К преобразованиям Лоренца и уравнению Дирака
В.К.Литвак
Предисловие
Известно, что релятивистский гамильтониан предполагает два решения: первое решение и второе решение. В классической физике решения со знаком «минус» отбрасывается как не имеющие физического смысла. В квантовой же физике не так. Поль Дирак в [1] (первое издание этой работы Дирака вышло в конце 1920-х годов, за несколько лет до открытия позитрона) писал, что «... Эта трудность ... свойственна любой релятивистской теории ... Она также встречается в классической теории, но там она не является серьёзной. Вследствие непрерывности изменения всех классических динамических переменных, если кинетическая энергия вначале положительна (для этого она должна быть бульшей или равной ), то она не может потом стать отрицательной (для этого она должна была бы стать меньшей или равной ). В квантовой теории, однако, возможны скачкообразные переходы, так что если электрон первоначально находится в состоянии с положительной кинетической энергией, то он может перейти в состояние с отрицательной кинетической энергией. Поэтому становится невозможным игнорировать состояния с отрицательными энергиями, как это можно делать в классической теории». Далее Дирак пишет: «Таким образом, мы приходим к выводу, что соответствующие отрицательные энергии ... относятся к движению нового сорта частиц, имеющих массу электрона и противоположный заряд. Такие частицы наблюдались экспериментально и названы позитронами. Мы не можем, однако, просто утверждать, что решения с отрицательной энергией представляют позитроны; это сделало бы неправильными все динамические соотношения. Например, определённо неверно, что позитрон имеет отрицательную кинетическую энергию. Мы должны поэтому строить теорию позитрона на несколько ином основании. Мы введем предположение, что почти все состояния с отрицательной энергией заняты, причем в соответствии с принципом Паули в каждом состоянии имеется один электрон. Незанятое состояние с отрицательной энергией будет выглядеть, как нечто с положительной энергией, так как для того, чтобы уничтожить его, т. е. заполнить, мы должны добавить к нему электрон с отрицательной энергией. Мы предположим, что незанятые состояния с отрицательной энергией являются позитронами ... Абсолютный вакуум есть область, в которой все состояния с положительной энергией свободны, а все состояния с отрицательной энергией заняты ... Благодаря принципу Паули электрон с положительной энергией удерживается обычно от перехода в состояние с отрицательной энергией. Однако возможен еще переход такого электрона в незанятое состояние с отрицательной энергией. В этом случае мы имели бы одновременное исчезновение электрона и позитрона с испусканием энергии в форме излучения. Обратный процесс состоял бы в рождении позитрона и электрона из электромагнитного излучения».
Так как образование электронно-позитронной пары в поле положительно заряженной частицы или ядра атома описывается реакцией , причем энергия гамма кванта должна быть не менее (и обратно - взаимодействие электрона и позитрона приводит к их аннигиляции: ), то возникает следующая трудность: уравнение Дирака не обеспечивает соблюдение принципа причинности, который явно прослеживается в реакции («переход ... электрона в незанятое состояние с отрицательной энергией» и «... одновременное исчезновение электрона и позитрона с испусканием энергии в форме излучения»), а так же в реакции («рождении позитрона и электрона из электромагнитного излучения».) В связи с этим Дирак говорил ([2]): «Одни физики, во главе с Эйнштейном, считали, что по своей сути физика должна быть причинной, а не просто давать вероятности того или иного события. Бор же принял вероятностную интерпретацию ... Это привело к значительным разногласиям между школами Бора и Эйнштейна ... И Бор, и Эйнштейн были выдающимися физиками. Так кто же из двоих был прав? ... Вероятностная интерпретация, основанная на волновой функции Шрёдингера, лучшее, что удалось придумать. Делалось, много попыток усовершенствовать теорию, чтобы получать с ее помощью не только вероятности. Однако все эти попытки провалились! В соответствии с современной квантовой механикой вероятностная интерпретация, которую отстаивал Бор, правильна. Но у Эйнштейна был все-таки один козырь. По его словам, добрый Бог не играет в кости. Эйнштейн верил в то, что физика должна быть причинной по своему характеру. Я не исключаю возможности, что, в конце концов, может оказаться правильной точка зрения Эйнштейна, потому что современный этап развития квантовой механики нельзя рассматривать как окончательный. В этой теории существует немало нерешенных проблем ... Современная квантовая механика -- величайшее достижение, но вряд ли она будет существовать вечно. Мне кажется весьма вероятным, что когда-нибудь в будущем появится улучшенная квантовая механика, в которой будет содержаться возврат к причинности и которая оправдает точку зрения Эйнштейна. Но такой возврат к причинности может стать возможным лишь ценой отказа от какой-нибудь другой фундаментальной идеи, которую сейчас мы безоговорочно принимаем. Если мы собираемся возродить причинность, то нам придется заплатить за это, и сейчас мы можем лишь гадать, какая идея должна быть принесена в жертву.»
