Тогда подставим длину окружности в (29) получим формулу кинетической индуктивности на квадрат.
(30)
Подставив магнитную постоянную м0 = 4р . Получим формулу
(31)
В нашем эксперименте мы будем работать с тонкими пленками NbN, так что теперь выведем формулу кинетической индуктивности для тонкой пленки, при условии, что толщина пленки d<<л . Соответственно ток будет распределен по толщине однородно. В книге [8] была выведена кинетическая индуктивность тонкой пленки
(32)
Сделаем примерные оценки кинетической индуктивности на квадрат для тонких пленок NbN.
Величина л для тонких пленок NbN варьируется в диапазоне (200-600нм) в зависимости от толщины пленки[9]. Тогда,например, для пленки толщиной d = 400нм и л = 400нм получаем
Lk? = 5мкГн
Однако как показано в формуле 25 и статьях [8] и [9], л также зависит от температуры и это надо учитывать при расчётах.
Вывод формулы кинетической индуктивности с использованием теории Гинзубурга- Ландау
В 1950-ых годах была построена первая феноменологическая теория сверхпроводимости - теория Гинзбурга-Ландау[10]. В теории Лондонов совсем не учитывались квантовые эффекты сверхпроводимости.
Также в теории Лондонов не учитывался тот факт, что сверхпроводящие состояние более упорядоченно, чем обычное и переход из одного состояние в другое можно рассматривать как фазовый переход второго рода.
В квантовой физике принято описывать микроскопические с помощью волновых функций электронов Ш. Объединив эти величины они ввели функцию Ш(r) и рассматривали это как параметр порядка. В основу это теории легли работы Л.Д. Ландау о теории фазовых переходах. Так как данная теории описывает процесс сверхпроводимости как переход второго рода, то и область применения данной теории ограничена и рассматривает процессы вблизи окрестности Tc.
Нормировка функции порядка описывается формулой
(33)
Тогда разложение свободной энергии по степеням для однородного сверхпроводника(без внешнего магнитного поля) в близи Tc раскладывается[10]
(34)
Теперь выведем формулы кинетической индуктивности с использованием теории Гинзбурга - Ландау.
Запишем уравнение 28 и распишем л [11]
(35)
Где ns - плотность куперовских пар
С учетом теории ГЛ распишем зависимость ns от температуры T[11]
(36)
Решив уравнения (35) и (36) с учетом малых токов, получим
(37)
Подставив уравнение (36) получим
(38)
Где ns(0) и Lk(0) - плотность куперовских пар и кинетическая индуктивность при T близкой к 0 градусов. Данное приближение (37) работает только для температур близких к Tc и при токе смещения I = 0.
Помимо зависимости от температуры, ns также зависит от тока. Данную зависимость можно вывести аналитически, применяя теорию Гинзбурга- Ландау и на основе работе [11] и [12]. В соответствии с работой [12], выразим ns через I и kо, где k - градиент фазы вдоль длины сверхпроводящей пленки, о - сверхпроводящая длина когерентности. Тогда подставляя это в уравнение (38) с учетом разложения из работы [13], получаем
(39)
(40)
(41)
Стоит заметить, что данные выражения тоже выведены используя теорию Гинзбурга - Ландау, а значит, применимы в окрестности T=Tc
Вывод формулы кинетической индуктивности с использованием теории Бардина, Купера, Шриффера
В 1956 году Леон Купер ввел такое понятие как куперовская пара. Он предположил, что в металлах два электрона могут находиться в связанном состоянии по средство фононого взаимодействия. И могут быть описаны как одна частица с m* = 2me и зарядом q* = 2e.
На основе этой теории была построена микроскопическая теория сверхпроводимости - теория Бардина, Купера, Шриффера(БКШ теория)[14]. В 1972 году авторы теории получили за нее Нобелевскую премию.
Теория БКШ является первой не феноменологической теорией сверхпроводимости, так как смогла объяснить причины данного явления.
