Дипломная работа: Кинетическая индуктивность квазиодномерного сверхпроводника при различных температурах

Кинетическая индуктивность квазиодномерного сверхпроводника при различных температурах

Аннотация

сверхпроводник кинетический индуктивность

Главной целью данной работы является изучения эффекта большой кинетической индуктивности, который наблюдается в квазиодномерных сверхпроводниках малых сечений.

В теоретической части работы планируется провести обзор явления кинетической индуктивности и расчета данного явления для квазиодномерных сверхпроводящих структур. Также необходимо вывести частотную зависимость кинетической индуктивности сверхпроводника и зависимость этих параметров от температуры.

В экспериментальной части работы необходимо провести подготовку экспериментального оборудования для работы при низких температурах. Провести компьютерное моделирование электронной схемы измерения и измерить вольт-амперную и амплитудно-частотную характеристику при различных температурах.

Введение

Последнее десятилетия мы наблюдаем бурно развитие электронной техники, в соответствие с законом Мура число транзисторов в интегральных схемах удваивается каждые 18 месяцев, что введет к уменьшению размеров техники и увеличению производительной мощности. Однако последние исследования показывают, что закон Мура перестает работать, так в электронных компонентах, размеры которых порядка десяти нанометров важную роль играют квантовые процессы, которые накладывают ограничения на дальнейшую миниатюризацию данных компонентов. Соответственно становится актуальна разработка компонентов, которые могли бы работать на таких масштабах.

Наряду с фундаментальными причинами, ограничивающими миниатюризацию, присутствует еще и чисто техническая - невозможность эффективного отвода тепла, выделяемого в единице объема (площади) интегральной схемы. Соответственно решением данной проблемы может быть переход от обычных проводников к сверхпроводящим. Однако вся современная электроника работает на высоких частотах порядка гигагерцев, а как известно на конечных частотах сопротивление сверхпроводника отличается от нулевого, это может быть объяснено наличием, так называемой, кинетической индуктивности, импеданс которой увеличивается с ростом частоты. Соответственно данный эффект ограничивает использования сверхпроводников в наноэлектронных устройствах, например, таких как квантовые логические элементы - кубиты. Однако есть ряд нонэлектронных устройств, где этот факт используется как основной, например, в сверхпроводящих болометрах[1] или в фотонных детекторах[2].

Из выше приведенных фактов следует, что явление кинетической индуктивности носит как прикладной, так и фундаментальный характер и является обширной темой исследований.

Глава 1. Теоретическая часть

Постановка задачи и ее актуальность

Высокочастотные электрические схемы повсеместно используются в научных экспериментах, главными элементами которых являются катушки индуктивности и конденсаторы. Когда мы говорим о катушке индуктивности, то обычно имеется ввиду магнитная (геометрическая) индуктивность, которая может быть выведена из закона Фарадея и зависит от запасенной энергии магнитного поля и протекающего через катушку тока. В общем виде магнитная индуктивность определяется формулой(1)[3].

(1)

Соответственно можем вывести связь магнитной индуктивности и запасенной магнитной энергией для уединенного проводника[4]

(2)

Например, для системы из двух проводов длинной l и радиусом r<<d(d - расстояние между проводников, индуктивность может быть выведена по такой формуле)(3,4,5)[3]

(3)

(4)

(5)

Как мы видим из формулы (5) магнитная индуктивность линейно зависит от длины катушки и лишь логарифмически от ее диаметра. Следовательно, проблематично сделать катушку индуктивности достаточно малых размеров с большой индуктивностью. Но в современной микро и наноэлектронике часто нужно большая индуктивность малых размеров.

Наряду с выше описанной магнитной индуктивностью L_m , любой проводник также имеет так называемую кинетическую индуктивность L_K. В отличие от L_m кинетическая индуктивность L_K возникает не из-за запасенной

магнитной энергии, а из-за сохранённой энергии движения носителей заряда. Кинетическая индуктивность прямо пропорциональна длине наноструктуры и обратно пропорциональная площади поперечного сечения, из чего следует, что в довольно компактных размерах порядка микрометра, возможно, сделать структуру с большим значениям индуктивности.

