Материал: Класифікація неперервних функцій за порядками їх найкращих наближень

і

Доведення. Покладемо

звідки

Звідси при  випливає (1.2), а при  - (1.3).

Вважаючи в (1.3) , знаходимо, що

Із останньої нерівності видно, що для будь-якого натурального

Лема 1.3. Для будь-якого натурального  модуль неперервності -того порядку  є неперервною функцією від .

Доведення. Нехай  Маємо

Звідси

і

Таким чином,

і так як  при , то звідси випливає неперервність функції , і лема доведена.

Лема 1.4. Нехай  і  - натуральні числа. Тоді для будь-якого

Доведення. Індукція по  дає формулу

Звідси

і

Лема 1.5. Нехай  - натуральне число   Тоді

Якщо, крім того, , то

Доведення. Доведемо спочатку нерівність (1.6). Ця нерівність очевидна для . Розглянемо . Знайдемо натуральне число  із умов

Тоді , і так як  є не спадаючою функцією від , то, приймаючи до уваги (1.5) і (1.8), отримаємо

і нерівність (1.6) доведена.

Нерівність (1.7) випливає із (1.6), так як  для

Нерівність (1.7) показує, що для будь-якого  і будь-якого натурального

Лема 1.6. Нехай  має -ту похідну  Тоді

і для будь-якого натурального

Доведення. Обидві нерівності безпосередньо випливають із формули

Означення 1.6. Нехай . Тоді модуль неперервності

де

Означення 1.7. Нехай  - клас функцій, що визначені на сегменті  і задовольняють умову Діціана і Тотіка

Теорема 1.1. Діціана і Тотіка.[3]. Для того, щоб  необхідно і достатньо, щоб

2.      Теорема Джексона

Фундаментальне значення для конструктивної теорії функцій мало відкриття Джексоном можливості суттєвого уточнення класичної теореми Вейєрштраса і нове формулювання її у вигляді нерівності.

Теорема 2.1. Для будь-якої функції  справедлива оцінка

Доведення. Для доведення скористаємося наступною теоремою.

Теорема 2.2. Нехай функція  і має модуль неперервності  Покладемо

Тоді при всіх  справедлива оцінка

Але так як  , то тим більше

Якщо  - парне натуральне число, , то

Якщо ж  число непарне,  то

Отже, оцінка (1) справедлива для будь-якого натурального

Зважаючи на те, що для будь якої функції із

зрозуміло, що доведена теорема Джексона містить у собі другу теорему Вейєрштраса.

Наслідок 2.1. Якщо  

В свою чергу звідси маємо

Наслідок 2.2. Якщо у  існує обмежена похідно   то

Дійсно, за цих умов

3.      Узагальнення теореми Джексона

У 1950 році С. Б. Стечкіним була опублікована стаття, у якій один із параграфів присвяченій узагальненню теореми Джексона. Як відомо, Джексон довів наступну теорему: якщо  має неперервну -у похідну , то

Таким чином, теорема Джексона дає оцінку зверху для найкращих наближень, якщо відомі диференційовані властивості функції, що апроксимується.

В 1947 році з’явилася робота С. Н. Бернштейна. Одна із теорем цієї роботи містить у якості наслідку таку пропозицію: нехай

Тоді

С.Б. Стечкіним доведено наступне узагальнення цих теорем:

Було отримано невелике посилення теореми Джексона о найкращих наближеннях періодичних функцій тригонометричними поліномами.

Лема 3.1. Нехай дано натуральне число . Існує послідовність ядер , де  є тригонометричний поліном порядку не вище , який задовольняє умови:

У якості ядер  можна взяти ядра Джексона достатньо високої степені, тобто покласти

де  - ціле, не залежить від ,  натуральне  визначається із нерівності

а  обирається так, щоб виконувалось нормування (1).

Лема 3.2. Якщо послідовність ядер  задовольняє усім умовам попередньої леми, то