Поэтому теперь выведем формулу для нахождения кинетической индуктивности, используя теорию БКШ. Ранее при рассмотрении двужидкостной модели сверхпроводимости, что кинетическая индуктивность связана с комплексной проводимостью. Распишем проводимость с использованием теории БКШ по формуле Матиса- Бардина[11] для частот(hf <<kbT)
(42)
Где уi - мнимая часть проводимости, уn - проводимость в нормальном состоянии, kb - постоянная Больцмана, h - постоянная планка, Д(T) -температурно зависимая щель сверхпроводника. С учетом уравнения (20) и (35) получаем
(43)
Где R? - сопротивление на квадрат в нормальном состоянии. На основании [9] при температурах T<<Tc получаем Д(T) Д(0)*1.74(1-T/Tc), где Д(0) = 1.76kTc[12]. Для других случаев Д(T) - должна быть вычислена аналитически.
В главе 1.3.1 вводилась понятие индуктивность для квадрат. Формулу 43 часто записывают как индуктивность на квадрат. Тогда при условии, что
T<<Tc пренебрегают гиперболическим тангенсом и получают формулу (44)[13]
(44)
Глава 2. Экспериментальная часть
2.1 Описание образца
В данной работе исследовался сверхпроводящая наноструктура изготовленная из нитрида ниобия(NbN). Плёнка NbN осаждалась на подложку из кремния (Si), поверх которой был нанесён слой Si3N4.
Рис. 2. Чертеж структуры.
Характеристики пленки.
Сопротивление на квадрат - Rs ~= 670 Ом/кв.
Критическая температура Tc = 7.66 K
dTc = 0.53 K
Коэффициент металличности K = 0.65
Данные образцы были изготовлены научной группой Гольцмана Г.Н на базовой кафедре МИЭМ НИУ ВШЭ ЗАО «Сконтел».
Структура представляет собой два сверхпроводящих меандра, соединенные тонкой перемычкой, также рядом с перемычкой находится затвором.
Целью данной работы является исследование каждого из меандров в отдельности.
Описание меандра
Схема разводки контактов образца показана на рисунке 3
Рис 3. Схема разводки образца
Размеры меандра представлены на рисунке 4.
Рис. 4. Размеры меандра.
Длина одного меандра l = 500мкм
Ширина полоски меандра w = 100нм
2.2 Постановка задачи эксперимента
В данной работе было поставлено несколько основных задач:
1) Подготовка экспериментальной вставки для работы с образцом при низких температурах
2) Моделирование эквивалентной электрической схемы
3) Калибровка измерительных приборов
4) Написание ПО для измерительных приборов
5) Измерение вольт-амперных характеристик данных структур
6) Измерение АЧХ данных структур
2.3 Подготовка экспериментальной вставки
В данном исследовании мы исследуем сверхпроводящие структуры, поэтому для проведения эксперимента нужны специальные криогенные вставки, которые могут работать при сверхнизких температурах и обеспечивать хороший вакуум. Рис 5.
Рис. 5. Криогенная вставка
Для проведения эксперимента образец был закреплен на специальном столике. Рис 7.
Рис 7. Столик с образцом
Проводящие контакты столика были соединены с проводящими контактами образца, с помощью нанесения бондов.
Рис. 8. Столик и вставка
2.4 Моделирование эквивалентной электрической схемы
Одной из задач данной работы является нахождения значения кинетической индуктивности образца. Как говорилась в главе 12.3 , мы можем рассматривать этот параметр как обычную индуктивность, значения которой изменяется при изменение температуры.
Как известно в колебательном контуре, состоящим из конденсатора и катушки индуктивности, есть резонансная частота. В общем случае, резонансная частота возникает, когда контур имеет чисто активное сопротивление, а комплексная часть импеданса равно нулю[33]. Резонансную частоту можно найти по такой формуле:
(45)
Тогда для построение резонансного контура к нашей структуре поставим в параллель конденсатор, у который будет сохранять свою характеристики с изменение температуры.
В общем виде эквивалентная схема представлена на рисунке 8
Рис 8. Эквивалентная электрическая схема.
Из уравнения (45) следует, что экспериментально мы можем найти значения индуктивности, зная резонансную частоту контура и значение емкости. Выразим Lk из уравнения (45) и получим
(46)
Но для того чтобы надо подобрать параметры резонансной цепи нам нужно сделать примерные оценки значения кинетической индуктивности
Оценки значения кинетической индуктивности сверхпроводящего меандра NbN
В главе 2.3.1 мы выводили формулу кинетической индуктивности с помощью теории Гинзбурга - Ландау. Тогда найдет значение Lk(0)
Подставляя следующие значения
l = 500мкм
w = 100нм
d = 5нм
n = 2*1026 [17]
Lk(0) = 88.6нГн
Мы собираемся работать в диапазоне частот 100Мгц, поэтому возьмем С = 50пФ(так как у нас имелся конденсатор такой емкости и его значения подходили для заданного диапазона)
Проведем моделирование в программе Qucs. Мы будем проводить измерения при температуре ниже критической, так что пренебрежем сопротивлением меандра.