В не сверхпроводящих наноструктурах резистивная составляющая доминирует над кинетической индуктивностью, так как в таких структурах идет сильная диссипация энергии носителей зарядов. Однако в наноструктурах, обладающих сверхпроводящими свойствами при температуре ниже критической T_c , резистивная часть импеданса становится равно нулю и преобладает кинетическая индуктивность.

Поэтому в настоящее время актуальны исследования кинетической индуктивности, так как высокочастотные схемы используются повсеместно, а использования наноструктур становится актуальнее с каждым годом.

1.1 Теория сверхпроводимости

Как было сказано раньше, кинетическая индуктивность имеет значительный эффект в сверхпроводящих структурах. Поэтому в данной работе я кратко приведу описания теории сверхпроводимости.

Сверхпроводимость - это явление, при котором у металлов удельное сопротивление становится равным нулю при определенной критической температуре Tc.

Первые теоретические уравнение описывающие явления в сверхпроводнике предложили братья Лондоны [4], они предположили, что, как и в обычных металлах носителями тока являются электроны и применили уравнения максвелла с условием равенства нулю удельного сопротивления.

Сейчас мы кратко выведем данные уравнения, так как в дальнейшим мы будем их использовать.

Уравнения Лондонов

Первое уравнение Лондонов:

Первое уравнение выводится для сверхпроводящих электронов в единичном объеме. Запишем второй закон Ньютона.

(6)

Где n - концентрация сверхпроводящих электронов, m - масса сверхпроводящих электронов, e - заряд электрона.

Тогда напряженность поля можно записать в следующем виде

(7)

Где

(8)

(9)

Второе уравнение Лондонов:

Запишем уравнение максвелла, связывающее изменение магнитного и электрического поля

(10)

Взяв, ротор от обеих частей уравнения 7 и подставив уравнения (10), получим

(11)

Но с учетом того, что в толще сверхпроводника выполняется соотношение j = 0 и B = 0, то получаем второе уравнения Лондонов

(12)

Также уравнение 7 может быть записано в таком виде

(13)

(14)

Где л - глубина проникновения магнитного поля

Проводимость металлов

Выше было замечено, что у сверхпроводящих металлов при температуре ниже критической удельное сопротивление становится равным нулю. У обычных металлов такого не происходит, даже при сверхнизких температурах. Чтобы разобраться в этом явлении, нам надо понять, что такое проводимость металла.

При приложении электрического поля к металлу в нем начинают движение электронный газ. Электроны упруго рассеиваются при столкновениях с ионы в кристаллической решетке металла.

Этот процесс характеризуется временем релаксации - время между рассеиванием на ионах. В течение некоторого времени рассеянные электроны будут иметь усредненный постоянный импульс и скорость, направленный вдоль поля. На основе этих утверждений было получены уравнение проводимости с использованием модели Друде[5].

Запишем уравнения 6, приняв v = const

(15)

Подставив уравнение 15 в уравнение 8 получим

(16)

(17)

Где у₀ - проводимость, n - концентрация электронов

Для переменного поля получаем

(18)

Тогда проводимость при приложенном переменном поле можно выразить

(19)

Если разложить уравнение на мнимую и реальную часть, то получим

(20)

(21)

у_2n - мнимая часть проводимости. Она возникает из-за того, что у электронов есть эффективная масса, и они не могут мгновенно реагировать на приложенное поле. За время ф электроны под действием приложенного поля будут ускоряться. В момент, когда поле будет направлена в противоположную сторону, электроны должны будут потерять свой импульс, прежде чем двигаться в обратно направлении поля. Для диапазона микроволн период приложенного поля порядка десятков нс, что намного больше, чем ф.

Получается, что мнимая часть на 3 порядка меньше, поэтому в обычных металлах на микроволновых частотах этой частью пренебрегают[6].