Ещё одна трудность: нет четкого вывода величины энергии гамма кванта, необходимой для перевода электрона в незанятое состояние с отрицательной энергией и наоборот. Энергия гамма кванта определяется косвенно: по разнице энергий между состояниями с положительной и отрицательной энергиями покоящейся частицы: .
Попытаемся объяснить некоторые трудности с помощью перехода к скоростям, превышающим скорость света в вакууме. Основные результаты этой попытки приведены в [12], но, как и при всякой первой попытке, в [12] есть и опечатки, и ошибки. В настоящей работе я попытался устранить некоторые недостатки предыдущей работы и более последовательно обосновать возможность перехода к скоростям .
К размышлениям о такой возможности приводит геометрическая интерпретация преобразований Лоренца, приведенная на рисунке 1:
Действительно:
.
То есть наблюдатель, находящийся в системе координат , движущейся с постоянной скоростью , в момент времени видит изображение точки в точке .
Собственное время для наблюдателя определяется как .
Динамика движения тела с постоянной скоростью на основе преобразований Лоренца будет выглядеть следующим образом:
где пунктирными линиями показано построение для фронта волны в момент времени , а сплошными линиями в момент времени . Из рисунка 2 видно, что картина движения тела по Лоренцу совпадает с картиной движения самолета с дозвуковой скоростью, описанной, к примеру, в [3].
Тогда справедливо предположить, что существуют преобразования координат и для движения тела со скоростью , так как динамика движения тела со сверхзвуковой скоростью давно известна и представляет собой конус Маха, приведенный там же, в [3]:
Выведем эти преобразования и применим их для электрона.
1. Вывод преобразований координат для случая движения тела со скоростью
Отправным пунктом в рассуждениях будет являться лоренцево сокращение времени , представляющее собой собственное время тела, покоящегося в системе координат , равномерно движущейся со скоростью относительно покоящейся системы . Из сокращения времени следует, что
,
что видно, в том числе, и из рисунка 1.
Во избежание разночтений, вывод преобразований будет производиться в обозначениях, принятых в [4], за исключением того, что преобразования осуществляются не на ортонормированном репере, а на ортонормированных координатах, но, как и в [4], с последующим поднятием индексов.
Применив условие к первому уравнению системы
получим .
Учитывая, что , так как преобразования производятся в ортогональном репере, получаем , а, принимая во внимание, что , окончательно имеем:
Подставляя (2) в (1), получаем систему
Запишем для системы (3) скалярные квадраты координат (реперов по [4]) и скалярное произведение для случая псевдоевклидова пространства индекса 1 с сигнатурой .
Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными , и :
решая которую, получаем следующие значения искомых коэффициентов:
,,.
Подставив значения коэффициентов , и в систему (3), получим преобразования
Подняв индексы у координат , , , , окончательно получим:
Заменив координаты , , , , перейдём к преобразованиям, более похожим на преобразования Лоренца:
(5)
Преобразования (4) и (5) сохраняют пространственно-временной интервал:
.
