцінка:

Відомо, якщо функція  - парна, то тригонометричний поліном  - також буде парним. Тоді він матиме вигляд:

Доведемо, що поліном  можна представити у вигляді:

Для доведення рівності (5.3) скористаємося відомими тригонометричними формулами:

Із формули (5.5) справедлива наступна лема.

З формули (5.4) та леми 5.1 отримаємо:

Рівності (5.6) доводить справедливість рівності (5.3).

Отже, виходячи із оцінки (5.1) та рівності (5.3), отримаємо наступне:

повернемося до заміни :

Далі, застосуємо обернену теорему Діціана і Тотіка:

Отже, ми довели наступне, що якщо , тоді  також. (5.10)

Доведемо це твердження у зворотній бік. Нехай відомо, що

Тоді, за прямою теоремою Діціана і Тотіка, існує поліном , для якого виконується нерівність:

Знову, вводимо заміну: , де .

З (5.11) одержимо

Застосувавши обернену теорему Бернштейна, отримаємо те, що

Тобто, показали, якщо , то   (5.14)

Отже, можна зробити висновок. Із тверджень (5.10) і (5.14) випливає наступна рівність

.

Тобто ми довели, що клас Ліпшиця дорівнює класу Діціана і Тотіка.

Висновок

У дипломній роботі було розглянуто означення модуля неперервності та його властивості, а також властивості введені Діціаном і Тотіка. Були згадані такі теореми: теорема Джексона, узагальнена теорема Джексона, теорема Діціана і Тотіка, теорема С. Н. Бернштейна. Використовуючи властивості модулів неперервності і застосовуючи прямі і обернені теореми Джексона і Бернштейна та Діціана і Тотіка, у дипломній роботі встановлено зв’язок між класами Діціана-Тотіка і деякими класами, що задовольняють умову Ліпшиця.