Сравнивая уравнение (19) и уравнение (21) , мы видим, что в отличие от нормального металла, где проводимость по постоянному току конечна, заданная в качестве предела проводимости по переменному току при щ > 0, бесконечна. Проводимость переменного тока сверхпроводника, однако, похожа на проводимость катушки индуктивности. Таким образом, сверхпроводник может быть смоделирован как индуктивность. При температуре не равной критической, это не верно, так как нормальное сопротивление еще сохраняется[7].

Двухжидкостная модель

Можно дать довольно простое описание процессов сверхпроводимости, если принять, что в сверхпроводнике при температурах 0 < T < Tc есть два вида электронов. Одни сверхпроводящие электроны, которые могут двигать без рассеивания, а другие нормальные. Такая модель называется двухжидкостной моделью. Позже при рассмотрении теории БКШ, мы узнаем, что в отличие от нормального металла, где движение всех электронов является независимым, в сверхпроводнике при температуре ниже критической электроны образуют куперовские пары (Пара из двух электронов, с противоположными спинами). Соответственно для сверхпроводящих электронов удельное сопротивление равно 0.

При температуре некоторые электроны будет образовывать куперовские пары, а некоторые еще будут находиться в нормальном состоянии. Соответственно это можно представить как движение двух электронных жидкостей (нормальной и сверхпроводящей). Нормальный канал можно представить как резистор, так как обычные электроны имеют резистивное сопротивление. Сверхпроводящий канал можно представить как катушку индуктивности, так как она не имеет сопротивления по постоянному току[6].

Пусть n_s - плотность нормальных электронов. n_n - плотность сверхпроводящих электронов. Для переменного тока на низких частотах проводимость сверхпроводящего канала будет намного больше, чем обычного. Однако на частотах порядка МГц проводимость сверхпроводящего канала уменьшается. Это связано с инертностью электронов, следовательно, мы можем сказать, что данный канал представляет индуктивность и может иметь значительный импеданс на высоких частотах. Так как импеданс катушки индуктивности определяется следующей формулой

(22)

Где L_k так называемая кинетическая индуктивность.

Этот эффект сравнивают с индуктивностью, но в данном случае она описывается не магнитным полем, а запасенной кинетической энергией нерассеянных электронов. Эквивалентная формула проводника, проводимость которого описана данной моделью рис 1.

Рис 1. Двухжидкостная модель сверхпроводника

Проводимость связана с плотностью электронов. Плотность сверхпроводящих электронов ns при Т= 0 примерно равна.

(23)

n_s и n_n связаны следующим соотношением

(24)

Где n - общая концентрация электронов.

Изменение концентрации электронов влияет не только на проводимость сверхпроводящих металлов, но и на глубину проникновения магнитного поля.

(25)

Где л(0) - Лондоновская глубина проникновения магнитного поля при

Т = 0К[6].

1.3 Кинетическая индуктивность

Вывод формулы кинетической индуктивности из уравнения Лондонов.

Как было сказано в главе 1. Магнитная индукция связана с магнитным полем и током, который возникает в данном участке цепи:

(26)

В главе 1.2.3 мы ввели такое понятие, как кинетическая индуктивность, которая связана с кинетической энергией, тогда выражение для кинетической энергии можно записать в следующем виде[6]

(27)

Подставив уравнение (8) и (9) в (27) получим выражение для кинетической индуктивности.

(28)

Где j_s - плотность сверхпроводящего тока.

Видно, что для того чтобы получить значения кинетической индуктивности надо взять интеграл по объему проводника. Следовательно кинетическая индуктивность как и магнитная будет зависеть от размеров проводника и для каждого вида проводника должна вычисляться отдельно. В книге [8] была выведена кинетическая индуктивность для проводника круглого сечения длины l и радиуса R(R>>л). Подставляя в (28) плотность сверхпроводящего тока и произведя интегрирования получим:

(29)

Также часто используют такое понятие как индуктивность на квадрат. Например, для плоского проводника, его индуктивность увеличивается с увеличением длины и уменьшается с увеличением ширины, следовательно если разбить такой проводник на квадраты, то их индуктивность будет постоянной в независимости от дальнейшего масштабирования проводника.