Лекция 2
Тема:
Кинематика вращательного движения
План
1. Вращательное равномерное движение и его характеристики
2. Вращательное равноускоренное движение и его характеристики
3. Связь между векторами линейных, угловых скоростей и ускорений
1. Вращательное равномерное движение и его характеристики
Вращательное движение твердого тела - такое движение, при котором все его точки описывают окружности, лежащие в параллельных плоскостях, если центры окружностей находятся на одной прямой, называемой осью вращения. Псевдовектор - вектор, направленный перпендикулярно плоскости, по которой перемещается материальная точка.
Если материальная точка движется по окружности, то с течением времени радиус-вектор (отрезок, соединяющий центр окружности и материальную точку в каждый момент времени) поворачивается на угол . Модуль вектора равен углу поворота , выраженный в радианах, а направление данного вектора определяется по правилу буравчика.
Рисунок 1. Движение точки по окружности
Правило буравчика: если ручку буравчика вращать по направлению движения материальной точки по окружности, то поступательное движение буравчика совпадет с направлением углового перемещения (правило правой руки).
Рисунок 2. Применение правила буравчика
Дуга окружности связана с радиусом этой окружности соотношением
или (1)
Средняя угловая скорость - псевдовекторная физическая величина, модуль которой численно равен отношению угла поворота радиус-вектора к промежутку времени, за который этот поворот был совершен:
. (2)
Единицы измерения угловой скорости .
Мгновенная угловая скорость неравномерного движения - псевдовекторная физическая величина, модуль которой равен первой производной угла поворота радиус-вектора:
. (3)
Рисунок 3. Линейная и угловая скорости материальной точки
При равномерном вращении график зависимости угла поворота от времени есть прямая линия, проходящая через начало координат; график зависимости угловой скорости от времени есть прямая линия, проходящая параллельно оси времени.
Если материальная точка движется по окружности с постоянной угловой скоростью, то используются дополнительные характеристики движения: период, частота, циклическая частота.
Рисунок 4. Графики зависимости угловой скорости и углового перемещения от времени при равномерном вращении
Период - время, за которое тело совершает один полный оборот.
Частота - число оборотов в единицу времени
(5)
Циклическая частота - число оборотов, совершенных за секунды.
(6)
вращательный равномерный равноускоренный угловой скорость
2. Вращательное равноускоренное движение и его характеристики
Если при вращении угловая скорость изменяется, то используют еще параметр движения - среднее угловое ускорение.
Среднее угловое ускорение - псевдовекторная физическая величина, модуль которой равен отношению изменения угловой скорости к промежутку времени :
. (7)
Единица измерения ускорения в СИ - .
Мгновенное угловое ускорение - псевдовекторная физическая величина, модуль которой равен первой производной угловой скорости по времени или второй производной углового перемещения по времени:
. (8)
При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора угловой скорости (рис. 1.9); при ускоренном движении (рис. 1.9а) вектор направлен в ту же сторону, что и , и в противоположную сторону (рис. 1.9б) при замедленном вращении
Угловое перемещение, совершенное телом за время dt, будет равно . Для определения всего пути, пройденного за время t, это выражение надо проинтегрировать:
(9)
а б
Рисунок 9 - Направление вектора углового ускорения: а) при ускоренном вращении; б) при замедленном вращении
Для определения угловой скорости при неравномерном движении, также используется интегрирование:
. (10)
Если угловое ускорение с течением времени не изменяется, то вращение равноускоренное. Параметра такого движения будут изменяться согласно следующим соотношениям:
3. Связь между векторами линейных, угловых скоростей и ускорений
Выведем формулы связи линейных и угловых величин.
Дуга окружности связана с радиусом этой окружности соотношением
(1)
Возьмем первую производную уравнения (1): . Радиус окружности для окружности является величиной, имеющей постоянное значение. Постоянную можно выносить за знак производной. Получим: . Слева от знака равенства стоит первая производная пути по времени, то есть скорость. Справа от знака равенства стоит первая производная углового перемещения по времени, то есть угловая скорость. Таким образом получим, что линейная и угловая скорости связаны соотношением
(11)
Возьмем первую производную уравнения (11): . Радиус окружности для окружности является величиной, имеющей постоянное значение. Постоянную можно выносить за знак производной. Получим: . Слева от знака равенства стоит первая производная скорости по времени, то есть ускорение. Справа от знака равенства стоит первая производная угловой скорости по времени, то есть угловое ускорение. Таким образом получим, что тангенциальное ускорение связано с угловым соотношением
(12)
Запишем формулу нормальной составляющей ускорения при криволинейном движении (7) . Скорость заменим соотношением (12) , получим
Проведем сокращение и получим, что нормальное ускорение связано с угловой скоростью соотношением
(13)