Обозначим , а и запишем матричную форму преобразований Лоренца:
и матричную форму преобразований (4) и (5):
где .
Преобразования пространственной координаты можно получить и из конуса Маха, что показано на рисунке 4.
Координата определяется как
Причем угол .
Тогда , .
В результате приходим к выражению .
Динамика движения тела со скоростью представлена на рис. 5.
Линии , , являются линиями возмущений для различных времен движения тела.
2. Импульс и энергия
Для вывода формул импульса и энергии запишем приращение собственного времени в случае движения тела со скоростью . Для этого воспользуемся формулами обратного перехода, как рекомендовано в [5].
Как сказано в [5], «чтобы получить формулы обратного перехода, достаточно поменять местами штрихованные и нештрихованные величины, изменив при этом знак у скорости ». В результате получим:
Следуя и далее методике вывода собственного времени, изложенной в §3.3 [5], получим выражение для приращения собственного времени:
Из рисунка 4 видно, что собственное время определяется отрезком :
.
Четырехмерную скорость определим, в соответствии с [6], по формуле , а четырехмерный импульс определим как произведение массы тела на четырехмерную скорость , то есть (здесь и далее будем обозначать ).
Для значения индекса , то есть для координаты , получим выражение для скорости:
и выражение для импульса:
Импульс (11) можно переписать в виде
График импульса (11) в относительных величинах в зависимости от величины изображен на рисунке 6 (пунктирная линия график нерелятивистского импульса ).
Из рисунка 6 видно, что при значении имеется явно выраженный резонансный пик, а при импульс стремится к значению .
Запишем выражение для энергии как
.
В итоге получим:
В случае выражение (12) переходит в выражение .
Графики энергий (12) в относительных величинах в зависимости от величины приведены на рисунке 7 (пунктир график нерелятивистской энергии ).
На рисунке 7 для скорости приведён график кинетической энергии, то есть , а для скорости график полной энергии тела в соответствии с выражением (12).
3. Энергия перехода через световой барьер
Определим энергию, необходимую для сообщения телу сверхсветовой скорости, то есть энергию перехода через световой барьер.
Из рисунка 6 видно, что для величин полный импульс (11) имеет минимум, легко вычисляемый из условия
,
Получаем значение импульса при значении .
Рассматривая случай перехода тела из состояния покоя в «точку» , можно записать: импульс энергия волновой световой
,
.
Закон сохранения энергии можно не использовать, так как ищется всего одна неизвестная величина .
Подставляя в правую часть равенства (13) значение , получаем минимальную энергию гамма кванта, необходимую для преодоления светового барьера: , что, например, совпадает с энергией образования электронно-позитронной пары.
Таким образом, в случае электрона мы приходим к «реакции» вида
в которой отсутствует «дырка» или античастица, присутствующая в реакции . Остается показать, что в правой части реакции (14) не электрон, а позитрон.
Для этих целей достаточно вспомнить теорему ЛюдерсаПаулиШвингера (CPT-теорему). Действительно, рассматривая преобразования (4) и (5) видно, что они приводят к инверсии пространства и обращению времени, так как вектор скорости тела направлен вдоль оси в положительном направлении. По терминологии В. Паули ([7]) мы получили слабое отражение (Сл.О.), которое ещё не изменяет знак электрического заряда частицы.
В то же время в [8] говорится, что следствием CPT-теоремы, является то, что «... если существует инвариантность относительно произведения двух преобразований, то имеется инвариантность и относительно третьего преобразования. Например, из СР-инвариантности следует Т-инвариантность и, обратно, из Т-инвариантности следует СР-инвариантность и т. д.»
Полное доказательство CPT-теоремы приведено в [7] и [9]. Поэтому, если отнестись к этому вопросу формально, то, возможно, и не имеет смысла показывать здесь зарядовое сопряжение, так как оно автоматически следует из самой CPT-теоремы.