Рис 9. Моделирование эквивалентной электрической схемы
Соответственно для такого контура резонансная частота должна быть примерно равна fr = 75Мгц и меняться при изменение температуры.
2.5 Калибровка измерительных приборов
miniVna pro
В данной работе для измерения АЧХ нашего меандра был использован Vector Network Analyzer (miniVna pro) рис 10.
Рис 10. miniVNA Pro.
Технические характеристики miniVNA Pro.
- Диапазон частот от 100 кГц до 200 МГц
- Шаг частоты 1 Гц
- Диапазон Импеданса от 1 до 1000 Ом
- Выходная мощность генератора 0 дБм (для каждого выхода)
- Расширенный динамический диапазон: до 90 дБ при передаче и до 50 дБ при отражении
Данный прибор может работать в двух режимах. Return loss(Rl) и Transmission loss(Tl).
Режимы затухания прошедшей и отраженной мощности. Данные коэффициенты рассчитываются для стоячих волн следующим образом.
(49)
(50)
Где, Г - коэффициент отражения, Zl - импеданс нагрузки, Zs -импеданс источника.
Калибровка miniVna pro
Так как в данном эксперименте мы работали не на прямую с прибор, а используя специальную криогенную вставку, то требовалась специальная калибровка, чтобы исключить влияние подводящих проводов.
Калибровка выполняется с помощью специального ПО для miniVna pro -vnaJ
Рис 11. Меню vna/J
В данном программном обеспечение есть два режима калибровка для Return и Transmission loss.
Рис 12. Калибровка в режиме RL
Для калибровки в режиме RL, нам нужно выполнить калибровку для трех случаев. 1 -режим разрыва(ХХ). Так как мы работаем с высокоомным, то чтобы максимально учесть все параметры цепи, мы выполняли калибровку в режиме ХХ с подключённым образцом на комнате, так как сопротивления образца мегаомы, то мы можем считать этот режим, как разрыв.
2 - режим короткого замыкания(КЗ). Чтобы сделать калибровку в данном режиме, мы охлаждали образец ниже критической температуры Tc и соответственно его омическое сопротивление становилось равно нулю.
3 - режим с нагрузкой R = 50Ом.
Также, так как мы работаем с колебательным контуром, то в схему была добавлен конденсатор фирмы Murata.
Как было показано раньше, кинетическая индуктивность будет изменяться с изменением температуры, соответственно мы должны быть уверены, что параметры конденсатора не будут сильно при изменении температуры от комнатных значений до температуры жидкого гелия (T = 4.2K).
Рис 13. Измерение характеристик конденсатора в режиме RL при комнате
Рис 14. Измерение характеристик конденсатора в режиме RL в гелии
Как видно из графиков на рисунках 13 и 14. В нужном нам частотном диапазоне до 100Мгц, характеристики конденсатора практически не меняются при его охлаждении до температуры жидкого гелия.
Кроме того нам стоит убедиться, что у данного прибора хватит чувствительности, чтобы измерить индуктивность такого порядка.
Для этого параллельно к конденсатору подключим пробную индуктивность величиной 21нГн(была использована smd катушка B82498F3220J000)
Рис 15. Тестовые измерения в режиме RL.
Из графика видно, что резонансная частота равна fr = 160Mгц, следовательно подставляем эти значения в формулу (46) и получаем значение индуктивности
L = 19.8нГн
Получаем погрешность примерно 6%, следовательно, мы можем использовать этот прибор для измерения индуктивности такого порядка.
Калибровка приборов на постоянном токе
В данной работе помимо высокочастотных измерений проводились также измерения на постоянном токе для исследования вольт-амперных характеристик. Для измерений данного типа были использованы измерительные приборы Keithley 2000 и Keithley 2182A
Рис 16. Измерительные приборы Keithley 2000 и Keithley 2182A
В нашей научной группе было написано программное обеспечение для данных приборов. А также калибровка, так как изначально у них наблюдалось смещения нуля. Программное обеспечение было выполнено в лицензированной среде labview.